数学七年级下册（2024）幂的运算教课内容课件ppt

这是一份数学七年级下册（2024）幂的运算教课内容课件ppt，共91页。PPT课件主要包含了1幂的运算，根据乘方的意义得，＝am＋n，b3c3，a4m，－3m－n，习题101，▣复习巩固，▣拓展延伸，▣探索创新等内容，欢迎下载使用。
如下图，这幅横披的画心宽为a，长为b，装裱后画心左右各增加c，上下各增加d。怎样表示整幅横披的面积? 有几种表示方法?不同的表示方法之间有什么关系?
幂方便了“大数”的表示。为了解决“大数”的运算问题，我们从同底数幂的乘法开始研究。
某超级计算机持续运算速度约为 9.3×1016 次/s，它工作 104 s大约可进行多少次运算?
(1) 如何计算 1016×104?
(2)计算下列各式，结果写成幂的形式。
(3) 当 m，n 为正整数时，如何计算 am·an?
am·an＝( a · a · … · a ) · ( a · a · … · a )
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am.an ＝am＋n (m，n为正整数)。
根据这一运算性质，可以得出该超级计算机工作 10s 的运算次数约为
9.3×1016×104＝ 9.3×1020。
计算：
解：x3·x5＝x3＋5＝x8。
解：b2m＋1·b2m－1＝b2m＋1＋2m－1＝ b4m。
解： a·a2·a3＝ a1＋2·a3＝ a1＋2＋3＝a6。
怎样计算 am·an·ap?
解：(1) a2 • a5＝a2＋5＝a7.(2) 2n • 2n＋1＝2n＋n＋1＝22n＋1.(3) xm • xm＋1＝xm＋m＋1＝x2m＋1.(4) a2m • a3m－2 • am＋2＝a2m＋3m－2＋m＋2 ＝a6m.
2.已知光在真空中的速度大约是 3×108 m/s，1光年是光在真空中 1 年 (按3.2×107s计算) 内所走过的距离。“中国天眼”在2022 年探测到一个尺度大约为 200 万光年的原子气体结构，这个原子气体结构的尺度约为多少米?
解：3×108×3.2×107×2000 000＝1.92×1022 (m). 所以，这个原子气体结构的尺度约为 1.92×1022 m.
由乘方的意义，我们可以发现同底数幂相乘，底数不变，指数相加。积的乘方有什么性质?
太阳、地球都可以近似地看作球体，它们的半径之比约为 109:1。设地球的半径为 r，求太阳的体积。
在上面的算式中，(109r)3，表示两数积的乘方。
(1) 如何计算 (109r)3 呢?
(2) 计算下列各式：
(3b)2＝__________________；(bc)3＝__________________。
(3) 如何计算 (ab)m?
积的乘方等于各因数乘方的积，即(ab)m ＝ambm (m为正整数)。
解：(3x)3＝33x3＝27x3。
解：(5mn)2＝52·(mn)2＝52·m2·n2＝25m2n2。
解：(－2ab)3＝(－2)3·(ab)3＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3。
怎样计算 (abc)m ?
由乘方的意义，我们可以发现积的乘方等于各因数乘方的积。当因数相等时，积的乘方有什么性质?
地球可以近似地看作球体，半径约为 6.37×103 km，它的体积约为多少(结果精确到1010km3) ?
(1) 如何计算 (6.37×103)3 ?
(2) 计算下列各式，结果写成幂的形式：
(24)2＝_____________；(a3)3＝_____________；(am)4＝____________。
(3) 观察上面的算式以及运算结果，你能发现什么规律? 当 m，n 为正整数时，
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn (m，n为正整数)。
(1) (a2)3； (2) (am)2； (3) －(b4)2。
解：(1) (a2)3＝a2×3＝a6。(2) (am)=a2m。(3) －(b4)2＝－b4×2＝－b8。
(1) (－3x4)2； (2) (2a2b)3。
解：(1) (－3x4)2＝(－3)2·(x4)2＝9x8。(2) (2a2b)3＝23·(a2)3・b3＝8a6b3。
(1) (34)n； (2)(－2ab2)3； (3) (2.5×103)2。
解：(1) (34)n＝ 34×n＝34n.(2) (－2ab2)3＝(－2)3 • a3 • (b2)3＝－8a3b6.(3) (2.5×103)2＝2.52×(103)2＝6.25×106.
2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确，应怎样改正？
(1) (x3)2＝x9； (2) (x3)3＝x6； (3) (ab2)4＝ab8。
解：(1)不正确. (x3)2＝x3×2＝x6.(2)不正确. (x3)3＝x3×3＝x9.(3)不正确. (ab2)4＝a4 • (b2)4＝a4b8.
我们学习了同底数幂的乘法的性质，同底数幂的除法有什么性质?
木星有 92 颗卫星，其中木卫四的质量约为 1023kg。火星有 2颗卫星，其中火卫一的质量约为 1016kg。木卫四的质量约为火卫一的质量的多少倍?
1023÷1016 ＝
＝1023－16＝107。
所以木卫四的质量约为火卫一的质量的 107 倍。
(1) 计算下列各式：
(2) 对于不为零的有理数 a，如何计算 am÷an (m，n 为正整数，且 m＞n)?
也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果。由同底数幂乘法的运算性质可知 am－n • an＝am，所以 am÷an＝am－n。
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n (a≠0，m，n为正整数，且 m＞n)。
2.下列各式的计算结果是否正确? 若不正确，应怎样改正?
(1) m6÷m2＝m3；(2) (－a)3÷(－a)＝－a2；(3) am＋1÷am－1＝a2；(4) a2m÷am＝a2。
解：(1)不正确. m6÷m2＝m6－2＝m4.(2)不正确. (－a)3÷(－a)＝(－a)3－1＝(－a)2＝a2.(3)正确.(4)不正确. a2m÷am＝a2m－m＝am.
对于同底数幂的除法，当 m＞n 时，am÷an=am－n。当 m＜n或 m＝n 时，我们又该怎样表示 am÷an 的运算结果呢?
计算 102÷102，102÷104 和 103÷106，你能发现什么规律?
由分数的意义和分数的性质，可进行约分得到
这些式子都是同底数幂的除法运算，那么
102÷102＝102－2＝100；102÷104＝102－4＝10－2；103÷106＝103－6＝10－3。
(1) (－3)0； (2) 4－1； (3) (－5)－2。
引入零指数和负整数指数后，指数的范围从正整数扩充至整数，正整数指数幂的运算性质能否推广到整数指数幂?
(1) 如何计算 25×2－2 和 20÷2－2?
由此可见，同底数幂的乘法和除法的运算性质对整数指数幂仍适用。
(2) 幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用?
引入零指数和负整数指数后，原有的幂的运算性质中指数的范围可以推广到整数，即am • an＝am＋n (m，n为整数)；am÷an＝ am－n (m，n为整数)；(am)n＝ amn (m，n 为整数)； (ab)m＝ambm (m 为整数)。
(1) x5÷x－2； (2) (－a2b)÷(－a2b)－2。
解：(1) x5÷x－2 ＝x5－(－2) ＝ x7。(2) (－a2b)÷(－a2b)－2＝(－a2b)1－(－2) ＝(－a2b)3＝－(a2)3b3＝－ a6b3。
(1) 2－2×2－3；(2) 33×3－2÷38；(3) x2 • x3÷x8；(4) (a－5)－2÷a－6。
2.计算：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2。
解：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2＝ (a＋1)3＋(－1)－(－2)＝ (a＋1)4.
我们曾用科学记数法表示绝对值较大的数，那么能否用科学记数法表示绝对值较小的数呢?
(1)下面的数是否可以用科学记数法表示?
某原子的半径约为一百亿分之一米；
世界上最轻的昆虫的质量约为 0.000 005 g；红细胞的平均直径约为 0.000 007 2 m。
(2)用10的负整数指数幂表示 0.000···01 这样的小数有什么规律?
0.000···01＝10－n。
绝对值小于1的非零数可以记作 a×10－n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 是正整数。
微米(μm)是一种长度计量单位，1μm 的长度是1mm 的千分之一纳米(nm)是更小的长度计量单位，1nm为1μm的千分之一。已知某种球菌的直径约为 0.5μm，某种病毒的直径约为22nm，用科学记数法表示它们的直径，分别约为多少米?
解：因为 1μm＝ 10－6m，1nm＝10－9 m，0.5×10－6＝5×10－7(m)，22×10－9＝2.2×10－8(m)，所以，这种球菌的直径约为 5×10－7m，这种病毒的直径约为 2.2×10－8 m。
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 04；(2) －0.034；(3) 0.000 000 45；(4) 0.003 009。
解：(1) 0.000 04＝4×10－5.(2) － 0.034＝3.4×10－2.(3) 0.000 000 45＝4.5×10－7.(4) 0.003 009＝3.009×10－3.
2. 用小数表示下列各数：
(1) 2.1×10－5； (2) －5×10－7。
解：(1) 2.1×10－5＝0.000 021.(2) －5×10－7＝－0.000 0005.
解：(1) x8 • x8 • x8＝x8＋8＋8＝x24.(2) an＋1 • an • a ＝ an＋1＋n＋1＝a2n＋2.(3) (t2)4＝ t2×4 ＝ t8.(4) (－a4)3＝－a4×3＝－a12.
(1) (－2x)4；
(3) (3xyz)2。
解：(1)(－2x)4＝(－2)4 • x4＝16x4 .(2) (3xyz)2＝32・x2y2z2 ＝9x2y2z2.
(1) (xy)3·x2； (2) (7ab2)m； (3) (－3x2)3－[(2x)2]3。
解：(1) (xy)3 • x2 ＝x3 • y3 • x2 ＝x5y3.(2) (7ab2)m ＝ 7m • am • (b2)m＝ 7mamb2m.(3) (－3x2)3－[(2x)2]3＝(－3)3・(x2)3－(2x)6 ＝－27x6－64x6＝－91x6.
5. 一个正方体的棱长为 2×103 cm，它的体积是多少?
解：(2×103)3＝2×(103)3＝8×109 (cm3).所以，它的体积是 8×109 cm3.
(1) 50＋4－2；
(1) 3－2×33；(2) (2－5)2；(3) a3÷a－5；(4) (x－1y－2)－1； (5) b－3・b8÷b2；(6) m3·m5÷(m－2·m9)。
9. 碳纤维的直径为 0.000 005 m，一个碳纤维机器人的质量为 0.000 106 kg。用科学记数法表示 0.000 005 和 0.000 106。
解：0.000 005＝5×10－ 106＝1.06×10－4.
10. 水由水分子构成，1g 水中约有 3.34×1022 个水分子，请估算1kg 水中有多少个水分子(结果用科学记数法表示)。
解：3.34×1022×1 000＝3.34×1022×103＝3.34×1025(个).所以，1kg 水中约有 3.34×1025 个水分子.
11. 将下列各数写成小数的形式：
(1) 3.67×10－5； (2) －2.8×10－6 .
解：(1) 3.67×10－5＝0.000 036 7.(2) －2.8×10－6＝ －0.000 002 8.
(1) (－2)30×(0.5)30；
13. 已知 2x＝3，2y＝5，求 2x＋y 的值。
解：因为 2x＝3，2y＝5，所以 2x＋y＝ 2x • 2y ＝ 3×5＝15.
14. 已知 xn＝2，求 (3xn)2－4(x3)n 的值。
解：因为 xn＝2，所以 (3xn)2－4(x3)n=9(xn)2－4(xn)3＝9×22－4×23＝9×4－4×8＝36－32＝4.
15.一张数码照片的文件大小是 211 KB，存储量为 32GB (1GB＝220KB) 的 U 盘能存储多少张这样的数码照片?
解：32×220÷211－25×220÷211＝25＋20－11＝214＝16 384 (张).所以，存储量为 32 GB 的 U 盘能存储 16 384 张这样的数码照片.
16. 我们都知道水滴石穿的道理，若水滴不断滴在一块石头的同一位置上，经过 40年，石头上形成了一个深为 4.8×10－2 m的小坑，请问小坑的深度平均每月增加多少米 (结果用科学记数法表示)?
解：(4.8×10－2)÷(40×12)＝(4.8×10－2)÷(4.8×102)＝10－4 (m).所以，小坑的深度平均每月增加 10－4 m.
17. 将 x9 写成 xm·xn 的形式。如果 m，n 均为正整数，可以写出多少种?
解：x9＝x • x8，x9＝x2 • x7，x9＝x3 • x6，x9＝x4 • x5，x9＝x5 • x4，x9＝x6 • x3，x9＝x7 • x2，x9＝x8 • x，所以，一共可以写出 8 种结果.
18. 规定：a☆b＝10a×10b，如 2☆3＝102×103＝105。(1) 求 12☆3 和 4☆8 的值；
解：12☆3＝1012×103＝1012＋3＝1015，4☆8＝104×108＝104＋8＝1012.
(2) (a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等吗? 说明理由。
理由如下：(a＋b)☆c ＝ 10a＋b。10c＝10a＋b＋c ，a☆(b＋c)＝10a • 10b＋c＝10a＋b＋c，所以，(a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等.