第5章 一元一次方程【章末复习】 课件-2025-2026学年2024华东师大版数学七年级下册

第 5 章 一元一次方程章末复习一、知识框架总览本章围绕 “一元一次方程” 展开，从概念定义到解法步骤，再到实际应用，形成完整知识体系，具体框架如下： 二、核心知识点回顾（一）基础概念辨析一元一次方程的判断需同时满足三个条件：①只含有一个未知数（如\(x\)、\(y\)）；②含未知数的项的次数为 1（无\(x^2\)、\(x^3\)等）；③方程两边均为整式（分母不含未知数，如\(\frac{1}{x}+2=5\)不是一元一次方程）。示例：\(3x - 5 = 7\)（是）、\(2x + y = 1\)（否，含两个未知数）、\(x^2 - 4 = 0\)（否，次数为 2）。等式的基本性质（解方程的依据）性质 1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立。例：若\(a = b\)，则\(a + 3 = b + 3\)，\(a - 2x = b - 2x\)。性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0的数，等式仍成立。例：若\(a = b\)，则\(a×5 = b×5\)，\(a÷(-2) = b÷(-2)\)（\(-2≠0\)）。注意：除以一个数时，必须保证这个数不为 0，否则等式无意义。方程的解与解方程方程的解：“结果”，是使方程成立的未知数的具体值（如\(x = 4\)是\(2x - 3 = 5\)的解）。解方程：“过程”，求方程的解的操作步骤（如去分母、移项等）。（二）解方程的完整步骤（以\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\)为例）步骤操作方法示例应用易错点提醒1. 去分母两边同乘各分母的最小公倍数（3 和 4 的最小公倍数为 12），消去分母\(12×\frac{2x - 1}{3} - 12×\frac{x + 2}{4} = 12×1\)，化简得\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)漏乘常数项（如右边的 “1” 需乘 12，否则方程变形错误）2. 去括号利用乘法分配律展开，括号前是负号，括号内各项变号\(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)括号前是负号时漏变号（如\(-3(x + 2)\)易误写为\(-3x + 6\)）3. 移项将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号\(8x - 3x = 12 + 4 + 6\)移项不变号（如\(-4\)移到右边应变为\(+4\)，易误写为\(-4\)）4. 合并同类项同类项的系数相加，字母及指数保持不变\(5x = 22\)系数计算错误（如\(8x - 3x = 5x\)，\(12 + 4 + 6 = 22\)）5. 系数化为 1两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），求未知数的值\(x = \frac{22}{5}\)（或\(4.4\)）系数为负数时符号错误（如\(-2x = 6\)，应得\(x = -3\)，易误写为\(x = 3\)）（三）实际应用解题流程列一元一次方程解决实际问题，需遵循 “审、设、找、列、解、验、答” 七步，核心是 “找到等量关系”：审：通读题目，圈画关键信息（如 “共”“比”“是”“多 / 少”“快 / 慢”），明确已知量与未知量。设：设未知数，优先设 “直接未知数”（求什么设什么），复杂问题可设 “间接未知数”（如设中间量为\(x\)），并注明单位。找：根据题意，找出等量关系（如行程问题中 “相遇时两人路程和 = 总路程”，工程问题中 “合作工作量 = 各部分工作量之和”）。列：根据等量关系，用含未知数的式子表示各量，列出一元一次方程。解：按照解方程步骤，求出未知数的值。验：双重检验 ——①检验解是否满足方程（数学层面）；②检验解是否符合实际意义（如人数为正整数、时间非负数）。答：用简洁语言回答问题，注明单位，避免只写数学解（如 “答：该商品的单价为 25 元”）。三、典型例题解析（按题型分类）（一）方程解法类例 1：解方程\(2(x - 3) - 5(1 - x) = 3(x + 1)\)解：①去括号：\(2x - 6 - 5 + 5x = 3x + 3\)（括号前是负号，\(-5(1 - x) = -5 + 5x\)）；②移项：\(2x + 5x - 3x = 3 + 6 + 5\)（含\(x\)的项移左，常数项移右，移项变号）；③合并同类项：\(4x = 14\)；④系数化为 1：\(x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}\)（或\(3.5\)）；⑤检验：将\(x = \frac{7}{2}\)代入原方程，左边\(2(\frac{7}{2}-3)-5(1-\frac{7}{2})=2×\frac{1}{2}-5×(-\frac{5}{2})=1 + \frac{25}{2}=\frac{27}{2}\)，右边\(3(\frac{7}{2}+1)=\frac{27}{2}\)，左右相等，解正确。（二）实际应用类1. 行程问题（相遇问题）例 2：甲、乙两人分别从相距 240 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度为 60 千米 / 时，乙的速度为 40 千米 / 时，经过多少小时两人相遇？解：①设经过\(x\)小时两人相遇；②等量关系：甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 = 总路程（240 千米）；③列方程：\(60x + 40x = 240\)；④解方程：\(100x = 240\)→\(x = 2.4\)；⑤检验：\(x = 2.4\)小时，甲行驶\(60×2.4 = 144\)千米，乙行驶\(40×2.4 = 96\)千米，\(144 + 96 = 240\)千米（符合总路程），且时间为正数，符合实际；⑥答：经过 2.4 小时两人相遇。2. 工程问题（合作问题）例 3：一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成。若甲先做 3 天，再由甲乙合作，还需多少天完成这项工程？解：①设甲乙合作还需\(x\)天完成，总工程量设为 1（工程问题常用 “1” 表示总工作量）；②甲的工作效率：\(\frac{1}{10}\)（每天完成总工程的\(\frac{1}{10}\)），乙的工作效率：\(\frac{1}{15}\)；③等量关系：甲先做的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工程量（1）；④列方程：\(3×\frac{1}{10} + (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\)；⑤解方程：化简左边，\(\frac{3}{10} + (\frac{3 + 2}{30})x = \frac{3}{10} + \frac{1}{6}x\)，方程变为\(\frac{1}{6}x = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}\)→\(x = \frac{7}{10}×6 = 4.2\)（或\(\frac{21}{5}\)）；⑥检验：\(x = 4.2\)天，合作工作量\(4.2×(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 4.2×\frac{1}{6} = 0.7\)，甲先做工作量\(0.3\)，总和为 1（符合总工程），时间合理；⑦答：还需 4.2 天完成这项工程。3. 经济问题（利润问题）例 4：某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，再打八折销售，售价为 240 元，求这件商品的进价。解：①设商品的进价为\(x\)元；②等量关系：进价 ×(1 + 50%)× 折扣（80%）= 售价（240 元）；③列方程：\(x×(1 + 50%)×0.8 = 240\)；④解方程：化简左边，\(x×1.5×0.8 = 1.2x\)，方程变为\(1.2x = 240\)→\(x = 200\)；⑤检验：进价 200 元，提价 50% 后标价 300 元，打八折后售价\(300×0.8 = 240\)元（符合售价），进价为正数，合理；⑥答：这件商品的进价为 200 元。四、常见易错点总结与避错技巧（一）解方程易错点去分母漏乘常数项如解方程\(\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}\)，去分母时易误写为\(3x - 1 = 2(x - 1)\)（右边乘 2，左边 “-1” 未乘 6），正确应为\(3x - 6 = 2(x - 1)\)。避错技巧：去分母时，方程两边的 “每一项” 都要乘最小公倍数，包括常数项。去括号符号错误如\(-2(x - 3)\)易误写为\(-2x - 6\)（括号内 “-3” 未变号），正确应为\(-2x + 6\)。避错技巧：括号前是负号，把负号和括号去掉后，括号内 “每一项” 都要变号（正变负，负变正）。移项不变号如解方程\(2x + 5 = 3x - 2\)，移项时易误写为\(2x - 3x = -2 + 5\)（“+5” 移右未变号），正确应为\(2x - 3x = -2 - 5\)。避错技巧：“移项” 本质是 “等式两边同时加（或减）同一个数”，移到等号另一边的项，符号必须改变，不移的项不变号。（二）实际应用易错点等量关系找错如行程问题中，追及问题（快的追慢的）的等量关系是 “快者路程 - 慢者路程 = 初始距离”，易误写为 “快者路程 + 慢者路程 = 初始距离”（混淆相遇与追及）。避错技巧：画线段图梳理运动过程，标注已知量与未知量，直观分析数量关系；熟记常见题型的等量关系模板（如工程问题 “工作量 = 效率 × 时间”）。单位不统一如速度为 “千米 / 时”，时间却用 “分钟”，未统一单位直接计算（如 “速度 60 千米 / 时，时间 15 分钟，路程 = 60×15=900 千米”，错误）。避错技巧：审题时先统一单位（如 15 分钟 = 0.25 小时，路程 = 60×0.25=15 千米），确保 “速度、时间、路程”“效率、时间、工作量” 等对应单位一致。忽略实际意义检验如 “求人数” 时，解得\(x = 3.5\)，未检验直接作答（人数不能为小数），正确应根据题意取整数（如 3 人或 4 人，需结合题目限制判断）。避错技巧：解完方程后，必须检验解是否符合实际场景（如人数、数量为正整数，长度、时间为非负数），不符合的解要舍去。五、分层巩固练习（一）基础题（巩固概念与解法）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）A. \(x + 2y = 5\) B. \(x^2 - 1 = 0\) C. \(\frac{1}{x} + 3 = 2\) D. \(3x - 7 = 2x + 1\)（答案：D，解析：A 含两个未知数，B 次数为 2，C 分母含未知数，均不符合一元一次方程定义）解方程：（1）\(5x - 3 = 2x + 6\) （2）\(\frac{x - 1}{2} - \frac{2x + 3}{3} = 1\)（答案：（1）\(x = 3\)；（2）\(x = -9\)，解析：（2）去分母得\(3(x - 1) - 2(2x + 3) = 6\)，去括号得\(3x - 3 - 4x - 6 = 6\)，移项合并得\(-x = 15\)，系数化为 1 得\(x = -9\)）若\(x = 2\)是方程\(2x + m - 4 = 0\)的解，求\(m\)的值。（答案：(m = 0华东师大版（2024）数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 一、方程的有关概念 1.方程：含有未知数的等式叫做方程．2.一元一次方程的概念：只含有____个未知数、左、右两边都是______，并且含未知数的项的次数都是____的方程叫做一元一次方程．3.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．4.解方程：求方程解的过程，叫做解方程．一1整式(1)等式两边都加上(或减去)同一整式，所得结果仍是等式．如果a＝b，那么a±____＝b±c.(2)等式两边乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．如果a＝b，那么ac＝___或____＝____(c≠0)．二、等式的基本性质 bcc解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘．(2)去括号：注意括号前的系数与符号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．(4)合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式.三、一元一次方程的解法 1.列方程(组)的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．注意： 审题是基础，找等量关系是关键.四、实际问题与一元一次方程2.常见的几种方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间关系：路程＝速度×时间．①相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；②追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；③流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．考点1 方程及方程的解 CA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5 返回考点2 等式的基本性质3. [2024新乡期末] 下列利用等式的基本性质变形错误的是( )C  返回考点3 一元一次方程的定义 AA. 2个B. 3个C. 4个D. 1个 BA. 3或1B. 1C. 3D. 0 返回考点4 解一元一次方程6. 下列变形正确的是( )D  返回7.解下列方程：       返回考点5 一元一次方程的应用 DA. 69B. 207C. 84D. 189   返回 675  返回10.[2024长春] 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱.问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题.  返回    返回   返回思想1 整体思想   返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！