2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下面的四个图案分别是“向左转弯”、“直行”、“直行和向右转弯”和“环岛行驶”的交通标志，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．D．
4．（2分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5B．25C．27D．
5．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等
D．有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等
6．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据是（ ）
A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
7．（2分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
8．（2分）如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（ ）
A．60°﹣αB．45°﹣C．30°D．30°+α
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）等腰三角形的腰长为m，则底边x的取值范围是 ．
10．（2分）任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是 ．
11．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2分）比较大小： 3（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．（2分）在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
14．（2分）计算＝ ．
15．（2分）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b||c|＝ ．
16．（2分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC于点E，若△DEB的周长为15cm，则BC的长为 cm．
三、解答题（本题共11道小题，第17-25题每题6分，第26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）计算：．
19．（6分）计算：．
20．（6分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，请添加一个条件 ，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程．
21．（6分）解方程：﹣＝．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°．
（1）作线段AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，要求：不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接BD，则∠DBC的度数为 ．
23．（6分）先化简，再代入求值：，其中．
24．（6分）已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长．
25．（6分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．求现在每天生产多少万件产品？
26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若AE＝2，CE＝1，求BC的长．
27．（7分）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
2023-2024学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（2分）下面的四个图案分别是“向左转弯”、“直行”、“直行和向右转弯”和“环岛行驶”的交通标志，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2分）如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．D．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，从而可列出关于x的不等式组，故此可求得x的值．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
4．（2分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5B．25C．27D．
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝9+16＝25，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
5．（2分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
C．如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等
D．有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【解答】解：A．用长度分别是1cm，2cm，3cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形，这是不可能事件，故A不符合题意；
B．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形，这是必然事件，故B不符合题意；
C．如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等，这是必然事件，故C不符合题意；
D．有两组对应边和一组对应角分别相等的两个三角形全等，这是随机事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，勾股定理的逆定理，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（2分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据是（ ）
A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
7．（2分）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的宽度DF相等，则这两个滑梯与墙面的夹角∠ACB与∠DEF的度数和为（ ）
A．60°B．75°C．90°D．120°
【分析】先根据BC＝EF，AC＝DF判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质可知，∠1＝∠4，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠ACB+∠DEF＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，属基础题目．
8．（2分）如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（ ）
A．60°﹣αB．45°﹣C．30°D．30°+α
【分析】根据轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AP，
∵点B与点P关于直线AD对称，
∴AP＝AB，AD⊥PB，
又∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AP，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝∠ACP＝＝60°﹣α，
∴∠APB＝∠ABP＝90°﹣α，
∴∠BPC＝∠APB﹣∠APC
＝（90°﹣α）﹣（60°﹣α）
＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）等腰三角形的腰长为m，则底边x的取值范围是 0＜x＜2m ．
【分析】由已知条件腰长是4，底边长为x，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．
【解答】解：根据三边关系可知：m﹣m＜x＜m+m，即0＜x＜2m．
故答案为：0＜x＜2m．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系的运用．列出不等式，通过解不等式求解是正确解答本题的关键．
10．（2分）任意掷一枚骰子，面朝上的点数大于2的可能性是 ．
【分析】根据概率公式直接进行解答即可．
【解答】解：∵共有6个面，其中面朝上的点数大于2的有4种，
∴面朝上的点数大于2的可能性是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
11．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣ ．
【分析】由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
【解答】解：由题意可得：3x+1≥0，
解得x≥﹣，
∴实数x的取值范围为：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
【点评】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2分）比较大小： ＜ 3（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】求出2＝，3＝，再比较即可．
【解答】解：∵2＝，3＝，
∴2＜3，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力．
13．（2分）在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：取出次品的可能性大小是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查可能性的大小，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（2分）计算＝ 22 ．
【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5﹣（1﹣18）
＝5+17
＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
15．（2分）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b||c|＝ 0 ．
【分析】根据数轴得到a﹣c＞0，c﹣b＜0，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案．
【解答】解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，
则c﹣a＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣b﹣a+b﹣c+a+c＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、数轴的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
16．（2分）如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC于点E，若△DEB的周长为15cm，则BC的长为 15 cm．
【分析】根据角平分线性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出AC＝CE＝AB，求出△DBE的周长等于BC，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ADC和Rt△EDC中，由勾股定理得：AC2＝DC2﹣AD2，CE2＝DC2﹣DE2，
∴AC＝CE，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝CE，
∴△DEB的周长是BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝CE+BE＝BC＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本题共11道小题，第17-25题每题6分，第26-27题每题7分，共68分）
17．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：
＝2+1﹣3+2﹣
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（6分）计算：．
【分析】利用完全平方公式计算乘方，利用二次根式的乘法运算法则计算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝+2﹣2+1
＝4+2﹣2+1
＝7﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的结构是解题关键．
19．（6分）计算：．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（6分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，请添加一个条件 BC＝DC（答案不唯一） ，使得△ABC≌△ADC；并写出证明△ABC≌△ADC的过程．
【分析】根据SSS证明△ABC≌△ADC即可．
【解答】解：添加一个条件BC＝DC，证明如下：
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：BC＝DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（6分）解方程：﹣＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣3﹣（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°．
（1）作线段AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，要求：不写作法，保留作图痕迹；
（2）连接BD，则∠DBC的度数为 15° ．
【分析】（1）以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，过两弧的交点作直线交AB于E，交AC于D，则直线DE即为AB的垂直平分线；
（2）求出∠ABC，∠ABD，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝65°﹣50°＝15°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法和性质．
23．（6分）先化简，再代入求值：，其中．
【分析】先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，求出x2﹣2x＝2，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝x（x﹣2）
＝x2﹣2x，
当x＝时，上式＝2﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24．（6分）已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长．
【分析】根据勾股定理求出AE＝2，根据线段的判定与性质求出AE＝BE＝2，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：如图，连接AE，
∵∠C＝90°，AC＝4，CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE＝2，
∴BC＝CE+BE＝2+2．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．（6分）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．求现在每天生产多少万件产品？
【分析】设更新技术前每月生产x万件产品，则更新技术后每月生产（x+30）万件产品，由“在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设更新技术前每月生产x万件产品，则更新技术后每月生产（x+30）万件产品，
由题意列方程，得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
120+30＝150（万件），
答：更新技术前每月生产150万件产品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
26．（7分）如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若AE＝2，CE＝1，求BC的长．
【分析】过B作BH⊥CE交CE延长线于H，CH交AB与F，由角平分线定义得到∠CAE＝∠AFE，由垂直的定义得到∠AEF＝∠AEC＝90°，由三角形内角和定理得到∠AFC＝∠ACF，因此AF＝AC，由等腰三角形的性质推出FE＝EC＝1，由AB＝2AC，得到AB＝2AF，因此BF＝AF，由AAS推出△BHF≌△AEF，得到BH＝AE＝2，HF＝EF＝1，求出CH＝FH+FE+EC＝3，由勾股定理即可求出BC长．
【解答】解：过B作BH⊥CE交CE延长线于H，CH交AB与F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠AFE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEC＝90°，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AF＝AC，
∵AE⊥CE，
∴FE＝EC＝1，
∵AB＝2AC，
∴AB＝2AF，
∴BF＝AF，
∵∠H＝∠AE90°，∠BFH＝∠AFE，
∴△BHF≌△AEF（AAS），
∴BH＝AE＝2，HF＝EF＝1，
∴CH＝FH+FE+EC＝3，
∴BC＝＝．
【点评】本题考查全等三角形得到判定和性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，角平分线定义，关键是通过作辅助线构造全等三角形，等腰三角形．
27．（7分）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
【分析】（1）结论：AB＝（+1）BD．在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．证明CA＝CT，可得结论；
（2）证明△BCD≌△ECF（SAS），推出∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，可得BD∥EF，可得结论；
（3）延长CH交EF的延长线于点J．证明△ACH≌△FJH（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．
理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，
∴＝＝+1，
∴AB＝（+1）BD；
（2）证明：如图2中，
在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB；
（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH（AAS），
∴AH＝FH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．