10.压轴点三 二次函数压轴题 题型一 新定义问题 --2025年中考二轮复习课件

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例1 [2024辽宁真题第23题13分]已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当y2＝xy1＝x·2x＝2x2时，则函数y2＝2x2是函数y1＝2x的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A(m， 2m)，点B(m，2m2)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”y2＝2x2的图象上．
设问拆分(2)a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；b. 求点A的纵坐标；c. 求点A的坐标.
∵y2＝3，∴点B的纵坐标是3.∵点B在点A的上方，AB＝2，∴点A的纵坐标是3－2＝1.
原题设问(3)点A在函数y1＝－x＋4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．①若点B与点A重合，求m的值；
设问拆分(3)①a. 求函数y1的“升幂函数”y2的函数表达式；b. 用含m的式子表示出点A和点B的坐标；c. 求m的值.
解：y2＝xy1＝x(－x＋4)＝－x2＋4x.
∵点A的横坐标为m，∴A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m).
∵点B与点A重合，∴－m＋4＝－m2＋4m.整理，得m2－5m＋4＝0.解得m＝1或m＝4.
要点提炼知识必备平面直角坐标系中两个点重合，则这两个点的横、纵坐标分别相等.
原题设问② 若点B 在点A 的上方，过点B 作x 轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC 为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
设问拆分② a. 画出函数y1 和y2 图象的草图，判断线段AB 与y 轴的位置关系，并结合图象判断，当点B 在点A的上方时，求m 的取值范围；
解：画出函数y1和y2图象的草图如解图1，∵点A(m，－m＋4)，B(m，－m2＋4m)，∴AB∥y轴．易知两个函数图象的交点横坐标分别是1和4. 由图象可以判断，当点B在点A的上方时，m的取值范围是1＜m＜4；
b. 当点C 在点B 的右侧时，画出草图，求m 的取值范围，并求y 关于m 的函数表达式；
解：当点C在点B的右侧时，画出草图如解图2，此时1＜m＜2.易知B，C两点关于直线x＝2对称．∴由抛物线的对称性可知BC＝2(2－m)＝4－2m.∵点B在点A的上方，∴AB＝(－m2＋4m)－(－m＋4)＝－m2＋5m－4.∴y＝2(AB＋BC)＝2(－m2＋5m－4＋4－2m)＝－2m2＋6m.∴当1＜m＜2时，y＝－2m2＋6m.
c. 当点C 在点B 的左侧时，画出草图，求m 的取值范围，并求y 关于m 的函数表达式；
解：当点C在点B的左侧时，画出草图如解图3，此时20，解得a