甘肃省张掖市肃南裕固族自治县2024年中考一模数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省张掖市肃南裕固族自治县2024年中考一模数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列各数中无理数是（ ）
A. …B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
3. 方程组的解为，则☆，O分别为（ ）
A. 9，B. 9，1C. 7，D. 5，1
【答案】C
【解析】
【分析】把代入，可确定O的值，再把代入可确定☆的值．
【详解】解：把代入，得，
∴O表示的是，
把代入，得，
即，，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确解答的关键．
4. 已知，，则的值为（ ）
A. 6B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．
【详解】解:
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用性质构造成am、an的形式是解题的关键．
5. 不等式组解集在数轴上表示正确的是( )
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别解出两个一元一次不等式，再把得到的解根据原则（大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心）分别在数轴上表示出来，再取两个解相交部分即可得到这个不等式组的解集.
【详解】解：对不等式移项，即可得到不等式的解集为，
对不等式，先去分母得到，即解集为，
把这两个解集在数轴上画出来，再取公共部分，
即：，
解集在数轴上表示应为C.
故选C.
【点睛】本题主要考查了数轴和一元一次不等组及其解法，先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再比较即得到答案.
6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
根据二次项系数 可得：
故选：C．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 一组数据：1，4，7，7，，4的平均数是5，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这组数据的极差是3B. 这组数据的中位数是7
C. 这组数据的众数是4D. 这组数据的方差是5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查极差，众数，平均数，中位数、方差的定义，属于基础题．分别求出这组数据的极差，众数，中位数，方差，即可判断每个选项．
【详解】解：∵一组数据：1，4，7，7，，4的平均数是5，
∴
∴
极差是，故A是错误的；
则一组数据：1，4，4，7，7，7，
则这组数据的中位数是，故B是错误的；
∴这组数据的众数是7，故C是错误的；
方差
故D是正确的
故选：D．
8. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
9. 如图，，以O为圆心，任意长为半径作弧交于点M，于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，过P作于点F，交于点E．若，，那么的面积为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作角的平分线，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．由作图知，平分，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再推出是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
10. 关于x的一元二次方程(2x－1)2+n2+1=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】C
【解析】
【分析】先对原方程进行变形，然后进行判定即可．
【详解】解：由原方程可以化为：(2x－1)2=-n2-1
∵(2x－1)2≥0, -n2-1≤-1
∴原方程没有实数根．
故答案为C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键在于对方程的变形，而不是运用根的判别式．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是关键．
12. 已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线．
【答案】9
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
13. 中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为__________元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：盈利元记作元，那么亏损元可记作元，
故答案为：．
14. 对于等式，当时，；时，；则当时，_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知的两组值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组求出的值，再将代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则等式为，
将代入得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立的二元一次方程组是解题关键．
15. 在如图所示的6×5网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是_______．
【答案】7个
【解析】
【分析】分别以为一条公共边，根据三角形全等的判定定理和方格的特点即可得出结论．
【详解】解：如图，以为公共边且与全等的三角形是，
以为公共边且与全等的三角形是，
以为公共边且与全等的三角形是，
综上，所求的格点三角形的个数是7个，
故答案为：7个．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，结合方格特点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
16. 已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
∵，
∴，
∵线段 和 的中点 ，
∴，
同理：，
∴，
……
依次类推， ，
∴，
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：＋×－÷.
【答案】.
【解析】
【分析】将原式中的二次根式和三次根式先化简，然后按照“先乘除，后加减”的原则计算即可.
【详解】解：＋×－÷
＝9＋4－×(－)
＝13＋
＝.
【点睛】本题二次根式、立方根的化简，及二次根式的混合运算.
18. 已知x=2+，y=2-．试求代数式的值．
【答案】14
【解析】
【分析】先计算出、的值，再代入原式计算可得．
【详解】解：，，
，，
则原式
．
【点睛】本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．
19. 如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；
（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°
∵F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）．
【小问2详解】
解：∵BC＝12，
∴AD＝12
Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，
∴AE＝＝4，
由（1）知△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．
∴∠EAF＝90°
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
20. 如图，O是AB上一点，过点O作射线OC．
（1）利用尺规作图分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）OD⊥OE，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作和的平分线；
（2）根据角平分线的定义得到，，所以，再利用平角的定义得到，然后根据垂直的定义可判断．
【详解】解：（1）如图，、为所作；
（2）．
理由如下：
、分别平分和，
，，
，
即，
．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问题的关键．也考查了垂直的定义．
21. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入：②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元．
（1）请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；
（2）小美得到小兔玩具的机会有多大？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）200元
【解析】
【分析】（1）画树状图展示所有10种等可能的结果数；
（2）找出从开始进入的出入口离开的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】解：（1）画树状图为：
（2）由树状图知，共有10种等可能的结果数，其中从开始进入的出入口离开的结果数为2，
所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率＝＝.
【点睛】本题考查列树状图法和概率公式，解题的关键是掌握列树状图法和概率公式.
22. 龙门黄河大桥全长,是黄河上跨径最大的斜拉桥,号称“黄河第一桥”也是山西省里程最长､投资最大､结构最复杂的桥梁,其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔,造型优美,数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度．如图．同学们在无人机上搭载测角仪,当无人机垂直上升到离地面高的点处时悬停,测得其中一座塔的塔尖的仰角．无人机从点处垂直上升后到达点处再次悬停,此时测得该塔塔尖的仰角．已知点均在同一平面内,求此花瓶型塔的高度．（结果精确到;参考数据:,,）
【答案】121.6米
【解析】
【分析】如图,分别延长,,交于点,,延长交于点,则得到四边形和四边形都是矩形,可得,,,在中,可得到,在中,用,可求出,从而求出,即可求解．
【详解】
如解图,分别延长,,交于点,,延长交于点．
根据题意,得,,,,
∴四边形和四边形都是矩形．
∴．
∵,,
∴,．
在中,,
∴,
在中,,,
∴．
∴．
又∵,
∴．
解得．
∴．
∴．
答:此花瓶型塔的高度约为．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的实际应用,解题的关键是根据题意运用数学建模思想,构建出直角三角形,利用锐角三角函数值求解．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 某校开展阳光体育运动，调查了七年级学生喜欢的球类活动（每人只选一项自己最喜欢的球类项目），并将调查情况制成如下统计表和统计图（不完整）．请将统计表和统计图补充完整．

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】先求七年级喜欢球类的总人数，用喜欢乒乓球的人数除以喜欢乒乓球的人数占总人数的百分数；再求喜欢排球和篮球的人数，再求喜欢足球的人数占总人数的百分数，再补全图形即可．
【详解】解：，
∴喜欢篮球的有（人），
喜欢排球的有（人），
喜欢足球的有（人），
∴，
补全统计图表如下：
．
【点睛】此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，然后再进行计算，理解题意与图形信息是解本题的关键．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点．
（1）试确定一次函数和反比例函数解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解．
【答案】（1），
（2）9 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．
（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）求的面积就是求A，B两点的坐标，将一次函数与反比例函数的解析式组成方程即可求得；
（3）观察图象即可求得一次函数比反比例函数大时，自变量取值范围．
【小问1详解】
将代入
得，
∴，
将代入，得
将代入
得：，
∴
∴；
【小问2详解】
与x轴、y轴交点坐标分别为
==
【小问3详解】
解：∵，
∴当一次函数图象在反比例函数图象的上方时，
25. 如图①，已知是⊙的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接．是的中点，作弦，垂足为．
（1）若点和点不重合，连接、和．当是等腰三角形时，求的度数．
（2）若点和点重合，如图②．探索与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）如图，设，，由是等腰三角形，可得，从而得，得到，再由是的中点，可得，从而得，得，由是直径，可得①，根据，可得，即②，解方程组即可得；
（）如图，连接，，设，由已知可得，，再由三角形内和定理可得，从而得，中，根据勾股定理即可得．
【小问1详解】
解：如图，设，，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∴，即②，
，解得，即；
【小问2详解】
解：如图，连接，，
设，由于是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，即，
∴，
∵是直径，
∴，中：，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角是直角等，结合图形特点，选择恰当的方法进行解答是关键.
26. 如图，四边形为矩形，点，是边上的两个点，．
（1）求证：；
（2）请仅用无刻度的直尺作出的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质等知识；
（1）证明，可得结论；
（2）连接，交于点，连接，交于点，作直线即可．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
如图，直线即为所求．
27. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）

（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝时，线段PQ的长度最大，最大值为；（3）抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM为直角三角形
【解析】
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线解析式，再表示出PQ，然后利用二次函数的最值求解即可；
（3）求出抛物线对称轴为直线x＝1，然后分①AB是直角边时，写出以点A为直角顶点的直线AM的解析式，然后求解即可，再写出以点B为直角顶点的直线BM的解析式，然后求解即可，②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），然后利用勾股定理列方程求出m的值，再写出点M的坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3），
∴，解得，
所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
则，解得，
所以，直线AB的解析式为y＝x+1，
设点P的横坐标为x，
∵PQy轴，
∴点Q的横坐标为x，
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1），
＝﹣x2+x+2，
＝﹣（x﹣）2+，
∵点P在线段AB上，
∴﹣1≤x≤2，
∴当x＝时，线段PQ的长度最大，最大值为；
（3）由（1）可知，抛物线对称轴为直线x＝1，
①AB是直角边时，若点A为直角顶点，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，
将点代入得，
，解得
∴直线AM的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
此时，点M的坐标为（1，﹣2），
若点B为直角顶点，
设直线BM的解析式为y＝﹣x+m，
将点代入得，
，解得
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝1时，y＝﹣1+5＝4，
此时，点M的坐标为（1，4），
②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），
则AM2＝（﹣1﹣1）2+m2＝4+m2，BM2＝（2﹣1）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，
由勾股定理得，AM2+BM2＝AB2，
所以，4+m2+1+（m﹣3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，
整理得，m2﹣3m﹣2＝0，
解得m＝，
所以，点M的坐标为（1，）或（1，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM为直角三角形．
球类项目
乒乓球
篮球
足球
排球
人数
30人
______人
______人
______人
球类项目
乒乓球
篮球
足球
排球
人数
30人
30人
45人
15人