2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期第一次月考试卷（含答案)

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期第一次月考试卷（含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0，导数为0不一定有极值判断即可.
【详解】若函数在处有极值，则一定有；
反之，若，函数在处不一定有极值，
如在处满足，但在处无极值，
所以“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件．
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根据特殊元素与集合的关系作答.
【详解】A. 为偶数，故，故
B. ，故B错
C. ，故错
D. ,故D错
故选：A
3. 下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误.
故选：C.
4. 已知为等比数列，若，则（）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中项的性质求解即可.
【详解】，
，
，
，
.
故选：B
5. 设，，，则，，大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
借助中间量进行大小比较即可.
【详解】解：因为函数在定义域上单调递增，故，即：，
因为函数在上单调递减，故，即：，
因为函数在上单调递增，故，则.
故选：B
6. 抛物线的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程直接写出焦点坐标.
【详解】根据已知，，
所以焦点坐标为.
故选：A
7. 已知向量，向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．
【详解】解：向量，，，向量，1，，
若，设
则有，则，则有，，
则，
故选：．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C相交于A，B两点，若四边形是矩形，则双曲线C的离心率（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立直线与C的方程组，求出弦AB长，由|AB|=|F1F2|求解即得.
【详解】显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，四边形是矩形，当且仅当|AB|=|F1F2|，
设点，而
由得，解得，
则，而|F1F2|=2c，，
所以化简得，即，，
解得，双曲线C的离心率e有.
故选：D
【点睛】关键点睛：求椭圆或双曲线离心率，建立a，b，c的齐次关系是解决问题的关键.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（）
A. 有7个面B. 有13条棱
C. 有7个顶点D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据几何体的结构特征以及面面平行的判定定理即可得解.
【详解】对于A，由图可知，有面，面，面，面，面，
面，面共7个，故A正确；
对于C，有顶点共8个，故C错误；
对于B，有棱，共13条棱，故B正确；
对于D，取中点，连接，，则可得，，
因为，则为中点，且为中点，
则，即，且平面，平面，
所以平面，
又为中点，所以，且平面，
平面，所以平面，
且，平面，所以平面平面，故D正确；
故选：ABD
10. 已知无穷等差数列的前项和为，，，则（）
A. 在数列中，最大
B. 在数列中，或最大
C.
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件推得数列公差，故最大，A项正确，B项错误；对与作差，化简，通过举特例否定恒成立；根据推得，将通项表达式放大，由题设分析即得.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，又由可得：，即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误；
对于C项，由，由A项可知故，故C项正确；
对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确.
故选：ACD.
11. 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【详解】设，最大正方形的边长为1，
小正方形的边长分别为．∵，
，
，
，，
所以C正确；
，
所以，所以B正确，
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线过点，则的最小值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】由直线过点，可得，从而有，展开后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】解：因为直线过点，所以，
因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8
故答案为：8
【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
13. 已知，，，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案.
【详解】
根据诱导公式得：
由正切函数的和差公式，且，上式可计算得：
故答案为：.
14. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断是否为函数的零点，从而得到方程有两个根，令，问题转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数说明在上的单调性，即可得到的图象，再数形结合即可得解.
【详解】因为，则，
对于函数，所以，显然不是函数的零点，
当时函数恰好有两个零点，
所以方程有两个根，
令，
则函数与函数的图象有两个交点，
当时，，则，
所以当时，，函数在上为增函数，
当时，，函数在上为减函数，又，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数的图象如下：
当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，
所以.
故答案为：.
三、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在中，三边所对的角分别为，已知．
（1）求；
（2）若外接圆的直径为4，求的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】利用三角恒等变换和余弦展开式再结合特殊三角函数值可得；
利用正弦定理，余弦定理，三角形面积公式解出即可.
【小问1详解】
因为，
因为．
所以，
又，则，因为，所以．
【小问2详解】
由正弦定理，，则，
由余弦定理，，
解得或（舍去），
故的面积．
16. 在圆锥PO中，高，母线，B为底面圆O上异于A的任意一点.
（1）若，过底面圆心O作所在平面的垂线，垂足为H，求证：平面OHB；
（2）若，求二面角余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据线面垂直的性质证明，再证明平面，可得，根据平面，可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以O原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为PO为圆锥的高，所以平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，又平面，所以，
又因平面，所以平面；
【小问2详解】
如图，以O原点，建立空间直角坐标系，
得，
所以.
设平面PAB的一个法向量为，
则，则可取，
因轴垂直平面，
则可取平面POA的一个法向量为，
则，
故所求二面角的余弦值为.
17. 已知是等差数列前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意，求的最小整数值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；
（2）根据错位相减法求出和，即可得解.
【小问1详解】
设的公差为，因为，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
令，
所以，
两式相减得，
所以．
因为，所以，
所以，故的最小整数值为1．
18. 已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，分离参数，然后构造函数，求导可得，转化为最值问题，即可得到结果.
【小问1详解】
定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，
综上所述，当时，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【小问2详解】
恒成立，
所以恒成立，设，
则，
设，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，所以当时，恒成立，
当时，递增，当时，递减，
所以，
由恒成立得，
所以的取值范围为.
19. 已知椭圆的右焦点为，且经过点，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质和将已知点代入列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简，从而证得结论成立.
【小问1详解】
由题意得，解得，
故椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
由（1）知，，
设，直线的方程为，
由消去得，
，
则，
直线的方程为，
由，得，
同理，
则
，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
+
单调递减
单调递增