2026学年苏科版初三中考复习几何专题04 手拉手旋转模型构造全等三角形（学案）（含解析）

这是一份2026学年苏科版初三中考复习几何专题04 手拉手旋转模型构造全等三角形（学案）（含解析），共11页。学案主要包含了模型说明，模型引入，左拉左，右拉右，左拉右，右拉左，模型讲解等内容，欢迎下载使用。
两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【模型引入】
一、模型的理论基础
判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。
手拉手模型的定义：
定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手）
例如：
二、模型的应用
手拉手模型形状判定
以两顶角相等的等腰三角形为例：如图所示，
【模型一】两等边三角形手拉手

【模型二】两等腰三角形手拉手

【模型三】两等腰直角三角形手拉手
【左拉左，右拉右】 【左拉左，右拉右】 【左拉右，右拉左】
【模型四】特殊平行四边形手拉手
矩形手拉手转化为直角三角形手拉手；
菱形手拉手转化为等腰三角形手拉手；
正方形手拉手转化为等腰直角三角形手拉手.
【模型五】缺手补手，创造手拉手

【模型讲解】
1、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.
解析：
（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点）
即∠ADB=∠CDE
在△DAB和△DCE中，
DA=DC
∠ADB=∠CDE
DB=DE
∴△DAB≌△DCE.
（2）∵△DAB≌△DCE
∴∠A=∠DCE=60°
∵∠ADC=60°
∴∠DCE=∠ADC
∴DA∥EC.
2、如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD=2，CD=3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
【解析】（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD≌△ACE
∴AC=BC，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°
∴∠ACB=90°
故旋转角的度数为90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM=90°
∴∠MBC+∠BMC=90°
∵△BCD≌△ACE
∴∠DBC=∠EAC
即∠MBC=∠NAM
又∵∠BMC=∠AMN
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接DE，
由旋转图形的性质可知
CD=CE，BD=AE，旋转角∠DCE=90°
∴∠EDC=∠CED=45°
∵CD=3，
∴CE=3.
在Rt△DCE中，∠DCE=90°.
DE=CD2+CE2=32.
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=∠ADC+∠EDC=90°
在Rt△ADE中，∠ADE=90°
∴EA=AD2+DE2=22.
∴BD=22.
3、如图①，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG，DE．
（1）探究BG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时，线段BG和ED有何关系？写出结论并证明．
【解析】（1）BG=DE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE.
在△BCG和△DCE中，
BD=DC，∠BCG=∠DCE，CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
（2）BG=DE，且BG⊥DE，理由如下：
设BG交CD于H，BG交DE于P，如图②所示：
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
BC=DC，∠BCG=∠DCE，CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴∠DPH=90°，
∴BG⊥DE．
4、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，BC=3，点D在边BC上，连接AD，在AD上方作等边三角形ADE，连接EC．
（1）求证：DE=CE；
（2）若点D在BC延长线上，其他条件不变，直接写出DE，CE之间的数量关系（不必证明）；
（3）当点D从点B出发沿着线段BC运动到点C时，求点E的运动路径长．.
【解析】（1）如图1，取AC中点F，连接EF，则AF=12AC．
∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AB=12AC，∠BAC=60°，
∴AB=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，且AD=AE，AB=AF，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴∠AFE=∠B=90°，
∴EF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴DE=CE；
（2）DE=CE，
理由如下：如图2，取AC中点F，连接EF，则AF=12AC，
∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AB=12AC，∠BAC=60°，
∴AB=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，且AD=AE，AB=AF，
∴△ABD≌△AFE（SAS），
∴∠AFE=∠B=90°，
∴EF垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴DE=CE；
（3）如图3，
当点D与点B重合时，点E在E'处，其中点E'是AC中点；
当点D与点C重合时，点E在E''处，其中△ACE''是等边三角形，
由（1）得：AE=CE，
∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上，
∴E'E''垂直平分AC，
∴点E的运动路径是从AC的中点E'，沿着AC垂直平分线运动到E''处，
由（1）得：AE'=AB，AE''=AC，
∴Rt△E'AE''≌Rt△BAC（HL），
∴E'E''=BC=3，
∴点E运动路径长为3．
5、如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点F是AD的中点，△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接BE，DE，AC．
（1）求证：△EAB≌△EFD；
（2）求ACDE的值．
【解析】（1）证明：∵△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=∠EFA=45°，EA=EF，
又∵∠BAD=90°，∠EFD+∠EFA=180°，
∴∠EAB=∠EFD=135°，
又∵AD=2AB，FD=12AD，
∴AB=FD.
∴△EAB≌△EFD；
（2）解：如图，连接BD．
∵∠AEF=90°，
∴△EFD可由△EAB绕点E逆时针旋转90°得到.
∴EB=ED，且∠BED=90°．
∴△BED也是等腰直角三角形．
∴BD=2DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
∴ACDE=2．