27.2.1 点与圆的位置关系 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

第 1 页：封面标题：27.2.1 点与圆的位置关系副标题：从几何特征到数量关系的精准判定落款：初中数学教研组第 2 页：学习目标与知识衔接一、学习目标理解点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外），能通过图形直观识别掌握点与圆位置关系的判定方法（点到圆心的距离与半径的数量关系），能进行双向判断能运用点与圆的位置关系解决点的轨迹、圆的半径范围等问题，培养数形结合思想二、知识衔接（回顾旧知）上节课核心：圆周角定理及推论，明确圆的基本元素（圆心、半径）是分析圆相关问题的基础；思考提问：在平面内，给定一个圆（圆心\( O \)、半径\( r \)）和一个点\( P \)，点\( P \)可能在圆的哪个位置？如何用数学方法精准判定这些位置关系？（引出课题）。第 3 页：一、点与圆的三种位置关系（图形直观）1. 位置关系分类及定义结合图形，根据点与圆的公共点个数及点在圆的区域，点与圆有三种位置关系：位置关系图形特征定义表述公共点个数点在圆内点位于圆所围成的内部区域平面内，点到圆心的距离小于圆的半径0 个点在圆上点恰好落在圆的曲线上平面内，点到圆心的距离等于圆的半径1 个点在圆外点位于圆所围成的外部区域平面内，点到圆心的距离大于圆的半径0 个2. 图形示意与标注画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，在圆内标注点\( A \)、圆上标注点\( B \)、圆外标注点\( C \)；用虚线连接\( OA \)、\( OB \)、\( OC \)，直观展示 “点在圆内”“圆上”“圆外” 的区域差异，标注 “内部”“圆上”“外部” 字样。第 4 页：二、点与圆位置关系的判定方法（数量关系）1. 核心判定依据点与圆的位置关系可通过 “点到圆心的距离（记为\( d \)）” 与 “圆的半径（记为\( r \)）” 的数量关系双向判定，这是 “形” 与 “数” 的对应核心：位置关系数量关系（\( d \)与\( r \)）判定逻辑点在圆内\( d < r \)若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；反之亦然点在圆上\( d = r \)若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；反之亦然点在圆外\( d > r \)若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；反之亦然2. 符号表示与几何语言设\( \odot O \)的半径为\( r \)，点\( P \)到圆心\( O \)的距离为\( d \)，则：点\( P \)在\( \odot O \)内 \( \iff d < r \)；点\( P \)在\( \odot O \)上 \( \iff d = r \)；点\( P \)在\( \odot O \)外 \( \iff d > r \)；（符号 “\( \iff \)” 表示 “双向等价”，即 “若前者成立则后者成立，若后者成立则前者也成立”）3. 实例验证（基础计算）例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 5 \, \text{cm} \)，分别判断下列点与\( \odot O \)的位置关系：点\( A \)到\( O \)的距离\( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 5 \)→点\( A \)在\( \odot O \)内；点\( B \)到\( O \)的距离\( d_2 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 = 5 \)→点\( B \)在\( \odot O \)上；点\( C \)到\( O \)的距离\( d_3 = 7 \, \text{cm} \)：\( 7 > 5 \)→点\( C \)在\( \odot O \)外。第 5 页：三、点与圆位置关系的应用（分层实例）1. 应用 1：求圆的半径范围例 2：已知点\( P \)到圆心\( O \)的距离\( d = 4 \, \text{cm} \)，若点\( P \)在\( \odot O \)内，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。解：由 “点在圆内\( \iff d < r \)”，得\( 4 < r \)，即\( r > 4 \, \text{cm} \)（半径为正数，无需额外限制下限）。例 3：已知点\( Q \)在\( \odot O \)外，且点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。解：由 “点在圆外\( \iff d > r \)”，得\( 6 > r \)，又\( r > 0 \)，故\( 0 < r < 6 \, \text{cm} \)。2. 应用 2：判断多点与圆的位置关系例 4：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心在原点\( (0,0) \)，半径\( r = 10 \)，判断点\( M(6,8) \)、\( N(7,-7) \)与\( \odot O \)的位置关系。解：1. 计算点到圆心的距离（用勾股定理）：点\( M(6,8) \)：\( d_M = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)；\( d_M = 10 = r \)→点\( M \)在\( \odot O \)上；点\( N(7,-7) \)：\( d_N = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} \approx 9.9 < 10 \)；\( d_N < r \)→点\( N \)在\( \odot O \)内。3. 应用 3：点的轨迹问题（初步）例 5：平面内，到定点\( O \)的距离等于\( 3 \, \text{cm} \)的所有点的轨迹是什么图形？解：由 “点在圆上\( \iff d = r \)”，可知这些点的轨迹是以\( O \)为圆心、\( 3 \, \text{cm} \)为半径的圆（即\( \odot O \)，半径\( r = 3 \, \text{cm} \)）。第 6 页：四、易错点解析与避坑技巧1. 常见易错点易错点 1：混淆 “点到圆心的距离” 与 “点到圆上某点的距离”—— 判定依据是 “点到圆心的距离\( d \)”，而非 “点到圆上任意一点的距离”（例：点到圆上某点的距离可能小于半径，但点实际在圆外）；易错点 2：忽略半径的正数属性 —— 求半径范围时，忘记\( r > 0 \)，如例 3 中误写为\( r < 6 \)，未补充\( r > 0 \)；易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未用勾股定理，直接用横 / 纵坐标差作为距离（例：点\( (3,4) \)到原点的距离误算为 3 或 4，正确应为 5）；易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则点在圆内”，忽略 “点在圆内则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致轨迹问题无法解决。2. 避坑技巧“关键词锁定法”：看到 “点与圆位置关系”，立刻锁定 “\( d \)（点到圆心距离）” 和 “\( r \)（半径）” 两个核心量；“范围双向查”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整；“坐标系距离公式记”：平面直角坐标系中，点\( (x,y) \)到原点\( (0,0) \)的距离\( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)，到任意圆心\( (a,b) \)的距离\( d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \)；“双向逻辑练”：练习时同时进行 “已知\( d \)和\( r \)判位置”“已知位置判\( d \)与\( r \)关系”，强化等价思维。第 7 页：课堂练习（分层设计）一、基础题已知\( \odot O \)的半径\( r = 8 \, \text{cm} \)，点\( P \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，则点\( P \)在\( \odot O \)______（答案：内）；若点\( Q \)在\( \odot O \)上，且\( \odot O \)的半径\( r = 12 \, \text{mm} \)，则点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = \)______（答案：12 mm）；在平面直角坐标系中，\( \odot O \)圆心为\( (2,3) \)，半径\( r = 5 \)，则点\( (2,8) \)到圆心的距离\( d = \)，该点在\( \odot O \)（答案：5；上）。二、提升题已知点\( M \)到圆心\( N \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，若点\( M \)不在\( \odot N \)外，求\( \odot N \)半径\( r \)的取值范围（答案：\( r \geq 5 \, \text{cm} \)）；平面内有三点\( A(0,0) \)、\( B(0,4) \)、\( C(3,0) \)，以\( A \)为圆心画圆，若\( B \)、\( C \)两点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆的半径\( r \)的取值范围（答案：\( 3 < r < 4 \)）。第 8 页：课堂小结与作业布置一、课堂小结三种位置关系：点在圆内（\( d < r \)）、圆上（\( d = r \)）、圆外（\( d > r \)），“形” 的特征与 “数” 的关系一一对应；核心判定方法：以 “点到圆心的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价判定；常见应用：半径范围求解、坐标系中位置判断、点的轨迹分析；思想方法：数形结合（图形直观与数量计算结合）、等价转化（位置关系与数量关系转化）。二、作业布置必做：教材中 “点与圆的位置关系” 基础习题，完成 3 道计算判定题和 1 道半径范围题；选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (1,-2) \)，且点\( (4,2) \)在\( \odot P \)上，判断点\( (0,0) \)与\( \odot P \)的位置关系（提示：先求半径\( r \)，再算点到圆心的距离\( d \)）。2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 情境引入 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？.C.... B. A..合作探究点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O 上 点 P 在⊙O 外 d d drPdd Prd＜r r =＞r 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分 别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的 位置关系是点 A 在 ，点 B 在 ，点 C 在 . 圆内圆上圆外2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP = ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外D练一练点和圆的位置关系数形结合：位置关系数量关系知识要点O例1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与 ⊙A 的位置关系如何？解：∵ AB = 3 ＜ 4， ∴ 点 B 在⊙A 内． ∵ AD = 4， ∴ 点 D 在 ⊙A 上． ∵ ＞ 4， ∴ 点 C 在 ⊙A 外.解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，∴ 3＜r＜5.(2) 若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围？(直接写出答案)34·问题1 如何过一个点 A 画一个圆？过点 A 可以画多少个圆？ 合作探究···· 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可； 可画无数个圆.A…过不共线三点画圆问题2 如何过两点 A、B 画一个圆？过两点可以画多少个圆？ ····AB作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可；可画无数个圆.…问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. 经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 不在同一直线上的三个点确定一个 圆.归纳总结作法：1、连接 AB，作线段 AB的垂直平分线 MN；2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O；3、以 O 为圆心，OB 为半径画圆. 所以⊙O 就是所求作的圆.ONMFEABC 已知：不在同一直线上的三点 A、B、C. 求作： ⊙O，使它经过点 A、B、C.练一练问题4：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法：1、在圆弧上任取三点 A、B、C；2、作线段 AB、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心；3、以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆.⊙O 即为所求.ABCO试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C三点的圆.O三角形的外接圆及外心1. 外接圆⊙O 叫做△ABC 的________， △ABC 叫做⊙O 的____________.2. 三角形的外心：定义：外接圆　内接三角形　三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.作图：三角形三边垂直平分线的交点.概念学习O到三角形三个顶点的距离相等.性质：●判一判：下列说法是否正确？(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )√××√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置. 锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于斜边的中点处；钝角三角形的外心位于三角形外. 经过三角形的三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.要点归纳 例2 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO＝60°，若△AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D(0，3)．(1)求∠DAO 的度数；(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°.典例精析(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．(2)∵ 点 D 的坐标是(0，3)，∴ OD＝3.在直角△AOD 中，OA＝OD · tan∠ADO＝ ，AD＝2OD＝6，∴ 点 A 的坐标是( ，0)．∵ ∠AOD＝90°，∴ AD 是圆的直径，∴ △AOB外接圆的面积是 9π.例3 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径．解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC.D则OD＝5 cm，在Rt△OBD 中，即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圆的半径．2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )A. 点 P B. 点 Q C. 点 R D. 点 MB1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)， 则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( ) A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上 C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外 B4. 已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 . 55. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB = 20°，则∠C 的度数是_____.70°3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A .上外上 6. 判断：（1）经过三点一定可以作圆 （ ）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点 （ ）（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）√×××7.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块D8. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm， BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径. 解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.故点 O 是△ABC 的外心.∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm.即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.能力拓展：一个 8 米×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为 5 米，你准备安装几个? 怎样安装? 请说明理由.1．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(－3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是(　　)A．在⊙P内 B．在⊙P上C．在⊙P外 D．无法确定 返回【点方法】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．【答案】 B2．三角形的外心具有的性质是(　　)A．外心在三角形外B．外心在三角形内C．外心到三角形三边的距离相等D．外心到三角形三个顶点的距离相等D 返回 返回B3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)A．点P B．点Q C．点R D．点M4．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C 返回5. 点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是________________．6.5 cm或2.5 cm 返回【点拨】分为两种情况： ①当点在圆内时，如图①，∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，∴直径AB＝4＋9＝13(cm)．∴半径r＝6.5 cm；②当点在圆外时，如图②，∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，∴直径AB＝9－4＝5(cm)．∴半径r＝2.5 cm.综上所述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm.6．[2024遵化期末]已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，则A，B，C这三个点________确定一个圆(填“可以”或“不可以”)．可以 返回7. 如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．【解】如图所示．(2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．【解】∵AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，∴BC＝10 m.∴圆形花坛的半径为5 m.∴小明家圆形花坛的面积为π×52＝25π(m2)． 返回点和圆的位置关系位置关系数量化作圆过一点可以作无数个圆过两点可以作无数个圆不在同一直线上的三个点可确定一个圆一个三角形的外接圆是唯一的注意：过同一直线上的三个点不能作圆d必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！