云南省玉溪市重点高中2025-2026学年高二上学期12月第二次月考试卷 数学（含答案）

这是一份云南省玉溪市重点高中2025-2026学年高二上学期12月第二次月考试卷 数学（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等差数列中，，则公差（ ）
A．B．C．1D．2
2．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2B．C．6D．
3．直线和直线平行，则实数a的值为（ ）
A．B．2或C．2D．或3
4．若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ）
A．2是的极值点
B．的单调递增区间是，
C．的单调递减区间是
D．当时，
6．设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．函数，.若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．4与9的等比中项为
C．在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8
D．等比数列是递增数列，则的公比
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当时，的图象关于中心对称
C．当时，2是极大值点，则
D．当在R上单调时，
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为C上一点，则（ ）
A．长轴长为8
B．存在点P使得
C．内切圆半径的最大值为
D．的取值范围为
三、填空题
12．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有 种.
13．已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 .
14．已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ．
四、解答题
15．若数列的首项为1，且.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和.
16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，

(1)证明：直线平面；
(2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值．
(3)求点N到平面OCD的距离．
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：.
18．已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，求弦长的值；
(2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值，
19．对于函数的导函数，对于给定实数m，若在定义域内存在实数，使得成立，则称是“m跳点”函数，并称是函数的“m跳点”.
(1)若，是“m跳点”函数，求实数m的取值范围；
(2)函数，是“跳点”函数，求实数t的取值范围；
(3)函数，是“1跳点”函数，且在定义域内有且仅有两个不同的“1跳点”，求实数a的值.
参考答案
1．D
【详解】由题知公差.
故选:D.
2．B
【详解】圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故选：B.
3．C
【详解】因为直线和直线平行，
所以，解得或，
当时，两直线方程都是，两直线重合，舍去，
当时，两直线方程分别为，，两直线平行．
∴.
故选：C．
4．A
【详解】依题意，双曲线方程为，
由，解得双曲线的渐近线方程为.
故选：A
5．C
【详解】根据的图象，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，仅，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误；
对B，在内有增有减，故B错误；
对C，的单调递减区间是，故C正确；
对D，当时，，故D错误.
故选：C.
6．C
【详解】因为为等差数列，
由，根据性质得，
由，代入前项和公式：
，因此，
所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负，
所以时，的最大值为.
故选：C.
7．A
【详解】，则，
由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根，
记，
当时，函数单调递增，在时，函数单调递减，
所以当时，函数有最大值，且，
所以当时，有两个不同的根，
等价于直线与函数有两个不同的交点，如图，
所以.
故选：A
8．C
【详解】因为有2个零点，
所以方程即有两个不同的解，
所以函数与有两个不同的交点，
如图，分别作出的图象，

观察可得当，即时，函数有两个不同的交点，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
9．ABC
【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为，
则，所以是公差为的等差数列，
又，所以是公比为的等比数列，
所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确；
对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确；
对于C选项，由等比数列的性质可知，且，
所以，的可能值为，或，或，或，或，，
则，或，或，故C正确；
对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误.
故选：ABC
10．BC
【详解】对于A，当时，，，
若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；
对于B，当时，，，
则，所以的图象关于中心对称，故B正确；
对于C项，当时，，
，因为2是的极大值点，所以，
解得或，若，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以2是的极小值点，不符合题意；
故，则，
所以当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以2是的极大值点，符合题意；
所以，，所以，故C正确；
对于D项，若在定义域R上是单调函数，
则恒成立，
所以，解得，所以D错误，
故选：BC．
11．ACD
【详解】，，所以，，
对于A，长轴长为，故A正确；
对于B，假设存在点使得，由题意可得，
整理可得，因为，方程无解，
故不存在点使得，故B错误；
对于C，设内切圆半径为，
由，
即，若能构成三角形，则，
显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确；
对于D，设，则，，且， ，
所以，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．64
【详解】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种.
故答案为：64.
13．5
【详解】由题意得的定义域为.
在上恒成立，即在上恒成立.
设，则，.
当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数a的最小整数是5.
故答案为：5
14．
【详解】如图所示，

由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=b，
∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，
∴，解得a2=3b2，
∴e=．
答案：
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，所以，
因为，所以，
所以是以首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可知，所以；
所以，所以
.
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直，
以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由为的中点，为的中点，得，
即，
设平面的法向量为，则，取，得，
则平面，所以直线平面．
（2）由（1）知，，且平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
所以，故直线与平面所成角的余弦值为.
（3）由（1）知，，且平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
17．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数中，，求导得，
当时，在上单调递增；
当时，时，时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）知，当时，，
设，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，则，
所以.
18．(1)8
(2)32
【详解】（1）由题意可得，所以，
得抛物线C的方程为：，焦点为，
直线l的方程为：，
联立方程，消去y得，
设，则，
得弦长．
（2）设直线l的方程为：，，
联立方程，消去x得，
设，则，
所以，
同理可得，
所以四边形的面积为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形的面积的最小值为：
19．(1)
(2)
(3)或.
【详解】（1），由题意知：，即，
∴.
（2），由题意知：，即，
∵，∴.
（3），由题意知：，
∴，令，，转化为有两个零点，∵ ，
∴或；；
∴在，单调递增，在单调递减；
由三次函数性质知：若有两个零点，则或，
解得或.