2024年中考数学（扬州）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（扬州）第一次模拟考试（含答案），共49页。试卷主要包含了将答案写在答题卡上，计算等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ）
A．样本容量是B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为D．估计全校学生A等级大约有人
6．如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（ ）
A．两个正方形边长和的最小值为
B．两个正方形的边长差为3
C．两个正方形面积和的最小值为
D．两个正方形面积和的最大值为
8．如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．计算： ．
10．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为 ．
11．若，则代数式的值为 ．
12．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
第12题第13题
13．如图所示，扇形中，，点为中点，，交于，以为半径画交于，则图中阴影部分面积为 ．
14．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）．
15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为 ．
第16题第17题
17．如图，菱形的边在y轴，点B在第一象限，且，将这个菱形向右平移2个单位得到菱形（点和A对应）．若反比例函数的图象恰好经过点，B，则k的值为 ．
18．如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）
（1）计算：；
（2）解方程：．
20．（8分）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
21．（8分）课间休息，数学李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时发光”，物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光”，物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题：
(1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为_______．
(2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
22．（8分）阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表：
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？
23．（10分）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取．
(1)求证：；
(2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
24．（10分）如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于 ．
(1)若DF⊥AC，求证：为的切线．
(2)若为的切线，，，求的长．
25．（10分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．
(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
26．（10分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
27．（12分）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．
(1)如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________．
思考探究：
(2)在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，)
28．（12分）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到．
①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
2024年中考第一次模拟考试（扬州卷）
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意知，，，，
∴，即，
最小的数是，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A项，，计算正确，故本项符合题意；
B项，，原计算错误，故本项不符合题意；
C项，，原计算错误，故本项不符合题意；
D项，，原计算错误，故本项不符合题意；
故选：A．
3．下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
5．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ）

A．样本容量是B．样本中C等级所占百分比是
C．D等级所在扇形的圆心角为D．估计全校学生A等级大约有人
【答案】C
【解析】解：A．∵，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意；
B．样本中C等级所占百分比是，故选项正确，不符合题意；
C．样本中C等级所占百分比是，D等级所在扇形的圆心角为，故选项错误，符合题意；
D．估计全校学生A等级大约有（人），故选项正确，不符合题意．
故选：C．
6．如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据旋转的性质，结合有，
，，故A项正确；
，，
，
四点共圆，
，
，，
，故B正确；
若，即有，则是等边三角形，
显然，在旋转时，无法总是等边三角形，故C错误；
，
，
，
，故D正确，
故选：C．
7．安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（ ）
A．两个正方形边长和的最小值为
B．两个正方形的边长差为3
C．两个正方形面积和的最小值为
D．两个正方形面积和的最大值为
【答案】D
【解析】解：如图，连接，则．
设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，，
∴，
∴．
延长交于点G，则，
在中，由勾股定理，．
∵，即，
∴，
∴，
∴，故选项A、B不正确；
∴．
①当时，即时，S最小．
∴；故选项C不正确；
②当最大时，S最大．
即当a最大且b最小时，S最大．
∵，
由（2）知，，．
∴
．故选项D正确；
故选：D．
8．如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图，
点、分别为，的中点，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
．
，，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设，
由题意得：，则，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得：，
．
．
，
，
，
抛物线的开口方向向上，顶点为
由题意：的取值范围为：，
当时，，当时，，
与的函数图象是以点和为端点的抛物线上的一部分，
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．计算： ．
【答案】2.5
【解析】解：
．
故答案为：．
10．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为人，这个数用科学记数法表示为 .
【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
11．若，则代数式的值为 ．
【答案】1
【解析】解：∵，
∴
，
故答案为：1．
12．如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是 ．
【答案】
【解析】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，

∵正六边形对边互相平行，且内角为，
∴

过点作于，
∴
设正六边形的边长为1，则，，
∴
故答案为：．
13．如图所示，扇形中，，点为中点，，交于，以为半径画交于，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】解：如图，连接
，，
，，
，
，

故答案为：．
14．十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：
可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到），由此估计的近似值为 （精确到）．
【答案】
【解析】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近于0.318，
相交的概率为0.318；
，
，
，
解得：，
故答案为：0.318；3.14
15．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．

【答案】
【解析】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
【答案】
【解析】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，

，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
17．如图，菱形的边在y轴，点B在第一象限，且，将这个菱形向右平移2个单位得到菱形（点和A对应）．若反比例函数的图象恰好经过点，B，则k的值为 ．
【答案】
【解析】解：延长交x轴于点M，过点B作轴，垂足为N，如图所示：

在和中，
，
，
，
，
，
，
设菱形的边长为m，则，
∴点B的坐标为，
∵菱形向右平移2个单位得到菱形，
，
∵的图象恰好经过点，B，
，
解得：，
，
故答案为：．
18．如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ．
【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）
（1）计算：；（2）解方程：．
【解析】解：（1）原式；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴．
20．（8分）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的a的值代入求值．
【解析】解：
在范围内的整数为,
∵当或时，分式无意义，
∴或，
当时，原式，
当时，原式．
21．（8分）课间休息，数学李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图（如图所示），就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时发光”，物理课代表回答：“在开关闭合的情况下，再闭合，，中的任意一个开关，小灯泡就会发光”，物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题：
(1)在开关闭合的情况下，随机闭合，，中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为_______．
(2)当随机闭合，，，中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
【解析】（1）所有等可能的情况有3种：，闭合；，闭合，，闭合，
其中小灯泡发光的情况有1种：，闭合，
则（小灯泡发光）；
故答案为：；
（2）解：设、、、分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
能够让灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
22．（8分）阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表：
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？
【解析】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有，牛奶有．依题意，列方程组为
，
解得，
∴，，
答：每份该种早餐中谷物食品有，牛奶。
（2）解：设每个一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐．
依题意，得．
解得．
∴或，
当时，，
当时，，
∴每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天.
23．（10分）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取．
(1)求证：；
(2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵，∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：四边形不能成为矩形，理由如下：
若四边形为矩形，则，
由作图可知，平分，
∴，与矛盾，
∴四边形不能成为矩形．
24．（10分）如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于 ．
(1)若，求证：为的切线．
(2)若为的切线，，，求的长．
【解析】（1）解：如图：连接，，
∵为圆直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（10分）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

(1)求的长．
(2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【解析】（1）解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．

（2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．

26．（10分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，
则
，
与a的函数关系式为；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
，
解得，
，，
当时，
（元）；
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润元．
27．（12分）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片对折，使得点A，D重合，点B，C重合，折痕为，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折痕为．

(1)如图（1）若，则当点落在上时，和的数量关系是________，的度数为________．
思考探究：
(2)在的条件下进一步进行探究，将沿所在的直线折叠，点M的对应点为点．当点落在上时，如图（2），设，分别交于点J，K．若，请求出三角形的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片中，，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为，点A的对应点为点N，展开后再将四边形沿所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点，连接，，若，请直接写出的长．(温馨提示：，)
【解析】（1）解：由折叠得：，，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）由折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）如图，过点作于，于，

，
，
，
四边形是矩形，
，
由折叠得：，，
中，，
，
延长，交于，
中，，，
，
中，，
，
设，则，，
，
，
，
．
28．（12分）如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到．
①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线的图象过两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：

∵，
∴，，
∴．
当时，．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
在中，令，得：，
∴；
∴；
（3）解：①如图：

根据题意得：，．
∵将绕点M逆时针旋转得到，
∴，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是菱形，只需，即，
此时．
在中，，
∴，
解得：，
答：当点N运动到秒时，四边形是菱形；
②如图：

由①得四边形是平行四边形．
当四边形NBFG是矩形时，只需．
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
∴当点N运动1秒时，四边形是矩形．
∴，
∴．
将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即．
当时，即，
解得：，，
∴点F的坐标为或．
试验次数
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
相交频数
495
623
799
954
1123
1269
1434
1590
相交频率
项目
谷物（每）
牛奶（每）
鸡蛋（每）
蛋白质（）
脂肪（）
碳水化合物（）
套餐
主食
肉类
其他
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2000
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