重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考1212.7含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期周考1212.7含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性解不等式求得 B，再利用交集的概念计算即可.
【详解】由 ，即 ， ，
又 ，所以 .
故选：B
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可.
【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是： ， .
故选：C
3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 已知 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，判断“ ”和“ ”的互相推出情况，由此可知结
果.
【详解】若 ，则 ，所以 ，故 ，
但当 时， 可能都是无理数，不妨设 ，此时 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B.
4. 函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数 的奇偶性可排除 B，D；再得到 时， 可排除 C，即可得到答案.
【详解】由 ， ，
则 ，
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所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D；
当 时， ， ，则 ，排除 C，而 A 满足题意.
故选：A
5. 已知函数 ，将函数 的图像向右平移 1 个单位长度，再将所得的函数图像关于 y
轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，得到函数 的图像，
则函数 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象的平移、伸缩与对称变换求解即可.
【详解】由函数 的图象向右平移 1 个单位长度得到函数 的图象，
再将所得的函数图象关于 y 轴对称，得到函数 的图象，
然后将函数 图象上的点的纵坐标伸长为原来的 3 倍，横坐标不变，
得到函数 的图象.
故选：C
6. 函数 的最大值和最小值之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得.
【详解】由题意，令 ，
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可知函数 的定义域为 ，且 ，
故函数 为奇函数，
根据奇函数的性质可知，函数 的最大值与最小值之和为 ，
即 ，
故 ．
故选：B．
7. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据对数运算性质得 ，再利用对数函数单调性得 ，再作差、换底变形比较 大小
即可.
【详解】 ， ，
，
所以
，
因为 ，
所以 ，即 ，又 ，可得 .
故选：B.
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8. 已知函数 （ 且 ），若关于 x 的方程 有 4 个解 ，且
，则 （ ）
A. 16 B. 10 C. 8 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】当 时，根据已知画出函数 与 的图象，即可根据对称性结合已知得出
，且 ， ， ， ，根据
对数的运算得出 ，即可两式作和化简代入得出答案.
【详解】当 时， ，
在坐标系下作出函数 与 的图象如图所示：
由图形的对称性知 ，
且 ， ， ， ，
则根据对数运算得出 ，
， ，
则 ，
即 ，
两式作和得 ，
又由于 ，
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所以 ．
当 时， ，
同理仍得 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于 的不等式 的解集为 ，关于 的不等式 的解集为 或
.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 解集为 或
C. 的解集为
D. 若不等式 对 恒成立，则 的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】对 A，由已知条件可得 ，结合二次函数的对称性求得 ；对 BC，由 A， ，
，代入求解一元二次不等式；对 D，令 ，由题意可得 ，运算得解.
【详解】由不等式 的解集为 ，则 ，且 ，即 ，
对于 A，由 的对称轴 ，则 是 的两根，
所以 ，得 ，且 ，故 A 正确；
对于 BC，由 A 知 即 ，所以不等式 变为 ，
又 ，所以 ，解得 或 ，故 B 正确，C 错误；
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对于 D，令 ，由 对 恒成立，
由于 表示开口向上的抛物线，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，故 D 错误.
故选：AB.
10. 已知函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 若 ，则 或
D. 当 时， ，若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】代入点可求解 ，进而根据幂函数的性质即可求解 ABC，利用作差法即可求解
D.
【详解】因为函数 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 A 正确；
的定义域为 ，对 ，则 ，且 ，
所以函数 是偶函数，故 B 正确；
因为 ，所以 在 上单调递增，
由 ， 是偶函数，得 ，即 ，
解得 ，故 C 错误；
因为当 时， ，所以 ， ，
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又 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 与 的定义域均为 ， ， ，且
， 为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A. 周期为 4 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于 为偶函数，图象关于 轴对称，
所以 图象关于 对称，
所以 ，
所以 ①，
而 ②，
两式相加得 ，则 ③，
所以 ，
所以 是 的一个周期，A 选项正确.
由③令 得 ，
由①令 得 ，
由②令 得 ，则 ，
所以 ，
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所以 ，C 选项正确.
由①令 得 ，
由 ，
得 ，
两式相减得 ，即 ，
且 关于 对称， ，
所以 ④，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，所以 ，所以 B 选项错误.
由④令 得 ，所以 ，
所以 ，所以 D 选项正确.
故选：ACD.
【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如
等等，这些都是与周期性有关；如
等等，这些都是与对称性有关.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算法则即可求得答案.
【详解】 ， ，即 ， ，
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所以 即 ，所以 .
13. 已知幂函数 的图象关于 y 轴对称，且在 上单调递增，则满足
的 a 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】因为幂函数 的图象关于 y 轴对称，且在 上单调递增，所以
为 正 偶 数 ， 所 以 ， 则 不 等 式 ， 即
． 因 为 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 所 以 或
或 解得 或 ，所以满足 的 a 的取值范围是
．
14. 已知函数 在 上单调递减，且关于 x 的方程
恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由函数的单调性求出 的范围，再分类讨论，结合函数图象数形结合求解.
【详解】由 在 上递减，得 ，
又由 （ 且 ）在 上单调递减，
得 ，解得 ，综上： ；
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作出函数 在 上的大致图象，如图所示：
由图象可知，在 上， 有且仅有一个解，
故在 上， 同样有且仅有一个解，
当 ，即 时， 如图所示：
由 ，即 ，
则 ，解得： ，
当 ， 时，如图所示:
由图象可知，符合条件.
综上： .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. （1）已知 ，求 的值；
（2）若 ， ，用 ， 表示 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式求出 和 的值，代入原式计算.
（2）根据已知条件求出 和 的表达式，再利用对数运算公式化简计算即可.
【详解】（1）因为 ，所以 （ ），
因为 ，所以 ，即 ，故 .
故 .
（2）对 取常用对数得 ，故 .
由 ，得 .
故 .
16. 已知幂函数 在 上单调递减.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，当 时，关于 的不等式 在 上有解，
求 的取值范围.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的单调性结合 ，即可得到答案；
（2）对不等式进行分离参数得到 ，令 ，求 的值域进而得到 k 的取值
范围.
【小问 1 详解】
由题可知， ，解得 ，
又 ，所以 .
【小问 2 详解】
将 代入 中可得 ，
所以不等式 可化为 ，
即当 时， 能成立.
令 ，令 ，则 ，
则 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
即 ，
所以 在 上的值域是 .
所以 k 的取值范围为 .
17. 物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为 ，空气温度为
（ ），则 分钟后物体的温度 满足 （ 为常数）．实验测算，当
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时满足 ．
（1）求 的值；
（2）茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶
水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为 75℃，等茶水温度降至 55
℃时饮用口感最佳．已知空气温度为 25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口
感？（结果保留一位小数，参考数值： ， ， ）
【答案】（1） ；
（2）8.6 分钟
【解析】
【分析】（1）将 代入 和 即可求解；
（2）根据题意，得到 ， ， ，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解
.
【小问 1 详解】
由题意可知，
，得 ，即 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
设刚沏出来的茶水大约需要放置 分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以刚沏出来的茶水大约需要放置 8.6 分钟才能达到最佳饮用口感．
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18. 已知函数 为常数，函数 .
（1）若 为奇函数，求 的值.
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
（3）在第(1)问的条件下，当 时， ，函数 在区间 上的值域为
，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数可得 ，由此即可得解；
（2）令 ，根据增函数的定义可得 恒成立，进而可得出答案；
（3）根据（1）中所得函数解析式确定函数 的解析式，并运用函数单调性确定其单调性，再根据单调
性和值域列等式，将问题转化为函数与方程问题，最后求解出参数的取值范围.
【小问 1 详解】
因为 为奇函数，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
经检验 不符题意，
所以 ；
【小问 2 详解】
令 ，
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则
，
因为函数 在 上单调递增，
所以 恒成立，
因 ，所以 ，
所以 恒成立，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由（1）知 ，
令 ，函数在 上单调递减，
又函数 为增函数，
所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上的值域为 ，
又因为函数 在区间 上的值域为
，
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所以 ，
即 ，
所以 ，
令 ，
则关于 的方程 在 上有两根不同的实数根，
等价于关于 的方程 在 上有两根不同的实数根，
令 ，则函数在 上有两个不同零点，
当 时， 为一次函数，不可能有两个零点，舍去；
当 时，函数 的对称轴为 ，
则 ，无解；
当 时，函数 的对称轴为 ，
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，解得 且 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内
有两个不同实根，是解决本题的关键.
19. 若函数 满足：对于任意正数 m，n，都有 ， ，且 ，
则称函数 为“速增函数”.
（1）试判断函数 与 是否是“速增函数”；
（2）若函数 为“速增函数”，求 的取值范围；
（3）若函数 为“速增函数”，且 ，求证：对任意 ，都有
.
【答案】（1） 是， 不是
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1） 根据定义进行判断即可， 利用特殊值，举出反例；
（2）根据定义可知 ，即 对一切正数 恒成立，可得
，由 ，可得
得出 ，最后求出 的范
围；
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（3）根据定义，令 ，可知 ，即 ，故对于正整数 与正数 ，都有
，进而得出结论．
【小问 1 详解】
对于函数 ，当 ， 时， ，
又 ，
所以 ，
故 是“速增函数”.
对于函数 ，当 时， ，
故 不是“速增函数”.
【小问 2 详解】
当 ， 时，由 是“速增函数”，
可知 ，即 对一切正数 恒成立，
又 ，可得 对一切正数 恒成立，所以 .
由 ，可得 ，
即
，
故 ，又 ，故 ，
由 对一切正数 ， 恒成立，可得 ，即 ．
综上可知， 的取值范围是 ．
小问 3 详解】
由函数 为“速增函数”，可知对于任意正数 ， ，
都有 ， ，且 ，
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令 ，可知 ，即 ，
故对于正整数 与正数 ，都有 ，
对任意 , ，可得 ，又 ，
所以 ，
同理 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：本题为自定义信息题，关键是读懂题目意思.根据题目所提供的信息，要严格遵循“速
增函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“速增函数”的定义，说明是“速增函数”，需要按定
义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“速增函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助
恒成立条件和最值原理求出参数的范围.本题考查新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合
性强，难度较大．
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