2024年福建省百校联考中考模拟预测数学试题（解析版）-A4

这是一份2024年福建省百校联考中考模拟预测数学试题（解析版）-A4，共23页。
（全卷共7页，25小题；满分：150分；答卷时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码上的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在各答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、开方开不尽，是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是( )

A. 四棱锥B. 四棱柱C. 三棱锥D. 三棱柱
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案.
试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥.
故选A.
考点：几何体的展开图.
3. 数据显示，2023年通过青藏铁路进出藏旅客共计295.9万人次，创下青藏铁路通车运营17年以来的历史新高．将数据2959000用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
【详解】解：将数据2959000用科学记数法表示为
故选：C
4. 已知两个三角形相似，它们的对应高之比为，则它们的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查对相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比．直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应高之比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比等于．
故选：A．
5. 负指数幂可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂运算，同底数幂相除，先分别把每个选项的算式计算出结果再与进行比较，即可作答．
【详解】解：
A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确；
故选：D
6. 某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了加权平均数的含义和求法的应用，解题的关键是熟练运用加权平均数的公式进行计算．分别计算甲、乙、丙、丁四名候选人的加权平均数，然后做出判断即可．
【详解】解：甲的成绩：（分，
乙的成绩：，
丙的成绩：，
丁的成绩：，
丁得分最高，故最终被录用的是丁．
故选：D．
7. 如图，为圆的切线，为切点，交圆于点，连接，若则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可得，进而得出，根据则，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵为圆的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
8. 据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021年到2023年的年平均增长率为x，根据2021年及2023年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设2021年到2023年的年平均增长率为x，
根据题意得：，
故选：B．
9. 在中，点M在边上，且，阅读以下作图步骤：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；
②以点M为圆心，以长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点；
④连接并延长，交于点N，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质，掌握知识点是解题关键．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∴，
，
，
，
故选：A．
10. 如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）

A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵，
，
，
，
，
，
点为的中点
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入80元记作元，则支出90元记作______元．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正数和负数的意义，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解．
【详解】解：收入80元记作元，则支出90元记作，
故答案为：．
12. 某运动员射击10次，成绩（单位：环）分别为9，10，9，8，8，7，10，7，6，10，则这组数据的中位数为______．
【答案】8.5
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：这组数据从小到大依次排列得6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，
第5位和第6位的数据的平均数为
∴这组数据中位数为8.5，
故答案为：8.5．
13. 在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，，且，两点关于点对称，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这个特征是解答本题的关键，根据中心对称的性质和反比例函数图象上点的坐标特征即可解答．
【详解】解：∵A，B两点关于点对称，且，
∴，
点A在反比例函数的图象上，
，
故答案为：6．
14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，若，，则的周长与的周长差为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据，，，可以得到，再根据平行四边形的性质，可以得到，即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
在平行四边形中，，
的周长为：，的周长为：，
的周长与的周长差为：，
故答案为：4．
15. 已知，且，则的值为 __．
【答案】3
【解析】
【分析】先将已知条件化为，再代入中化为，即可求值．本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的变形是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：3．
16. 已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则的取值范围为 __．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数的增减性以及抛物线的对称性，由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合二次函数的增减性及点到坐标轴的距离建立不等式组求解即可．解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵恒成立，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是先根据有理数的乘方，二次根式的性质，绝对值的代数意义将原式化简，再进行合并即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解:
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以该不等式组的解集是．
19. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，易证和，即可证明，根据全等三角形的性质解答即可．本题中求证是解题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，原式．
21. 如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据翻折和旋转的性质即可解决问题．
（2）连接，证明出和全等，将长转化为长，再利用勾股定理求出长即可解决问题．
【小问1详解】
证明：与关于所在的直线对称，
．
由绕点按顺时针方向旋转得到，
，
．
【小问2详解】
解：连接，
与关于所在的直线对称，
．
四边形是正方形，
，
．
，
，
即．
由绕点按顺时针方向旋转得到，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
．
中，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
22. 一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）若从袋中随机摸出一球，求该球是红球的概率；
（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．
【答案】（1）
（2）黑球，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）当往袋中加入1个红球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，当往袋中加入1个黑球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，作比较即可．
【小问1详解】
解：由题意得，该球是红球的概率为；
【小问2详解】
解：当往袋中加入1个红球时，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有4种，
抽取的这两球颜色相同的概率为；
当往袋中加入1个黑球时，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有6种，
抽取的这两球颜色相同的概率为，
，
应往袋中加入黑球．
23. 某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为，点在圆锥底面、地面上的正投影分别为点，，点为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即米），圆锥底面离地面的高度为3米（即米）．
（1）若米，求圆锥侧面积；
（2）现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量的高度，工人先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），利用测角仪分别测得点的仰角为，，其中，，再测得，两点间的距离为米（即米），已知测角仪的高为1米（即米），求亭盖的外部面积（用含的代数式表示）．
【答案】（1）圆锥的侧面积为平方米
（2）亭盖的外部面积为平方米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆锥的侧面积．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．用到的知识点为：圆锥的侧面积母线长底面半径．
（1）利用勾股定理求得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积母线长底面半径，可得圆锥的侧面积；
（2）设长米，根据的值，可得的值，进而根据的值可得用表示的．计算出的值后利用勾股定理求得的长度，根据圆锥的侧面积公式求得圆锥的侧面积即可．
【小问1详解】
解：由题意得：．
米，米，
（米．
圆锥的侧面积（米．
答：圆锥的侧面积为平方米；
【小问2详解】
解：由题意得：．
设长米．
，
米．
米，
米．
，
．
解得：．
米，米，
米．
米，．
（米．
圆锥的侧面积（米．
答：亭盖的外部面积为平方米．
24. 如图，等边与以为直径的半圆交于，两点，点在上，连接，，，点在的延长线上，连接，，，若，．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理求出的度数，在根据三角形内角和定理求出和的度数，即可证明；
（2）根据题干已知角的和差关系可以求出的度数，在根据圆周角定理求出的度数，最后根据三角形的外角性质即可求出的度数，从而得证；
（3）过和分别作的垂线，先证明在上，然后根据等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角直角三角形的性质以及勾股定理求出和的比值即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

为直径，在圆上，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，如图所示：

由三角形外角的性质可知，
又，
，
由圆周角定理可知，
，，
为等边三角形，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：连接，，过作于，过作于，如图所示：

为等边三角形，是中点，
，，
，
，
，
，
在上，
是的直径，
，
，则，
令，则，
在中，，由勾股定理可得，
，即是等腰直角三角形，
，
，过圆心，
，
在中，是中点、是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
25. 已知抛物线与轴只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为．
①试问：抛物线上是否存在这样的点，使得？
②若直线与抛物线交于，，点关于抛物线的对称轴的对称点记为（与不重合），轴交直线于点，直线与直线交于点，求的值．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）由，即可求解；
（2）①由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，当时，则也为等腰直角三角形，即可求解；
②设点、点，则点，求出点、的坐标，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到根和系数的关系、三角形相似等，数据处理和数形结合是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意，∵抛物线与轴只有一个公共点．
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：①，
则点；
，则抛物线与，
则点、，
由点、、的坐标知，为等腰直角三角形，
当时，则也为等腰直角三角形，
如图：
而点、，
根据抛物线的对称性，则点；
②如图：
设点、点，则点，
联立抛物线和的表达式得：，
整理得：，
则，，
将点坐标代入一次函数表达式得：，
即，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
则点，，
同理可得：点，，
则
，
同理可得：，
，
则，
则．
项目
测试成绩
甲
乙
丙
丁
笔试
80
70
75
90
面试
80
90
85
70
红1
红2
黑1
黑2
红1
——
（红1，红2）
（红1，黑1）
（红1，黑2）
红2
（红2，红1）
——
（红2，黑1）
（红2，黑2）
黑1
（黑1，红1）
（黑1，红2）
——
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，红1）
（黑2，红2）
（黑2，黑1）
——
红
黑1
黑2
黑3
红
——
（红，黑1）
（红，黑2）
（红，黑3）
黑1
（黑1，红）
——
（黑1，黑2）
（黑1，黑3）
黑2
（黑2，红）
（黑2，黑1）
——
（黑2，黑3）
黑3
（黑3，红）
（黑3，黑1）
（黑3，黑2）
——