重庆市2025_2026学年高一数学上学期周测12.28含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期周测12.28含解析，共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， ，下列说法不正确的是， 已知幂函数， 已知，则， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得集合，进而求得.
【详解】，
所以.
故选：D
2. 已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. 1
C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式，再代入求解即可．
【详解】由扇形面积公式，
，解得，
则扇形的圆心角为1．
故选：B．
3. “点在第二象限”是“角为第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立，
若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立，
∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件.
故选：C
4. ，下列说法不正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 有最小值，没有最大值
C 有4个零点
D. 在和单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令求出的值，判断C.
【详解】函数的定义域为，
对于A：，所以是偶函数，故A正确；
对于B、D：当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上有最小值，无最大值；
又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
在上有最小值，无最大值；
所以有最小值，没有最大值，故B、D正确；
对于C：令，所以，即，所以，
所以有2个零点，故C错误；
故选：C
5. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可；
【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以，
，所以，
所以，
所以，即，
因为，，所以，
所以，所以.
故选：A.
6. 已知，则在这4个数中，最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对取以10为底的对数，得，再根据对数的性质可得，即可判断4个绝对值的最小值．
【详解】对取对数得
，，
，，
故，即
且
即，即，
故
故在这4个数中，最小的是
故选：B
7. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定不等式恒成立，求出的关系等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】当时，不等式恒成立，
得当时，恒成立，且当时，恒成立，
即当时，恒成立，且当时，恒成立，
因此且，则，即，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故选：C
【点睛】关键点点睛：按、分段讨论恒成立，求得是解决问题的关键.
8. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ）
A 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可．
【详解】，且在上单调，
，为常数，，
，，
在上单调递增，
对，，使得成立，
，
又当时，，
当时，，则，
，，又，．
故选：C．
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A，由，根据不等式的性质，可得，所以A正确；
对于B，取，可得，所以B不正确；
对于C，取，可得，此时，所以C不正确；
对于D，由，可得，又由，
当且仅当时，即时，显然等号不成立，所以，所以D正确.
故选：AD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若是第一象限角，则
B. 终边经过点，的角的集合是，
C. 若，则恒成立
D. 若角，，则角的最大负角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点，可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将角度关系转化为，结合的取值进而可判断D．
【详解】对于A，若是第一象限角，则，所以，
当，时，，为第一象限角，
当，时，，为第三象限角，
所以是第一或第三象限角，故，故A正确；
对于B，终边经过点，的角的终边落在第一、三象限的角平分线上，
即角的集合是，故B错误；
对于C，当时，，则恒成立，故C正确；
对于D，因为，
所以当时，角的最大负角为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，且对任意，恒成立；若时，.下列说法正确的是（ ）
A. 时，
B. 对任意，有
C. 存在，使得
D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项，根据条件求得，可判断，：直接利用关系式的变换求出结果．对于选项：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果．
对于选项：直接利用函数的单调性判定结果．
【详解】对于选项：，时，，，，而，，故正确；
对于选项：（2），而当，时，，
所以（2），所以，故正确；
取，，其中，，1，，则，；，
从而，而，
对于，假设存在使，，，，，，
这与矛盾，所以错误；
对于：由上面推导可得当，时，，单调递减，为减函数，
所以若，，，则函数在区间上单调递减；当函数在区间上单调递减”，则，，，故正确．
故选：．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据余弦的和差角公式得到方程组，通过解方程组求得与的值，然后利用商数关系进行转换并代入求解即可.
【详解】已知；.
联立方程组，解得：.
由，所以.
故答案为：
13. 已知，且，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据x的范围，可得的范围，根据条件，结合同角三角函数的关系，可得的值，根据诱导公式，化简即可得答案.
【详解】因为，所以，
由，得，
所以．
故答案为：
14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数性质，以及基本初等函数性质，画出函数图像，判断有四个零点时，参数的情况，进而根据对数函数性质和二次函数性质，求出结果.
【详解】当时，，
当时，，
且，，
则函数图像如下图所示，
当时，，
即函数在时的最大值为，
当存在，使得，即有四个解，分别为，
由图像可知，
则，即，解得，
当，则方程的解为，化简得，
可知时，恒成立，则，
所以，
由可知，.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若为第二象限角，试化简表达式；
（2）若，计算的值.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得.
（2）由（1）的信息，利用正余弦齐次式法分类计算即得.
【小问1详解】
由为第二象限角，得，
所以函数.
【小问2详解】
由（1）知，而，则，，
当，即是第二象限角时，，
；
当，即是第一象限角时，，
.
16. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
【答案】（1）最合适，
（2）元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解；
（2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解.
【小问1详解】
解：若选择模型，将代入可得，即，
经验证，均不满足，故模型不合适．
若选择模型，因为过点，所以模型不合适．
若选择模型，将代入可得，即，
经验证，，均满足，故模型最合适，且．
【小问2详解】
解：由成本与销量Q的关系为．
要使生产的产品可以获得利润，则．
因为，所以，即．
因为，所以．
故该产品的销售单价应该高于元．
17. 已知
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式即可化简；
（2）由即可求解；
（3）由条件得到，再结合立方和公式即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为
所以，
所以，
，
又因为所以
所以
.
18. 已知函数．
（1）设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
（2）对任意、，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（i）最小值为，；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间；
（2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
（i）当时，，
的定义域为，
令，，则，
当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.
（ii）在上单调递增，
在上单调递减，令，解得，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，令，
可化为．
记函数在上最大值为，最小值为，
由对任意、，恒成立，得恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线．
①当时，在上单调递增，
可得，，
由，得，解得，不符合题意；
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，由，可得，所以，
解得，此时；
当时，由，可得，解得，此时；
③当时，，
由，可得，解得，不符合题意．
综上，的取值范围为.
19. 定义：若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”.
（1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：；
（3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析.
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可；
（2）推导出，结合指数运算可证得结论成立；
（3）对分情况讨论，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离，通过二次函数的基本性质求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，取，则，
此时，不存在，使得，因此函数不“伴随函数”.
【小问2详解】
因为函数在定义域为增函数，则存在，使得，
若，则，故，
所以，所以，所以.
【小问3详解】
若，则当时，，
此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”，
所以，所以函数在上单调递增，
则，，
由“伴随函数”的定义可得，因为，解得，
即，，当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，，恒有，则，所以，
令，则，由题意可得，令，，
函数在上单调递增，所以，则，
因此，实数的取值范围是.
元
1
2
3
4
万件
3
2
1.5
1.2