7.2.1一元一次不等式的解法-课件-2025-2026学年2024沪科版数学七年级下册教学课件

幻灯片 1：封面标题：7.2.1 一元一次不等式的解法学科：数学年级：七年级下册教材版本：沪科版设计元素：搭配一元一次不等式解法流程图（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1）与数轴表示解集的示意图，直观呈现本节课核心内容幻灯片 2：学习目标理解一元一次不等式的定义，能准确识别一元一次不等式。类比一元一次方程的解法，结合不等式基本性质，掌握一元一次不等式的解法步骤。能正确求解一元一次不等式，并将解集用数轴表示，体会数形结合思想。能解决与一元一次不等式解法相关的基础应用问题，避免系数化为 1 时的常见错误。幻灯片 3：复习导入回顾旧知：什么是一元一次方程？其定义包含哪几个关键要素？（只含一个未知数、未知数次数为 1、整式方程）解一元一次方程的一般步骤是什么？（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）不等式的基本性质有哪些？重点强调性质 3（乘除负数需变号）。思考问题：类比一元一次方程的定义，你能尝试给出 “一元一次不等式” 的定义吗？一元一次方程的解法步骤能否迁移到一元一次不等式的求解中？在步骤中需要注意什么差异（如系数化为 1 时的符号变化）？导入新课：本节课将基于不等式基本性质，类比一元一次方程解法，探索一元一次不等式的求解方法，掌握完整的解题流程。幻灯片 4：一元一次不等式的定义定义推导：类比一元一次方程的定义，结合不等式的特点，得出：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。关键要素（缺一不可）：含一个未知数（如\(x\)、\(y\)等，仅一个）；未知数次数为 1（不含\(x^2\)、\(\frac{1}{x}\)等形式）；两边均为整式（分母不含未知数，根号不含未知数）。举例辨析：是一元一次不等式的：\(2x + 3 > 5\)、\(-\frac{1}{3}x ≤ 4\)、\(5(x - 2) < 1 - x\)；不是一元一次不等式的：\(x^2 + 1 > 0\)（未知数次数为 2）、\(\frac{1}{x} + 2 < 3\)（分母含未知数，非整式）、\(x + y ≤ 7\)（含两个未知数）。幻灯片 5：一元一次不等式的解法步骤（核心）解法步骤（类比一元一次方程，结合不等式性质）：去分母：若不等式两边有分母，两边同乘各分母的最小公倍数，消去分母；注意：若最小公倍数为负数，需改变不等号方向（实际中通常取正的最小公倍数，避免符号问题）；不含分母的跳过此步。去括号：根据去括号法则（括号前是 “+”，去括号后符号不变；括号前是 “-”，去括号后符号相反），去掉不等式中的括号；移项：将含未知数的项移到不等式左边，常数项移到右边，移项时要变号（依据不等式性质 1）；合并同类项：将左边含未知数的项合并，右边常数项合并，化为 “\(ax > b\)”“\(ax < b\)”“\(ax ≥ b\)”“\(ax ≤ b\)”（\(a ≠ 0\)）的形式；系数化为 1：两边同时除以未知数的系数\(a\)，将系数化为 1；关键注意：若\(a > 0\)，不等号方向不变；若\(a < 0\)，不等号方向必须改变（依据不等式性质 2 和 3）。步骤口诀：去分母、去括号，移项变号要记牢；合并同类项，系数化为 1，不等号方向注意好（负变正不变）。幻灯片 6：典例精析 —— 不含分母的一元一次不等式求解例 1：解不等式\(3(x - 2) + 1 < 2x + 5\)，并将解集在数轴上表示出来。分析思路：按照 “去括号→移项→合并同类项→系数化为 1” 的步骤求解，系数化为 1 时注意系数正负。解答过程：去括号：根据去括号法则，展开左边：\(3x - 6 + 1 < 2x + 5\)；移项：将含\(x\)的项移左，常数项移右，移项变号：\(3x - 2x < 5 + 6 - 1\)；合并同类项：左边合并：\(x < 10\)；系数化为 1：\(x\)的系数为 1（正数），不等号方向不变，最终解集为\(x < 10\)；数轴表示：在数轴上 10 的位置画空心圆圈，向左画射线（表示所有小于 10 的实数）。幻灯片 7：典例精析 —— 含分母的一元一次不等式求解（重点）例 2：解不等式\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} ≥ 1\)，并写出它的非负整数解。分析思路：需先去分母（最小公倍数为 12），再按步骤求解，最后从解集中筛选非负整数解（0、1、2……）。解答过程：去分母：两边同乘 12（正数，不等号方向不变），消去分母：\(4(2x - 1) - 3(x + 2) ≥ 12\)；去括号：展开左边：\(8x - 4 - 3x - 6 ≥ 12\)；移项：含\(x\)项移左，常数项移右：\(8x - 3x ≥ 12 + 4 + 6\)；合并同类项：左边：\(5x ≥ 22\)；系数化为 1：两边除以 5（正数，不等号方向不变）：\(x ≥ \frac{22}{5} = 4.4\)；非负整数解：大于或等于 4.4 的非负整数为 5、6、7……（注意：4.4 以下的非负整数 4、3 等不满足，故从 5 开始）。幻灯片 8：典例精析 —— 系数为负数的一元一次不等式求解（易错点）例 3：解不等式\(2 - 5x > 8 - 2x\)，并检验\(x = -3\)是否为该不等式的解。分析思路：移项后合并同类项，系数化为 1 时系数为负数，需改变不等号方向；检验解时将值代入不等式判断是否成立。解答过程：移项：含\(x\)项移左，常数项移右：\(-5x + 2x > 8 - 2\)；合并同类项：左边：\(-3x > 6\)；系数化为 1：两边除以 - 3（负数，不等号方向改变）：\(x < -2\)；检验\(x = -3\)：将\(x = -3\)代入原不等式左边：\(2 - 5×(-3) = 2 + 15 = 17\)；右边：\(8 - 2×(-3) = 8 + 6 = 14\)；因\(17 > 14\)，故\(x = -3\)是不等式的解（且\(-3 < -2\)，符合解集）。幻灯片 9：典例精析 —— 解法错误辨析例 4：指出下列解不等式过程中的错误，并写出正确解法：解不等式\(\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > 1\)错误解法：去分母：\(3(x + 1) - 2(x - 2) > 1\)（第一步）；去括号：\(3x + 3 - 2x + 4 > 1\)；移项：\(3x - 2x > 1 - 3 - 4\)；合并同类项：\(x > -6\)。错误分析：第一步去分母时，右边的 “1” 未乘各分母的最小公倍数 6，导致不等式两边不等价，这是常见错误（去分母需每一项都乘最小公倍数）。正确解法：去分母：\(3(x + 1) - 2(x - 2) > 6\)（右边 1×6=6）；去括号：\(3x + 3 - 2x + 4 > 6\)；移项：\(3x - 2x > 6 - 3 - 4\)；合并同类项：\(x > -1\)。幻灯片 10：课堂练习 —— 基础巩固1. 填空题：不等式\(2x - 5 ≤ 3\)的解集是______，它的正整数解是______；解不等式\(-\frac{1}{2}x + 3 > 0\)时，系数化为 1 的步骤是______，解集为______；若一元一次不等式\(ax > b\)（\(a ≠ 0\)）的解集为\(x < \frac{b}{a}\)，则\(a\)的取值范围是______。2. 选择题：下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）A. \(x^2 - 1 > 0\) B. \(x + \frac{1}{x} < 5\) C. \(2x + y ≤ 3\) D. \(3(x - 1) < 2x + 1\)不等式\(3x - 1 > 2x + 2\)的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. （1 的位置空心圆圈，向右） B. （3 的位置空心圆圈，向右） C. （1 的位置实心圆点，向左） D. （3 的位置实心圆点，向左）答案：填空题：\(x ≤ 4\)；1，2，3，4；两边除以\(-\frac{1}{2}\)（或乘 - 2），不等号方向改变；\(x < 6\)；\(a < 0\)；选择题：D；B（解不等式得\(x > 3\)）。幻灯片 11：课堂练习 —— 拓展提升1. 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：\(4(x - 1) + 3 ≥ 3x\)；2. \(\frac{2x - 1}{5} - \frac{x + 1}{2} < 1\)2. 已知关于\(x\)的一元一次不等式\(3(x - a) + 2 > 2x - 1\)的解集为\(x > 2\)，求\(a\)的值。答案：（1）去括号：\(4x - 4 + 3 ≥ 3x\)；移项：\(4x - 3x ≥ 4 - 3\)；合并：\(x ≥ 1\)；数轴表示：1 的位置实心圆点，向右；（2）去分母：\(2(2x - 1) - 5(x + 1) < 10\)；去括号：\(4x - 2 - 5x - 5 < 10\)；移项：\(-x < 17\)；系数化为 1：\(x > -17\)；数轴表示：-17 的位置空心圆圈，向右；解不等式：\(3x - 3a + 2 > 2x - 1\)；移项：\(x > 3a - 3\)；因解集为\(x > 2\)，故\(3a - 3 = 2\)；解得\(a = \frac{5}{3}\)。幻灯片 12：课堂小结核心概念：一元一次不等式（含一个未知数、次数 1、整式不等式）。解法步骤：去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项→系数化为 1（负变正不变），每一步均需依据不等式基本性质。易错点：去分母时漏乘常数项；系数化为 1 时，忽略系数为负数需改变不等号方向；数轴表示解集时，混淆空心圆圈（不含等号）与实心圆点（含等号）。思想方法：类比思想（类比一元一次方程解法）、数形结合思想（数轴表示解集）。幻灯片 13：作业布置基础作业：教材课后对应习题（如解一元一次不等式、表示解集、求特殊解）。提升作业：已知不等式\(2(x - 1) + 3 > 5x - 4\)，求该不等式的最大整数解；若关于\(x\)的一元一次不等式\(\frac{x - m}{2} > 1\)的解集与\(2x - 3 > 5\)的解集相同，求\(m\)的值。实践作业：根据生活中的实际场景（如购物优惠、行程时间等），自编一道能用一元一次不等式解决的问题，并求解，下节课分享。新2024沪科版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 问题 某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加 1.8 万元. 如果该公司原来的年利润为 200 万元，要使年利润超过 245 万元，那么增加的科研经费应高于多少万元?前面问题中涉及的数量关系是： 设该公司增加科研经费 x 万元，那么年利润就增加1.8x 万元. 因为年利润要超过 245 万元，所以 200 + 1.8x > 245. 原年利润 + 增加的年利润 ＞ 增加后的年利润一元一次不等式的概念像 200 + 1.8x > 245 这样， 含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式.它与一元一次方程的定义有什么共同点？1. 下列不等式中，哪些是一元一次不等式?(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0； (3) (4) x(x - 1) < 2x.✓✓✕✕左边不是整式化简后是x2 - x < 2x例1 已知 是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的值是_______．解析：由 是关于 x 的一元一次不等式得 2a－1＝1，计算即可求出 a 的值是1.1解不等式：4x - 1 < 5x + 15.解方程：4x - 1 = 5x + 15.解：移项，得4x - 5x = 15 + 1.合并同类项，得-x = 16.系数化为 1，得x = -16.解：移项，得4x - 5x < 15 + 1.合并同类项，得-x < 16.系数化为 1，得x > -16.解一元一次不等式根据不等式的性质，解不等式 200 + 1.8x > 245.根据不等式的性质 1，两边同时减去 200，得200 + 1.8x - 200 > 245 - 200.即 1.8x > 45.再根据不等式的性质 2，两边同时除以 1.8，得 x > 25.因此，这个不等式的解集为 x > 25.像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式.例2 解不等式 2x + 5 ≤ 7(2 - x)，并把它的解集在数轴上表示出来.解：首先将括号去掉去括号，得 2x + 5≤14 - 7x. 移项，得 2x + 7x≤14 - 5.将同类项放在一起合并同类项，得 9x≤9. x 系数化为 1，得 x≤1.根据不等式的性质2 原不等式的解集在数轴上的表示如图：例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：解 ： 不等式两边同乘以 6，得 2(4 + x) - 6 < 3x.去括号，得 8 + 2x - 6 2.在数轴上表示不等式的解集： 2. 解下列一元一次不等式 ：（1）2 - 5x < 8 - 6x ；（2） 解：（1） 原不等式为 2 - 5x < 8 - 6x. 将同类项放在一起即 x < 6. 移项，得 -5x + 6x < 8 - 2，计算结果首先将分母去掉去括号，得 2x -10 + 6≤9x.去分母，得 2(x - 5) + 6≤9x.移项，得 2x - 9x≤10 - 6.去括号将同类项放在一起合并同类项，得 -7x≤4. 两边都除以 -7，得计算结果根据不等式性质3方法归纳：熟练运用不等式的5个基本性质是解题的关键.解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方.所以当 x≤6 时，代数式 x + 2 的值大于或等于 0. 解：解得 x≤6.x≤6 在数轴上表示如图所示. 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常数) 的解集是 x＜3，求 m.方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字母的值．解题过程体现了方程思想．解：因为 x＋8＞4x＋m， 所以 x－4x＞m－8，即－3x＞m－8， 因为其解集为 x＜3， 所以 ，解得 m = －1.1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来:(1) 2x＞－8； (2) －4x＜2；(3) 5x－4≤7x－1； (4) 2x－5≥2＋5x.解：(1) x＞－4.   2.解下列不等式：(1) 3(1－x)≤x＋8； (2) 12－2x＞3(2x－3).解：(1) 去括号，得 3－3x≤x＋8. 移项，得 x + 3x≥3－8.合并同类项，得 4x≥－5. (2) 去括号，得 12－2x＞6x－9. 移项，得 6x + 2x＜12 + 9.合并同类项，得 8x＜21. 1. 解下列不等式： 解：(1) 不等式两边同乘以 5，得 3x + 7 > 5x - 5.移项、合并同类项，得 -2x > -12.x 系数化成1，得 x < 6. (2) 不等式两边同乘以 -15，得 2x + 1 < -5(x - 3).去括号，得 2x + 1