八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用图文ppt课件

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人教版八年级数学下册第20章 勾股定理20.1 勾股定理 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.导入新课情景引入据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.讲授新课 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？一直角边2另一直角边2斜边2+= 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图：右图：方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？根据前面求出的C的面积直接填出下表： 4 1325916 9思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想：下面的动图形象的说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.abbcabca证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2 +b2 =c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,aabbcc∴a2 + b2 = c2.证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：勾股定理abc归纳总结 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.(2)据勾股定理得（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 【变式题1】在Rt△ABC中， ∠C=90°.x2+(2x)2=52，(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，图图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．课堂小结勾股定理内容在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论作业:1、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景及证明方法2、必做P24第1、2题 选做P28第7、8题