江苏省仪征中学、江都中学、高邮中学2026届高三上学期12月联考数学试卷含答案（word版）

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1. C 2. D 3. D 4. D 5.A 6. B 7. A 8.B
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9.AD 10.BCD 11. BCD
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 1,2 13. 455 14. 25
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为: P1=0.5×0.4×0.8=0.16 ,
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为: P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44 , 所以甲学校获得冠军的概率为: P=P1+P2=0.6 ;
(2)乙学校的总得分 X 的可能取值为: 0，10，20，30，其概率分别为:
PX=0=0.5×0.4×0.8=0.16,
PX=10=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,
PX=20=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,
PX=30=0.5×0.6×0.2=0.06,
则 X 的分布列为:
X 的期望 EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13 .
16. (本小题满分 15 分)
(1)证明:因底面 ABCD 是菱形， ∠ABC=60∘ ， E 是 BC 的中点，所以 AE⊥BC ， 又 AD//BC ,则 AE⊥AD . 又 AA1⊥ 平面 ABCD,AE⊂ 平面 ABCD ,所以 AA1⊥AE . 因为 AA1,AD⊂ 平面 ADD1A1 ,且 AA1∩AD=A ,所以 AE⊥ 平面 ADD1A1 .
(2)解:因为 AA1⊥ 平面 ABCD ， AA1⊥AE ， AE⊥AD ，所以 AE,AD,AA1 两两垂直.
以 A 为原点， AE,AD,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系.
则 A0,0,0,E3,0,0,A10,0,1,D0,2,0,D10,1,1 ,

设平面 AD1E 的一个法向量为 m=a,b,c ,
AD1=0,1,1,AE=3,0,0 ,
则 m⋅AD1=0m⋅AE=0 ,所以 b+c=03a=0 即 b=−ca=0 ,
取 b=1 ,得 m=0,1,−1 ,
设平面 A1D1E 的法向量为 n=x,y,z,A1D1=0,1,0,A1E=3,0,−1 ,
则 n⋅A1D1=0n⋅A1E=0 ,所以 y=03x−z=0 ,取 z=3 ,得 n=3,0,3 ,
设平面 AD1E 与平面 A1D1E 夹角为 θ ,则 csθ=m⋅nm⋅n=32×23=64 ,
故平面 AD1E 与平面 A1D1E 夹角的余弦值为 64 .
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 由题意,得函数 fx=2sinxcsx+23cs2x−3=sin2x+3cs2x =212sin2x+32cs2x=2sin2x+π3 ,
由 2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2k∈Z ,解得 kπ−5π12≤x≤kπ+π12k∈Z ,
所以 fx 的单调递增区间为 kπ−5π12,kπ+π12k∈Z ;
( 2 )当 x∈−π3,π3 时， 2x+π3∈−π3,π ，所以 sin2x+π3∈−32,1 ，
则 fx∈−3,2 ,当 2x+π3=−π3 即 x=−π3 时,函数 fx 取得最小值为 −3 ; 当 2x+π3=π2 即 x=π12 时,函数 fx 取得最大值为 2 ;
(3)由题意得 x∈π6,5π6 时， af12x−π6−fx+π12=2asinx−2cs2x≥4 有解， 而此时 sinx>0 ,即 a≥2+cs2xsinx 有解,
只需要 a≥2+cs2xsinxmin 即可, 2+cs2xsinx=3−2sin2xsinx=3sinx−2sinx,x∈π6,5π6 ,
令 t=sinx,t∈12,1 ,则 y=3t−2t 在 12,1 上单调递减,
所以当 t=1 时, ymin=1 ,即 2+cs2xsinxmin=1 ,
所以 {a∣a≥1} .
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2 ,因为焦距为 2,P1,32 ,
所以 2c=2,c=1 且 PF2⊥x 轴,故 b2a=32 ,
又由于 a2=b2+c2=b2+1 ,所以得 a=2,b=3 ,
故椭圆 C 方程为 x24+y23=1 .
(2)① 设 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，直线 MN 的方程为 y=kx+m ，
由于直线 PM,PN 的倾斜角互补,故 kPM+kPN=0 .
联立方程 y=kx+mx24+y23=1 ,整理得 3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0 ,
故 Δ=8km2−43+4k24m2−12=483+4k2−m2>0 ,即 m20 ,令 gx=ex−x−1 ,则 g′x=ex−1 ,
当 x∈−∞,0 时, g′x0 ,则 gx 单调递增,
所以 gx>g0=0 ,即 ex>x+1 ,因此 fxx>x+1 ;
(2) f′x=x+1ex+acsx,f0=0 ,
令 hx=f′x,h′x=x+2ex−asinx ,
①当 a≥0 时，由 x∈0,π ，得 xex>0,asinx≥0 ，因此 fx>0 ，满足题意，
② 当 a0 ， −asinx>0 ，
因此 h′x>0 ,则 f′x 在 0,π 上单调递增,
1∘ 若 −1≤af′0=1+a≥0 ,则 fx 在 0,π 上单调递增,
所以 fx>f0=0 ,满足题意,
2∘ 若 a