广东省深圳市高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 若为空间一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在数列中，，，则（ ）
A. 43B. 46C. 37D. 36
3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ）
A. B. C. D. 或
4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）

A B. 6C. D.
7. 直线与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
8. 已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则是严格增数列
B. 数列一定是等差数列
C. 若，则使的最大的为
D. 若（为常数），则
10. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若直线为的准线，则（ ）
A.
B.
C. 等边三角形
D. 以为直径的圆与相切
11. 已知正方体的棱长为，点为正方形（含边界）内的一个动点，过棱的中点作该正方体的截面，满足与棱和棱分别交于两点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与所成角的正切值为
C. 截面的面积为
D. 当时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在正方体中，直线和直线所成的角为__________.
13. 设等比数列的前项和为，若，则______．
14. 已知椭圆的标准方程为，右顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，则的值为______；若已知点点为椭圆上任意一点，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的正弦值为，
（i）求长；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 一动圆与圆外切，同时与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）记（1）所求轨迹方程对应曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标．
18. 已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，．
（1）求数列和通项公式；
（2）若对任意正整数恒成立，求实数的最小值；
（3）若，求数列的前项和．
19. 现有一双曲线和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）M是的右顶点，过的直线交双曲线左支于两点，
（i）求直线与直线的斜率之积；
（ii）判断是否是定值，并给出理由．