专题02 勾股定理与折叠、最短路径问题（期末复习专题练习）-2025-2026学年八年级上学期数学（人教版）试题（含答案）

这是一份专题02 勾股定理与折叠、最短路径问题（期末复习专题练习）-2025-2026学年八年级上学期数学（人教版）试题（含答案），文件包含专题02勾股定理与折叠最短路径问题6大题型期末复习专项训练原卷版docx、专题02勾股定理与折叠最短路径问题6大题型期末复习专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
题型1 直角三角形中的折叠问题（难点）
题型4 长方体中的最短路径问题（难点）
题型2 长方形中的折叠问题（难点）
题型5 阶梯中的最短路径问题（重点）
题型3 圆柱中的最短路径问题（重点）
题型6 将军饮马与最短路径问题（难点）
题型一 直角三角形中的折叠问题（共4小题）
1．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（ ）
A．3B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可．
本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得，
故选：A．
2．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知，
设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
故答案为：；3．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：由题意可得与关于成轴对称，
，，，
在中，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，即．
4．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
【答案】(1)①10；②
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可；
（2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
②由折叠得：，
∴，
∴．
在中，，
∴，解得：，
∴的长为．
（2）解：设，则．
∵是边上的高，
∴．
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴．
题型二 长方形中的折叠问题（共5小题）
5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质；
设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案，
【详解】∵在矩形纸片中，，，
设，则，
将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，
∴，，，
在中
，
即
解得．
故答案为∶．
6．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解．
【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形，
，
第二次折叠，得出，
，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，，，
连接，设，
可得方程：，
代入数值可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处．
（1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ；
（2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ．
【答案】
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答．
（1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解；
（2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解．
【详解】解：（1）在长方形中，
为线段的中点，
．
由折叠的性质，得．
设，则．
在中，由勾股定理得，
．
解得．
．
故答案为：
（2）连接，
，
当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图．
，
在中，由勾股定理得．
设．
由折叠的性质得，．
．
在中，由勾股定理得，
．
解得
线段的值最小时，的长度为．
故答案为：
9．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
题型三 圆柱中的最短路径问题（共3小题）
10．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（ ）（取3）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面圆的直径为，
∴圆柱的底面周长为，
∴．
∵，．
∴，
在中，，
即，
∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是．
故选：B．
11．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长，
则，
∴．
故选：D．
12．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，

根据题意，，
∴
作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离，
则，
过点作，交的延长线于点E，
则四边形是矩形，
故，
故，
故，
∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为．
故选：C
13．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，，
∴．
故选：C．
14．（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ．
【答案】30
【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为2AB，据此分析解答．本题考查了平面展开 - 最短路线问题，关键是能理解题意知道求出哪一条线段长．
【详解】解：展开后图形是：
∵底面周长为12cm，高18cm，
∴，
∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（），
故答案为：30．
题型四 长方体中的最短路径问题（共3小题）
15．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿，，，剪开，得图
；
（2）沿，，，，，剪开，得图
；
（3）沿，，，，，剪开，得图
；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即．
故选：B．
16．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可．
本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：作点P关于的对称点A，则，
由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，
故展开图中，，
连接，交于点E，此时最短，
且
故选：D ．
17．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面上面，由勾股定理得；
（2）展开前面右面，由勾股定理得；
（3）展开前面左面和上面，由勾股定理得；
最短路径的长为
故答案为：．
题型五 阶梯中的最短路径问题（共3小题）
18．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米．
【答案】17
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，
则（米，米，
在中，（米．
最短路径为17米．
故答案为：17．
19．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程．
【答案】
【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理.
将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接，
∴，则，
在长方形中，，，
由勾股定理，得，
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程．
故答案为：．
20．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．
【答案】50
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可．
【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离，
（米），（米），（米），
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为50（米）．
故答案为：50．
题型六 将军饮马与最短路径问题（共2小题）
21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用．
例题：求代数式的最小值．
解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题．
类比如上方法，求的最小值为 ．
【答案】10
【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值．
本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键．
【详解】解：如图构造图形，中，，，，
则，
延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，
则，
由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，
过点E作的垂线，垂足为点F，
根据勾股定理得，
∴的最小值为10．
故答案为：10．
22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析．
【提出问题】已知，求的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________；
（2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________．
【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7
【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题：
（1）利用勾股定理，即可得出结果；
（2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，
利用勾股定理求出的长即可；
（3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：；
故答案为：；；
（2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，

此时的值最小，且，
即的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
（3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，
此时的值最小，且，
即的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为7，
∴的最小值为7．
23．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
【思想应用】
（1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，．
①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________．
②据此写出的最小值：________．
【类比应用】
（2）根据上述方法，求代数式的最小值．
【答案】（1）①，；②；（2）
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①在中，
，
，
在中，
，
，
②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图，
∴四边形ABDH为矩形，
∴，
在中，
，
，
∴的最小值为，
即的最小值为．
故答案为：①，；②
（2）如图，设，，，，则，
在中，，
在中，，
，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作交CA的延长线于H，，
如图，
∴四边形ABDH为矩形，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
即的最小值为．