27.1.3圆周角 课件-2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

第 1 页：封面标题：27.1.2.2 垂径定理副标题：基于圆的轴对称性的核心定理探究落款：初中数学教研组第 2 页：学习目标与知识衔接一、学习目标理解垂径定理的推导过程（基于圆的轴对称性），能准确表述定理的文字与几何语言掌握垂径定理的推论（“知二推三” 逻辑），能灵活运用定理及推论解决弦长、半径、圆心到弦距离的计算问题培养利用圆的对称性分析几何问题的能力，提升逻辑推理与计算素养二、知识衔接（回顾旧知）上节课核心：圆的轴对称性 —— 直径所在直线是对称轴，垂直于弦的直径平分弦与弧（初步性质）；思考提问：若一条直线经过圆心且垂直于弦，它除了平分弦，还能平分弦所对的弧吗？反过来，若一条直线平分弦（非直径），它是否垂直于弦且经过圆心？（引出定理推导）。第 3 页：一、垂径定理的推导（基于轴对称性）1. 实验操作验证操作步骤：画一个\( \odot O \)，任作一条弦\( CD \)（非直径），取圆心\( O \)，过\( O \)作\( AB \perp CD \)于点\( M \)（\( AB \)为直径）；将\( \odot O \)沿直径\( AB \)所在直线对折；观察结果：弦\( CD \)与自身重合，故\( CM = MD \)（弦被平分）；弧\( \frown{CD} \)与自身重合，故\( \frown{AC} = \frown{AD} \)（优弧被平分）、\( \frown{BC} = \frown{BD} \)（劣弧被平分）；图形示意：标注\( \odot O \)、直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，用虚线标注对折重合痕迹，明确\( CM=MD \)、\( \frown{AC}=\frown{AD} \)、\( \frown{BC}=\frown{BD} \)。2. 定理的文字表述垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。关键词解析：“垂直于弦”：直线与弦的夹角为\( 90^\circ \)；“直径”：直线需经过圆心（核心条件，若仅垂直于弦但不经过圆心，无法平分弧）；“平分弦”：弦被直线分成两段相等的线段；“平分弦所对的两条弧”：弦所对的优弧和劣弧分别被平分。第 4 页：二、垂径定理的几何语言与图形要素1. 几何语言表述（规范格式）如图，在\( \odot O \)中：已知条件（定理的 “因”）：\( AB \)是\( \odot O \)的直径（\( AB \)过圆心\( O \)）；\( AB \perp CD \)于点\( M \)；结论（定理的 “果”）：\( CM = MD \)（平分弦）；\( \frown{AC} = \frown{AD} \)（平分弦所对的优弧）；\( \frown{BC} = \frown{BD} \)（平分弦所对的劣弧）；符号表示：\( \because \text{AB是}\odot O\text{的直径，AB}\perp\text{CD于M} \quad \therefore \text{CM=MD，}\frown{AC}=\frown{AD，}\frown{BC}=\frown{BD} \)2. 定理的图形要素（“五要素”）垂径定理涉及 5 个核心要素：过圆心（直线经过圆心）；垂直于弦（直线与弦垂直）；平分弦（直线平分弦）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；核心逻辑：“知二推三”—— 只要知道其中 2 个要素，就能推出另外 3 个要素（需注意：若 “平分弦” 的弦是直径，则 “垂直于弦” 和 “过圆心” 不一定成立，如两条直径互相平分但不一定垂直）。第 5 页：三、垂径定理的推论（“知二推三” 拓展）1. 常见推论（结合图形表述）已知要素（2 个）可推出的要素（3 个）图形示意1. 过圆心；2. 平分弦（非直径）3. 垂直于弦；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧直线\( AB \)过\( O \)，平分弦\( CD \)（非直径）→\( AB \perp CD \)，\( \frown{AC}=\frown{AD} \)等1. 垂直于弦；2. 平分弦3. 过圆心；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧直线\( AB \perp CD \)于\( M \)，\( CM=MD \)→\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)等1. 过圆心；2. 平分弦所对劣弧3. 垂直于弦；4. 平分弦；5. 平分弦所对优弧直线\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)→\( AB \perp CD \)，\( CM=MD \)等2. 关键提醒（“弦为直径” 的特殊情况）若被平分的弦是直径（如\( CD \)是直径，直线\( AB \)平分\( CD \)），则直线\( AB \)不一定垂直于\( CD \)，也不一定平分\( CD \)所对的弧（例：两条互相平分的直径，夹角可不为\( 90^\circ \)）；故推论中 “平分弦” 的前提是 “弦非直径”，此条件不可忽略。第 6 页：四、垂径定理的核心应用（计算与证明）1. 核心模型：“弦长、半径、弦心距” 的直角三角形模型构建：过圆心\( O \)作弦\( CD \)的垂线，垂足为\( M \)，则\( OM \)为 “弦心距”（圆心到弦的距离），连接\( OC \)（半径\( r \)），则\( \triangle OMC \)为直角三角形，满足：\( r^2 = OM^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2 \)三量关系：已知任意两个量（\( r \)、\( OM \)、\( CD \)），可通过勾股定理求第三个量（垂径定理应用的核心公式）。2. 分层例题解析例题 1：基础计算（求弦长）已知\( \odot O \)的半径\( r = 10 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 6 \, \text{cm} \)，求弦\( AB \)的长度。解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = MB = \frac{1}{2}AB \)；2. 在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)；3. 代入数据：\( 10^2 = 6^2 + AM^2 \)→\( AM^2 = 64 \)→\( AM = 8 \, \text{cm} \)；4. 故\( AB = 2AM = 16 \, \text{cm} \)。例题 2：进阶计算（求半径）一条公路的转弯处是一段圆弧（\( \odot O \)的一部分），测得圆弧的弦\( AB = 12 \, \text{m} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 8 \, \text{m} \)，求这段圆弧所在圆的半径。解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = \frac{1}{2}AB = 6 \, \text{m} \)；2. 连接\( OA \)（半径\( r \)），在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)；3. 代入数据：\( r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)→\( r = 10 \, \text{m} \)；答：这段圆弧所在圆的半径为 10 m。例题 3：证明应用（证明弧相等）如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，\( AE \perp CD \)于\( E \)，\( BF \perp CD \)于\( F \)，求证：\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。证明：1. 过\( O \)作\( OM \perp CD \)于\( M \)；2. 由垂径定理，\( OM \perp CD \)→\( \frown{CM} = \frown{DM} \)；3. 因\( AE \perp CD \)、\( BF \perp CD \)、\( OM \perp CD \)，故\( AE \parallel OM \parallel BF \)；4. 又\( OA = OB \)（半径相等），\( OM \)在\( AB \)与\( CD \)之间，故\( EM = FM \)（平行线分线段成比例）；5. 因\( CM = DM \)、\( EM = FM \)，故\( CE = DF \)，结合\( OM \)平分弧\( CD \)，得\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧1. 常见易错点易错点 1：忽略 “直径过圆心” 条件 —— 误将 “垂直于弦的直线” 当作 “直径”，导致错误应用定理（例：仅直线\( AB \perp CD \)，未说明\( AB \)过圆心，不能直接得出\( CM=MD \)）；易错点 2：忽略 “弦非直径” 前提 —— 推论中 “平分弦则垂直于弦” 仅适用于弦非直径的情况，若弦是直径，结论不成立；易错点 3：计算时忘记 “弦长的一半”—— 直接用弦长代入勾股定理（例：误将\( AB = 12 \)代入\( r^2 = OM^2 + AB^2 \)，正确应为\( r^2 = OM^2 + (AB/2)^2 \)）；易错点 4：混淆 “优弧” 与 “劣弧”—— 定理中 “平分弦所对的两条弧” 需明确优弧和劣弧，证明时不可遗漏。2. 避坑技巧“三问验证法”：应用定理前，先问 “直线过圆心吗？”“直线垂直于弦吗？”“弦是直径吗？”，确保条件满足；“画图标量法”：解题时先画出完整图形，标注半径、弦长、弦心距，明确直角三角形的三边（\( r \)、\( OM \)、\( CD/2 \)）；“推论口诀”：记 “过圆心、垂弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧 —— 知二推三，弦非直径是关键”。第 8 页：课堂练习（分层设计）一、基础题已知\( \odot O \)的半径为\( 13 \, \text{cm} \)，弦\( AB = 24 \, \text{cm} \)，则圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离为______（答案：5 cm）；如图，\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \perp AB \)于\( M \)，若\( \frown{AC} = 50^\circ \)，则\( \frown{CD} = \)______（答案：\( 80^\circ \)，提示：\( \frown{AC}=\frown{AD}=50^\circ \)，\( \frown{CD}=180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ \)）；下列说法正确的是（ ）（答案：C）A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弦的直线垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直线一定过圆心二、提升题已知\( \odot O \)的弦\( CD = 10 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，若\( OM = 12 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)的半径（答案：13 cm，提示：\( r^2 = 12^2 + 5^2 = 169 \)→\( r = 13 \)）；证明：在同圆中，若两条弦相等，则它们所对应的弦心距也相等（提示：过圆心作两条弦的垂线，用垂径定理和勾股定理证明）。第 9 页：课堂小结与作业布置一、课堂小结垂径定理核心：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（基于圆的轴对称性）；推论逻辑：“知二推三”（五要素：过圆心、垂弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧），注意 “弦非直径” 前提；解题关键：构建 “半径、弦心距、弦长一半” 的直角三角形，用勾股定理计算；思想方法：数形结合（画图标量）、转化思想（将弦长问题转化为直角三角形计算）。二、作业布置必做：教材中垂径定理的基础计算题（2 道弦长计算、1 道半径计算）；选做：某拱桥为圆弧形，跨度（弦长）为\( 37.4 \, \text{m} \)，拱高（圆心到弦的距离的补值，即\( r - OM \)）为\( 7.2 \, \text{m} \)，求拱桥所在圆的半径（结果保留一位小数）。2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC.复习引入视频引入点击视频开始播放→思考： 图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角为圆周角如图 (2) 所示的两条射线所成的角叫做圆周角·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.顶点 A 不在圆上顶点 A 不在圆上边 AC 没有和圆相交是是是想一想 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是 ☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么，∠ABC 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？解：∵ OA = OB = OC，∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形.∴ ∠OAC = ∠OCA，∠OBC = ∠OCB.又∵∠OAC +∠OBC +∠ACB = 180°，∴ ∠ACB = ∠OCA +∠OCB = 180°÷2 = 90°.因此，不管点 C 在 ☉O 上何处 (除点 A、B 外)，∠ACB 总等于 90°.圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.知识要点典例精析例1 如图，AB 是☉O 的直径，∠A = 80°. 求∠ABC 的大小.解：∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB = 90° (直径所对的圆周角等于 90°).∴∠ABC = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 90° - 80° = 10°.测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.测量与猜测猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.等于圆周角定理及其推论圆心 O 在∠BAC 的内部圆心 O 在∠BAC 的一边上圆心 O 在∠BAC 的外部圆心 O 与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形)OA = OC∠A = ∠C∠BOC = ∠A + ∠C圆心 O 在∠BAC 的内部圆心 O 在∠BAC 的外部要点归纳结论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A，D 是上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD.∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.互动探究∴∠BAC=∠BDC.解：相等. 理由如下：解：相等.1.如图，点 A、B、C、D 在☉O上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.(1)∠BOC = °，理由是 ；(2)∠BDC = °，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等要点归纳(1) 完成下列填空： ∠1 = . ∠2 = . ∠3 = . ∠5 = .2. 如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD为四边形 ABCD 的对角线.∠4∠8∠6∠7例2 如图，分别求出图中∠x 的大小.60°x30°20°x解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°.ADBEC(2) 连接 BF.F∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°.∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°.例3 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长.解：如图，连接 OD.在 Rt△ABC 中，∴∠ACB = ∠ADB = 90°.∵ AB 是直径，∵ CD 平分∠ACB，∴ AD = BD.∴∠AOD =∠BOD.∴∠ACD =∠BCD.在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(　　)A．30° B．45° C．60° D．75°解析：∵BD 是 ⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°. 故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．练一练C例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.解：连接 BC，则∠ACB＝90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD ＝90°－60° = 30°.又∵∠BAD = ∠DCB = 30°，∴∠APC = ∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心，∴∠AOB = 180°.∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角，∴∠ACB = ∠AOB = 90°.想一想如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？圆周角定理的推论能不能直接运用圆周角定理解答？ 90° 的圆周角所对的弦是直径.知识要点 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆.这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形. 探究性质猜想：∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系为： ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.想一想： 如何证明你的猜想呢？∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，∴同理， 证明猜想圆内接四边形的对角互补.连接 OB，OD．α β ∴CODBA∵ 弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E延长 BC 到点 E，有∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想图中∠A 与∠DCE 的大小有何关系？1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °.2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，则∠D = °. 7010090练一练例5 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD.∴ AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是(　　)A．120° B．100°C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°.∴∠C＝180°－60°＝120°. 故选 A.练一练A解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别对于 2x，3x，6x，例6 在圆内接四边形 ABCD 中， ∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.∵四边形 ABCD 内接于圆，∴ ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°，∵ 2x + 6x = 180°，∴ x = 22.5°.∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D = 180°-67.5° = 112.5°.1. 判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）√××2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°， 则∠AOB = ．166°3.如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD于点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.4.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，如果∠BOD = 130°，则∠BCD 的度数是（ ） A 115° B 130° C 65° D 50°5.如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，P 是 上的一点，则∠APB = .C60°∴∠ACB = 2∠BAC.证明：5. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.∠AOB = 2∠BOC，6. 船在航行过程中，船长通过测定角度数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船位于安全区域时，∠α 与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，船位于暗礁区域外（即⊙O外） ，与两个灯塔的夹角∠α 小于“危险角”.拓展提升：如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，交 AC 于 E.(1) BD 与 CD 的大小有什么关系? 为什么?∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上，∴∠ADB = 90°.∴ AD⊥BC.又∵ AB = AC， ∴ △ABC 为等腰三角形. ∴ BD = CD.(1) 解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图.O (2) 证明：在等腰△ABC 中，AD⊥BC， ∴∠BAD =∠CAD. 返回1．下列四个选项中，∠x是圆周角的是(　　)CD 返回 返回B4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动，设∠ACP＝x°，则x的取值范围是(　　)A．x≤90 B．x＞30C．30＜x＜90 D．30≤x≤90D 返回 返回【答案】 A圆周角圆周角定义圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等90° 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！