6.3.2 二元一次方程组的应用 -课件-2025-2026学年2024冀教版数学七年级下册

6.3.2 二元一次方程组的应用教学课件幻灯片分页内容（冀教版七年级下册数学）幻灯片 1：封面标题：6.3.2 二元一次方程组的应用（几何、工程与浓度问题）学科：数学年级：七年级下册版本：冀教版核心思路：分析特殊场景等量关系→建立方程组→求解验证实际意义幻灯片 2：学习目标能识别几何图形、工程、浓度问题中的未知量与等量关系，掌握此类场景下列二元一次方程组的方法。熟练运用 “审、设、列、解、验、答” 流程解决特殊类型实际问题，提升数学建模的灵活性。体会二元一次方程组在不同领域的应用价值，增强用数学知识解决复杂问题的能力。幻灯片 3：情境引入（特殊场景问题）情境 1：几何图形问题问题：一个长方形的周长是 40cm，若将它的长减少 2cm，宽增加 2cm，就变成一个正方形，求原长方形的长和宽。思考：长方形和正方形的边长存在怎样的数量关系？如何通过周长和边长变化建立等量关系？情境 2：工程问题问题：某工程队修一段公路，若甲队单独修需 12 天完成，乙队单独修需 18 天完成。现两队合作修了若干天后，甲队因其他任务离开，剩余工程由乙队单独修 3 天完成，求两队合作的天数。引导：工程问题中 “工作总量” 通常如何设定？合作的工作量与单独的工作量之间有什么关系？幻灯片 4：几何图形问题解题方法核心公式回顾长方形：周长 = 2×（长 + 宽），面积 = 长 × 宽；正方形：周长 = 4× 边长，面积 = 边长 × 边长；三角形：周长 = 三边之和，面积 =（底 × 高）/2。解题关键找出图形边长、周长、面积之间的等量关系（如 “长方形周长 = 40cm”“变形后长 = 宽”）；根据未知量（通常为边长、长、宽等）设未知数，结合等量关系列方程组。幻灯片 5：典型例题讲解（几何图形问题）例题 1：长方形与正方形变形问题题目：一个长方形的周长是 40cm，若将它的长减少 2cm，宽增加 2cm，就变成一个正方形，求原长方形的长和宽。解题过程：审题：未知量是原长方形的长（\(x\)cm）、宽（\(y\)cm）；等量关系 1：长方形周长 = 40cm（2×(长 + 宽)=40）；等量关系 2：长减少 2cm = 宽增加 2cm（变形后为正方形，边长相等）。设未知数：设原长方形的长为\(x\)cm，宽为\(y\)cm。列方程组：\( \begin{cases}2(x + y) = 40 \quad (1)\\x - 2 = y + 2 \quad (2)\end{cases} \)解方程组：化简（1）：\(x + y = 20 \quad (3)\)化简（2）：\(x - y = 4 \quad (4)\)（3）+（4）消去\(y\)：\(2x = 24 \Rightarrow x = 12\)将\(x = 12\)代入（3）：\(12 + y = 20 \Rightarrow y = 8\)检验：长方形周长：2×(12+8)=40cm（符合等量关系 1）；长减少 2cm=10cm，宽增加 2cm=10cm，为正方形（符合等量关系 2）；长、宽为正数，符合实际。答：原长方形的长为 12cm，宽为 8cm。例题 2：三角形边长问题题目：一个三角形的周长是 36cm，最长边比最短边长 6cm，另外一边的长度是最短边的 2 倍，求三角形三边的长度。解题过程：审题：未知量是最短边长（\(x\)cm）、最长边长（\(y\)cm）、第三边长（\(2x\)cm）；等量关系 1：最长边 - 最短边 = 6cm（\(y - x = 6\)）；等量关系 2：三边之和 = 36cm（\(x + y + 2x = 36\)）。设未知数：设最短边长为\(x\)cm，最长边长为\(y\)cm。列方程组：\( \begin{cases}y - x = 6 \quad (1)\\3x + y = 36 \quad (2)\end{cases} \)解方程组：（2）-（1）消去\(y\)：\(4x = 30 \Rightarrow x = 7.5\)将\(x = 7.5\)代入（1）：\(y - 7.5 = 6 \Rightarrow y = 13.5\)第三边长：\(2×7.5 = 15\)cm检验：三边之和 = 7.5+13.5+15=36cm（符合周长），7.5+13.5>15（满足三角形三边关系），结果合理。答：三角形三边长度分别为 7.5cm、13.5cm、15cm。幻灯片 6：工程问题解题方法核心公式工作总量 = 工作效率 × 工作时间；合作工作总量 = 甲工作量 + 乙工作量（多人合作同理）；通常设工作总量为 “1”（如 “一项工程总量为 1”），则工作效率 = 1 / 单独完成时间。解题关键明确各主体的工作效率、工作时间；根据 “各部分工作量之和 = 总工作量” 建立等量关系。幻灯片 7：典型例题讲解（工程问题）例题 3：两队合作工程问题题目：某工程队修一段公路，若甲队单独修需 12 天完成，乙队单独修需 18 天完成。现两队合作修了若干天后，甲队因其他任务离开，剩余工程由乙队单独修 3 天完成，求两队合作的天数。解题过程：审题：未知量是两队合作天数（\(x\)天）；甲效率 = 1/12（每天完成总量的 1/12），乙效率 = 1/18；等量关系：合作工作量 + 乙单独工作量 = 总工作量（1）。设未知数：设两队合作了\(x\)天，同时设乙队单独修 3 天（已知），总工作量为 1。列方程组（因只有一个未知量，可列一元一次方程，此处为衔接二元，假设增设 “总工作量” 为\(y\)，实际\(y=1\)）：\( \begin{cases}y = 1 \quad (1)\\\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{18}\right)x + \frac{1}{18}×3 = y \quad (2)\end{cases} \)解方程组：将（1）代入（2）：\(\left(\frac{3 + 2}{36}\right)x + \frac{1}{6} = 1\)化简：\(\frac{5}{36}x = \frac{5}{6} \Rightarrow x = 6\)检验：合作 6 天工作量：\(6×(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}) = 6×\frac{5}{36} = \frac{5}{6}\)；乙单独 3 天工作量：\(3×\frac{1}{18} = \frac{1}{6}\)；总和 =\(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1\)（符合总工作量），结果合理。答：两队合作了 6 天。幻灯片 8：浓度问题解题方法（拓展）核心公式溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（如 “盐的质量 = 盐水质量 × 含盐率”）；混合前溶质总量 = 混合后溶质总量（稀释 / 混合问题关键）。解题关键区分 “溶质”（如盐、糖）、“溶剂”（如水）、“溶液”（溶质 + 溶剂）；根据 “溶质质量不变” 或 “溶液质量变化” 建立等量关系。幻灯片 9：典型例题讲解（浓度问题）例题 4：溶液稀释问题题目：现有含盐率为 15% 的盐水 200 克，若要将其稀释为含盐率 10% 的盐水，需加入多少克水？解题过程：审题：未知量是需加入水的质量（\(x\)克），稀释后盐水质量（\(200 + x\)克）；等量关系：稀释前盐的质量 = 稀释后盐的质量。设未知数：设需加入水\(x\)克。列方程（二元衔接：设稀释前盐质量\(y\)克，稀释后盐质量\(z\)克）：\( \begin{cases}y = 200×15\% \quad (1)\\z = (200 + x)×10\% \quad (2)\\y = z \quad (3)\end{cases} \)解方程组：由（1）得：\(y = 30\)；由（3）得：\(z = 30\)，代入（2）：\(30 = 0.1×(200 + x) \Rightarrow 200 + x = 300 \Rightarrow x = 100\)检验：稀释后盐水 300 克，含盐 30 克，含盐率 = 30/300=10%（符合要求），结果合理。答：需加入 100 克水。幻灯片 10：易错点提醒几何问题忽略图形性质：如三角形问题未检验 “三边关系”（两边之和大于第三边），导致解不符合实际。工程问题效率计算错误：误将 “单独完成时间” 当作效率（如甲队 12 天完成，效率应为 1/12，而非 12）。浓度问题混淆溶质与溶液：如 “200 克盐水” 是溶液质量，而非溶剂（水）质量，计算时误将溶液质量当作溶剂质量。设未知数未对应场景：几何问题中未注明边长单位（如 “设长为 x” 未写 “cm”），工程问题未明确工作总量设定（如未说明 “总量为 1”）。幻灯片 11：课堂练习（分层设计）基础题（必做）一个长方形的面积是 72cm²，它的长比宽多 6cm，求长方形的长和宽。一项工程，甲、乙合作需 6 天完成，甲单独做需 10 天完成，求乙单独做需多少天完成。提升题（选做）用一根长 60cm 的铁丝围成一个长方形，使长方形的长比宽的 2 倍少 3cm，同时将长方形分成一个小长方形和一个小正方形（小正方形边长等于原长方形的宽），求小长方形的面积。现有含盐率 20% 的盐水 300 克和含盐率 10% 的盐水 200 克，将两种盐水混合后，求混合后盐水的含盐率。幻灯片 12：课堂小结场景分类与核心公式：几何问题：围绕周长、面积、边长关系，用图形公式建立等量；工程问题：以 “工作总量 = 效率 × 时间” 为核心，注意合作与单独工作量之和；浓度问题：抓住 “溶质质量不变”，区分溶质、溶剂、溶液。解题共性：无论哪种场景，均遵循 “审、设、列、解、验、答” 流程，核心是准确找到两个及以上等量关系。思想提炼：进一步巩固 “建模思想”，将几何、工程等实际问题转化为二元一次方程组模型，实现 “化繁为简”。幻灯片 13：课后作业完成课本对应练习题（基础题 1-3 题，掌握几何与工程问题）；提升题：一个梯形的面积是 96cm²，上底比下底短 8cm，高是上底的 2 倍，求梯形的上底、下底和高；实践题：调查家中某种溶液（如糖水、盐水）的浓度，设计一道稀释或混合问题，用二元一次方程组求解；预习本章复习内容，梳理二元一次方程组的概念、解法及应用场景。冀教版2024教材数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念.3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.例2 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？知识点1 行程问题知2－练类型5 行程问题1. 相遇(追及)问题[期中·廊坊安次区]琪琪沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过她. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求琪琪前进的速度和公共汽车的速度.例 6知2－练 知2－练某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km 的速度上坡至A 地，共用1.5 h. 求A，B 两地之间的路程.例 72. 上、下坡问题知2－练 例3 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？今年，七年级人数+高中一年级人数=500(1+18%)；分析：本题中的等量关系去年，七年级人数+高中一年级人数=500；今年，七年级人数=去年七年级人数+增长数；今年，高中一年级人数=去年高中一年级人数+增长数；知识点2 增长率问题解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名.根据题意，得解得所以答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名.知识点2 增长率问题知识点2 增长率问题 D  返回   返回      返回   甲工程队共修建村路的米数 乙工程队共修建村路的米数   返回二元一次方程组的应用增长率问题原量×（1+增长率）=增长后的量；原量×（1-减少率）=减少后的量. 行程问题设元方法:直接法,间接法和设辅助元.路程=速度×时间.必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！