江苏省百校2026届高三上学期12月联考 数学试卷（含答案）

这是一份江苏省百校2026届高三上学期12月联考 数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若复数z满足（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
4．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ）
A．32B．64C．D．
6．已知抛物线的焦点为是C上一点，对于x轴上一点，都有，则t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（ ）
A．B．2C．D．
8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．
二、多选题
9．记等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（ ）
A．B．成等比数列
C．没有最小值D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为4
C．
D．若，则内切圆的周长为
11．已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ）
A．
B．
C．的实部的最大值为
D．
三、填空题
12．4人站成一排，其中甲不站在两边的排法种数为 ．
13．已知圆台的上底面半径为2，母线与底面所成角的余弦值为，该圆台的体积为，则该圆台的母线长为 ．
14．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ．
四、解答题
15．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求A；
(2)若，求b的大小．
16．教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表：
(1)能否有的把握认为体测结果与性别有关？
(2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率．
附：，其中．
17．在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，是的中点，点分别在线段与上（不含端点），且．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面的夹角大小．
(3)若平面，求的最小值．
18．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：．
19．已知曲线，两曲线的离心率均为，其中分别是的左、右顶点．
(1)分别求的方程．
(2)已知Q是上一点，分别交直线和于两点，以为直径的圆记为圆D．
（i）判断圆D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．
（ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为，求面积的取值范围．
参考答案
1．B
【详解】由，则.
故选：B.
2．D
【详解】由，则，当时，成立，故“”是“”的不充分条件；
由当，显然，但，即不成立，故“”是“”的不必要条件.
综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．A
【详解】由得，所以，
故选：A.
4．C
【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设则，，
所以，
设，则，
所以，所以，
因为，所以，
即的取值范围是，
故选：C.
5．A
【详解】因为，所以，解得，
设，
则当时，，
故选：A.
6．B
【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线.
设，则对，，
整理得，
所以因为，所以，所以，
又，所以的取值范围为，
故选：B.
7．D
【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期，
所以，化简可得，其中，由，则，
可得，令，解得，其中，
所以函数的对称中心为，其中，
令，化简可得，则
故函数在上的对称中心为，
由，则，则函数在上单调递减，
由，且，则，即，
所以.
故选：D.
8．C
【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）,
对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为；
球与球相切，两球心距离为，该距离等于，
由此得到递推关系：，
整理得，
所以是首项，公比的等比数列.
对于A：，A正确；
对于B：以上已证明，B正确；
对于C：等比数列前项和，因为，
所以，所以，C错误；
对于D：球的体积，，
因为是首项为，公比为的等比数列，
所以
所以，D正确；
故选：C.
9．ABD
【详解】对于A，设等差数列的公差为，因为，
可得，解得，所以A正确；
对于B，数列的通项公式为，
可得，则满足，所以成等比数列，所以B正确；
对于C，由等差数列的前项和公式，可得，
所以当时，取得最小值，所以C不正确；
对于D，由等差数列的性质，可得，
则，所以D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则.
选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以，
且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误；
选项B，由双曲线的定义可知， ，所以，
因为轴于点，则，且，当且仅当时取等，
所以，所以B正确；
选项C，因为，又渐近线的斜率为，
所以，所以，所以C正确；
选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积，
又，，则，
而，则，
所以内切圆的周长为，所以D正确.
故选：BCD.
11．AD
【详解】对于A，由，
所以，
所以A正确；
对于B，由函数，
代入，可得，
可得
因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，所以B不正确；
对于C，由的实部为，可得
由函数在上为单调递增函数，当时，取得最大值，所以C错误；
对于D，由，可得，
所以，
取，可得，因为，此时满足，
即成立，所以D正确.
故选：AD.
12．
【详解】由题意知，人站成一排，若甲不站在两边，则甲有种站法，
其余人，有种站法，由分步乘法计数原理，共有种不同的站法.
故答案为：.
13．/
【详解】如图，由题意可知，，则，
过点作，垂足为，
设，则
在中，，
圆台上底面面积，下底面面积，
则圆台的体积，
化简得，所以，则，，
在中，，
所以该圆台的母线长为.
故答案为：.
14．2
【详解】由椭圆的方程，得，所以，，
所以，，设，圆心，
则圆的标准方程为，
所以，整理得，
所以，
所以
，所以
由，，
所以当时，最小，此时，所以，
所以.
故答案为：2
15．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
即，
即
即，
所以，
又因为为三角形的内角，可得，所以，
因为，所以，所以.
（2）解：由（1）知，且，
根据正弦定理知，可得，
因为，所以，所以为直角三角形，
所以.
16．(1)能有的把握认为体测结果与性别有关
(2)
【详解】（1）由题意可得，
则，
故能有的把握认为体测结果与性别有关.
（2）设{抽取的一人为优秀}，{抽取的一人为男生}，
则{抽取的一人为合格}，{抽取的一人为女生}，
可得，，，，
所以，
故.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，
因为分别为的中点，所以且，又且，则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为点在线段上，则平面即为平面，
因为平面，，则两两垂直，
以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
又，所以，
所以平面与平面的夹角为，即平面与平面的夹角大小为.
（3）设点，则，，
由得，则，
则，同理，由可得，
则，
设平面的法向量，
因为，，
所以，令，则，，则，
由平面得，
化简可得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
18．(1)；
(2)；
(3)
证明见解析.
【详解】（1）当时，，，即切点坐标为，
又可得，即切线斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）当时，若单调递减，则满足条件，
因此需在恒成立，即在恒成立，
所以
设，
则当时，恒成立（当且仅当时取等号），
所以在单调递增，所以，
所以，得；
当时，，，
所以存在，，
则当时，，单调递增，此时，不满足条件，
综上可知，实数的取值范围为.
（3）由（2）可知，当时，在单调递减，
且时，，即，
令，则，所以，
即，
所以
.
19．(1)曲线，曲线；
(2)（i）圆过定点；（ii）
【详解】（1）因为，则，可知曲线的焦点在轴上，曲线的焦点在轴上；
对于曲线，，解得：；
对于曲线，，解得：；
即，所以曲线，曲线.
（2）（i）由题意可知：，，
设，因为在上，则，可得，
直线的方程为，令得：，即；
直线的方程为，令得：，即；
则，
且，
可知圆的圆心为，半径，
则圆的方程为：，整理可得，
令得，所以圆过定点；
（ii）因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径，方程为，
设，，则，即；
则，
因为，是圆D的两条切线，则，，
可知，，
设，则，,
因为，
令，则，可得，
因为在内单调递减，且，，
可得，所以面积的取值范围为.性别
体测结果
合计
合格
优秀
男生
2
28
30
女生
6
14
20
合计
8
42
50
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828