福建省莆田市城厢区莆田哲理中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市城厢区莆田哲理中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.，故此选项不符合题意；
B.是最简二次根式，正确
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键．
2. 下列四个图象中，y不是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
A、y是x的函数，故此选项不符合题意；
B、y是x的函数，故此选项不符合题意；
C、y是x的函数，故此选项不符合题意；
D、y不是x的函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】A、；故A错误，不符合题意；
B、；故B正确，符合题意；
C、；故C错误，不符合题意；
D、；故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，区分算术平方根与平方根的概念是解题的关键．
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. OB＝OD，OA＝OCB. AD∥BC，AB＝CD
C. AB∥CD，AD∥BCD. AB∥CD，AB=CD
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
5. 菱形的对角线，，则菱形的面积等于（ ）
A. 12B. 24C. 25D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”直接计算即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，，
∴菱形的面积等于
故选B
【点睛】本题考查菱形的性质，熟记菱形的性质即菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
6. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5B. 1，1，C. 6，8，13D. 9，12，15
【答案】C
【解析】
【分析】判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】解：A．因为，所以以0.3、0.4、0.5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．因，所以以1、1、 15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．因为，所以以6、8、13为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．因为，所以以9、12、15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
7. 在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠CBE=34°，则∠C的度数为（ ）
A. 120°B. 146°C. 108°D. 112°
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE=∠CBE=∠AEB=34°，再由三角形内角和定理即可得出∠C的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=34°，
∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=112°．
∴∠C=112°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB是解决问题的关键．
8. 如图，在四边形中，点E、F分别是边AB、AD的中点，，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接BD，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可．
【详解】解：连接BD，

∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
9. 如图是由6块直角三角形拼成的矩形，其中是四个全等的三角形，则( )

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质、勾股定理等知识点，用含字母的式子表示出，
是解题的关键．
【详解】解：如图：

设，
是四个全等的三角形
，
，
故选：C．
10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K．设正方形的面积为，正方形的面积为，矩形的面积为，矩形的面积为，下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查勾股定理的证明，全等三角形和相似三角形等知识点，利用正方形的性质证明，得出，即可得出，即可判断①，利用，即可求出的面积，即可判断②，由勾股定理和，即可判断③，利用，即可得出，，，之间的关系，即可判断④．
【解答】解：四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，
故②不正确；
，，，，
，
，
故③正确；
，
，
∴，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，，，
，
故④正确；
故选：C．
二．填空题
11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
12. 函数是正比例函数，那么a的值是______．
【答案】##0.5
【解析】
【详解】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可知，从而可求得的值．
【解答】解：是正比例函数，
．
解得：．
故答案为：．
13. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．
【详解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．
14. 如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
15. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解 再把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴

故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
16. 数学活动课上，同学们按照如下步骤折纸，并动手将折纸过程画成如图所示．
第1步：在一张宽为的矩形纸片的一端，折出一个正方形，然后把纸片展平；
第2步：把这个正方形对折，得到两个相等的矩形，折痕为，再把纸片展平；
第3步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图中所示处；
第4步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形．
则矩形的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质及矩形、正方形的性质，勾股定理，根据第1步折叠得到，根据第2步折叠得到，根据勾股定理求出，结合第3步折叠得到，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形对折，得到两个相等的矩形，
∴，
∴，
∵折到如图中所示处，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：．
三．解答题
17. 计算：
【答案】-2
【解析】
【分析】根据平方差公式、二次根式的除法法则和二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟悉相关的运算法则是解题的关键．
18. 如图，已知中，点E，F分别在上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明四边形是平行四边形，则．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【答案】秋千绳索长度为尺．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可，学会利用参数构建方程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：设尺，
由题意得四边形是长方形，尺，，
∵尺，
∴（尺），
∴（尺），
在中，由勾股定理得，
∴，解得：，
答：秋千绳索的长度为尺．
20. 阅读材料，并完成任务．“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定平行四边形的方法吗？”小禹说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师说：“这个命题是真命题”．
要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明，请你在表格中完成相应的任务．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据题意和图形写出已知，再根据平行线的判定与性质，以及平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，会根据题意和图形正确写出命题的题设和结论是解答的关键．
21. 如图，在中，，垂足为D，点E为AB中点．
（1）利用尺规作图，在AC上作一点F，使得，（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE，DF，EF，求证：是直角三角形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）作∠AEF=∠ABC即可；
（2）利用三角形的中位线定理和勾股定理的逆定理可得结论．
【小问1详解】
解：如图，线段EF即为所求；
【小问2详解】
证明：连接DE，DF，EF，
∵EFBC，AE=EB，
∴AF=FC，
∴EF=BC=10，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵点E为AB中点，AF=FC，
∴DE=AB=8，DF=AC=6，
∵62+82=102，即DF2+DE2=EF2，
∴△DEF是直角三角形．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，三角形中位线的性质，勾股定理的逆定理，掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）连接．
由平移的性质得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．
23. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离与甲行驶的时间之间的关系如图所示．
；
（1）以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上．
①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ．
（2）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？
【答案】（1）P ，M，N；
（2）甲出发或小时后，甲、乙两人相距；
【解析】
【分析】本题考查一次函数应用，函数图象的意义：
（1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案；
（2）分相遇前相距km，即在第一段图象上，相遇后相距180km，即在第三段图象上，分别求出解析式代入求解即可得到答案
【小问1详解】
解：由图象可得，
点上，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为，此时甲到达终点
故答案为：P ，M，N；
【小问2详解】
解：设第一段解析式为：，
将点 ，代入得，
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，
设第三段解析式为：：，
将点 ，代入得，
，解得：，
∴，
当时，，
解得：，
综上所述：甲出发或小时后，甲、乙两人相距．
24. 定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求面积．
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积．
【小问1详解】
解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：；
【小问2详解】
由题意可知：
，
，，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长交于点，如图，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
25. 如图1，在正方形ABCD中，点E在CD边上，点F在CB的延长线上，且DE=BF，连接AF，AE．
（1）求证：∠DAE=∠BAF；
（2）如图2，连接BD，EF交于点O，作点A关于EF的对称点G，连接AO，GO．
①求证：点A、O、G三点共线；
②连接GC，用等式表示线段AG，GC、AB之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②AG2=GC2+2AB2．理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△ABF即可得出答案；
（2）①过点E作EH∥AD，交BD于点H，过点G作GQ⊥DC，交DC的延长线于点Q，连接GE，可知△HED是等腰直角三角形，再利用AAS证明△OBF≌△OHE，得OF=OE，OB=OH，证明AO平分∠EAF，即可证明结论；
②利用AAS证明△GEQ≌△EAD，得GQ=ED，QE=AD，从而得出△CGQ是等腰直角三角形，则CG2=CQ2+GQ2=2GQ2=2DE2，从而解决问题．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABF=∠ADE=90°，
在△ADE与△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠DAE=∠BAF；
【小问2详解】
①证明：如图，过点E作EH∥AD，交BD于点H，过点G作GQ⊥DC，交DC的延长线于点Q，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=∠BDA=∠ADC=45°，AD∥BC，
∵EH∥AD，
∴∠HED+∠ADE=180°，HE∥BC，
∴∠HED=90°，∠OFB=∠OEH，
∴△HED是等腰直角三角形，
∴HE=DE，
∵DE=BF，
∴EH=BF，
△OBF与△OHE中，
，
∴△OBF≌△OHE（AAS），
∴OF=OE，OB=OH，
∵△ADE≌△ABF，
∴∠DAE=∠BAF，AF=AE，
∵∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAF=∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AO是∠EAF的平分线，AO⊥EF，
∵点A与点G关于EF对称，
∴GO⊥EF，
∴点A，O，G三点共线；
②AG2=GC2+2AB2，理由如下：
∵点A与点G关于EF对称，
∴AE=GE，
∵△AEF是等腰直角三角形，AO是∠EAF的平分线，
∴∠EAG=∠FAG=∠EAF＝45°，
∴∠EGA=∠EAG=45°，
∴∠AEG=90°，
∴∠AED+∠GEQ=90°，
∵GQ⊥DC，
∴∠GQE=∠ADE=90°，
∴∠EGQ+∠GEQ=90°，
∴∠EGQ=∠AED，
在△GEQ与△EAD中，
，
∴△GEQ≌△EAD（AAS），
∴GQ=ED，QE=AD，
∵AD=CD，
∴QE=CD，
∴QC=DE，
∴QC=QG，
∴△CGQ是等腰直角三角形，
∴CG2=CQ2+GQ2=2GQ2=2DE2，
在Rt△ADE中，AE2=AD2=DE2=AB2+DE2，
∵△AEG是等腰直角三角形，
∴AG2=AE2+GE2=2AE2，
∴AG2=2（AB2+DE2）=2AB2+2DE2=2AB2+GC2，
∴AG2=GC2+2AB2．
已知：
求证：四边形是平行四边形．
画图：
证明：
已知：在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形．
画图：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形．