2024年中考数学（扬州）第三次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（扬州）第三次模拟考试（含答案），共49页。试卷主要包含了将答案写在答题卡上，若点，，，都在反比例函数，定义，如图，在中，是边上的点等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A．B．0C．1D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，四边形是菱形，，于点，点，分别是，的中点，连接，，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
第6题第8题
7．定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．的面积B．的面积
C．的面积D．的面积
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．中国科学院发现“绿色”光刻胶，精度可达米，数字用科学记数法可表示为 ．
10．若，，则的值为 ．
11．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．
第11题第14题第15题
12．在学校优秀班集体评选中，七年级一班的“学习”、“卫生”、“纪律”、“德育”这四项成绩（百分制）依次为80、84、86、90．若按“学习”成绩占、“卫生”成绩占、“纪律”成绩占、“德育”成绩占进行考核打分（百分制），则该班得分为 ．
13．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ．
14．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
15．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
16．如图，四边形是边长为6的菱形，，点E、F分别是、边上的动点（不与B、C、D重合），连接、、，若是等边三角形，则周长的最小值为 ．（结果保留根号）
第16题第17题
17．在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ．
18．如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）
（1）计算：；（2）解不等式组．
20．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
21．（8分）某校七年级和八年级开展了一次综合实践知识竞赛活动，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次竞赛的情况，现从这两个年级各随机抽取20名学生竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制不完整的统计图表，部分信息如下：
已知八年级20名学生成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)所给的样本中，七年级竞赛成绩的众数为__________分，七年级竞赛成绩为9分的学生人数是__________人．
(2)___________，_________．
(3)若认定竞赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次竞赛中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
22．（8分）2024年春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《熊出没·逆转时空》，《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果．
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率．
23．（10分）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
24．（10分）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，求的面积.
25．（10分）如图，点C为上一点，连接并延长至点D，使得．过点D作的切线，点B为切点，连接．点A为上一点， ，连接，，，．
(1)证明：为的切线；
(2)判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．
26．（10分）近几年，中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图所示的一款可调节的护眼台灯，固定支撑杆垂直于水平操作台，与是分别可绕点和点旋转的调节杆，，，始终在同一平面内．已知，调节杆，．现调节台灯至图示位置，测得，，求调节杆端点到操作直线的距离（结果精确到1 cm，参考数据：，，，，）．

27．（12分）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，___；____．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
28．（12分）如图1，二次函数的图象与轴相交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接交于点，连接，，．若和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线平移个单位得新抛物线，为新抛物线上一点，作直线，当点到直线的距离是点到直线的距离的倍时，直接写出点的横坐标．
2024年中考第三次模拟考试(扬州卷)
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是负数正数，两个负数，绝对值大的反而小，是一道基础题．根据有理数的大小比较方法，找出最小的数即可．
【详解】解：，
最小的数是
故选：D
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式加法和乘法，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则是解题的关键．
根据同底数幂的运算法则，积的乘方运算，合并同类项，幂的乘方法则即可逐一判断．
【详解】A．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B．，同底数幂计算错误，故该选项不符合题意；
C．，幂的乘方计算错误，故该选项不符合题意；
D．，积的乘方计算正确，故该选项不符合题意；
故选：D．
3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
【答案】C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值在0.16—0.19的即符合题意；
【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故选：C．
4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了物体的三视图，根据主视图即从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键．
【详解】
解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为：

故选：B．
5．若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴在第三象限内，在第一象限内，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．如图，四边形是菱形，，于点，点，分别是，的中点，连接，，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，连接和，交于点O，根据菱形的性质得到，根据中位线的判定与性质得到，，先证明，进一步证明是等边三角形，然后根据题意求出线段长即可.
【详解】如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵,
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
7．定义：在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
先联立并转化为一元二次方程，利用根的判别式得到，再表示交点的坐标，利用确定，最后把转化为，求解即可．
【详解】由题意得方程组只有一组实数解，
消去y得，
由题意，
∴，
∴，
∴用方程可以化为，
∴，
∴，
∵且，
∴或，
解得：或，
∵点C在第一象限，
∴，
∵
∵
∴．
故选：D．
8．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．的面积B．的面积
C．的面积D．的面积
【答案】D
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
9．中国科学院发现“绿色”光刻胶，精度可达米，数字用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：．
故答案为：．
10．若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先利用平方差把的左边分解因式，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，∴(a+b)a-b)=15．
∵，∴，
∴．故答案为：．
11．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，熟记的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
连接，根据正方形的性质得到，得到是圆的直径，根据相似比的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是圆的直径，
∵正方形的面积为2，
∴正方形的边长为，
∵正方形的与是位似图形，，
∴，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为2，
故答案为：2．
12．在学校优秀班集体评选中，七年级一班的“学习”、“卫生”、“纪律”、“德育”这四项成绩（百分制）依次为80、84、86、90．若按“学习”成绩占、“卫生”成绩占、“纪律”成绩占、“德育”成绩占进行考核打分（百分制），则该班得分为 ．
【答案】84.5
【分析】本题主要考查了加权平均数的应用，明确加权平均数的含义是解答本题的关键．运用加权平均数解答即可．
【详解】解：，
所以该班得分为84.5分，
故答案为：84.5．
13．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ．
【答案】或0
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，
∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；
①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，，
解得；
②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，，
∴，与轴有2个公共点，为或，
综上所述，b的值为或0，
故答案为：或0．
14．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可．
【详解】解：连接，过作于G，
∵圆与边恰好相切于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
15．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点．
仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可．
【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同，
∵，
∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值，
由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值，
（I）当时，
①且，
解得，
②当且，
解得
（II）当时，
①且
无解；
②且，
无解，
故答案为：或．
16．如图，四边形是边长为6的菱形，，点E、F分别是、边上的动点（不与B、C、D重合），连接、、，若是等边三角形，则周长的最小值为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解三角形等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
连接，易证与是等边三角形，再结合等边三角形的性质可证，则，于是的周长转化为，由于当时最短，于是即可得到答案．
【详解】如图，连接．
∵，四边形是菱形，
∴，则是等边三角形．
∴，，
由是等边三角形知，，
∵，，
∴．
由菱形知，，，
∴也是等边三角形，则．
在与中，，
∴，
∴．
∴的周长．
当为的边上的高时，最短，此时的周长最短．
此时，．
∴周长的最短值为．
故答案为：．
17．在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】取中点为D，作且，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而利用勾股定理求出，再利用旋转的性质证明，推出，根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，取中点为D，作且，连接，
中，，中点为D，
，
，
，
中，；
线段绕点A顺时针旋转得到线段，
，，
又，即，
，即，
在和中，，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
18．如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为
【答案】
【分析】如图，延长交于．首先证明，由，推出，，由，推出，推出，再证明即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于．

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）
（1）计算：．（2）解不等式组．
【答案】，
【分析】本题考查了实数的运算;
（1）根据开立方根，完全平方公式，负整数指数幂，绝对值的运算法则求解即可；
（2）根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】解：（1）
（2）
解①得：
解②得：
则不等式的解集为：
20．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，4
【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
∵x是方程的根，
∴解得：，，
∵x不能取，
∴当时，原式．
21．（8分）某校七年级和八年级开展了一次综合实践知识竞赛活动，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次竞赛的情况，现从这两个年级各随机抽取20名学生竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制不完整的统计图表，部分信息如下：
已知八年级20名学生成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)所给的样本中，七年级竞赛成绩的众数为__________分，七年级竞赛成绩为9分的学生人数是__________人．
(2)___________，_________．
(3)若认定竞赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次竞赛中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)优秀率高的八年级，平均成绩低于七年级，理由见解析．
【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数，明确相关概念，从统计图中获取信息是解题的关键．
（1）先算出各成绩段的人数即可求解；
（2）根据八年级20名学生成绩的中位数为分，可知成绩由低到高排列第10位的成绩为8分，第11位的成绩为9分，即可求解；
（3）分别求出七、八年级的平均分和优秀率，再比较即可．
【详解】（1）解：七年级竞赛成绩为7分的人数为：（人），
七年级竞赛成绩为8分的人数为：（人），
七年级竞赛成绩为9分的人数为：（人），
七年级竞赛成绩为10分的人数为：（人），
∵七所级竞赛成绩为8分出现的次数最多，
∴七所级竞赛成绩的众数为8分，
故答案为：．
（2）解：∵八年级20名学生成绩的中位数为分，
∴成绩由低到高排列第10位的成绩为8分，第11位的成绩为9分，
∴，，
故答案为：．
（3）解：七年级平均成绩：
，
八年级平均成绩：
，
七年级优秀率：
，
八年级优秀率：
，
综上可看出优秀率高的八年级，平均成绩低于七年级．
22．（8分）2024年春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《熊出没·逆转时空》，《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果．
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率．
【答案】(1)树状图见解析，所有可能出现的结果有9种
(2)小亮、小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率为
【分析】本题考查了由列表法或画树状图得方法求概率，由概率公式求概率，准确画出树状图是解答本题的关键．
（1）画出树状图进行求解即可；
（2）由概率公式直接求解即可．
【详解】（1）解：画树状图如图：
∴可能出现的结果．
（2）由（1）可知，小亮、小丽两名同学选择观看不是同一电影的情况有6种，
．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看不是同一部电影的概率为．
23．（10分）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？
【答案】(1)甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
(2)购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
【分析】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解；
（）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得，，
解得，
设所需费用为元，由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
此时，，
答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少．
24．（10分）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为．
(1)求证：；
(2)过点作于点，若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可．
（1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）过点作于点，
∵是的角平分线，，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∵，
∴．
25．（10分）如图，点C为上一点，连接并延长至点D，使得．过点D作的切线，点B为切点，连接．点A为上一点， ，连接，，，．
(1)证明：为的切线；
(2)判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、直角三角形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握相关性质和判定定理成为解题的关键．
（1）由圆的性质可得，根据圆周角定理可得，切线的性质可得，然后证明，进而得到即可证明结论；
（2）根据直角三角形的性质可得、，再结合可得，最后根据菱形的定义即可解答．
【详解】（1）证明：、、在圆上
，
，
为的切线
，
在和中，，
，
，
为的切线．
（2）解：四边形为菱形，证明如下：
在中，，
，
为边上的中线，
，
同理，在中，，
，
，
四边形为菱形．
26．（10分）近几年，中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图所示的一款可调节的护眼台灯，固定支撑杆垂直于水平操作台，与是分别可绕点和点旋转的调节杆，，，始终在同一平面内．已知，调节杆，．现调节台灯至图示位置，测得，，求调节杆端点到操作直线的距离（结果精确到1 cm，参考数据：，，，，）．
【答案】调节杆端点到操作直线的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作出如图的辅助线，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此求解即可．
【详解】解：分别过点作直线的平行线，则,再过点作直线的垂线，分别交于点，如图，

由题意得，，
∴，，，，
∴，，
∴调节杆端点到操作直线的距离为．
27．（12分）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，___；____．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
【答案】（1）， （2）见解析 （3）45°或225°
【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可．
（2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ．
（3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案：，．
（2）延长到点F，使，连接，
∵，
∵，∴，
∴，，
过点B作，交于点M，N,
∴，，
∴，
设的交点为Q，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，，
∵,，
∴,∴,
∴且．故结论仍然成立．
（3）如图，当共线时，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，此时旋转角等于的度数即；
故答案为：或．
28．（12分）如图1，二次函数的图象与轴相交于、两点，其中点的坐标为，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接交于点，连接，，．若和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线平移个单位得新抛物线，为新抛物线上一点，作直线，当点到直线的距离是点到直线的距离的倍时，直接写出点的横坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3) 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）直接将点坐标带入即可求解；
（2）过作轴平行线交直线于，过作轴平行线交直线于，设出点坐标，进而求出、长度，用其表达，即可求解；
（3）利用相似三角形性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，，对称轴，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，，，
设直线为，
，
，
，
设直线为，
，
，
，
设，
如图1，过作轴平行线交直线于，过作轴平行线交直线于，
，，
，
，
，
,
，
，
当时有最大值，
此时，
；
（3）设平移到点，则，作轴于，
如图2
则，
，
即，
，即将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
又，
则新抛物线顶点为，
新抛物线为，
如图3作于，于，直线交直线于，
，
，
，
分类讨论：当在线段上，过点作轴于点，
，，
，
，
，，
，，
设直线为，
，解得，
，联立，
，
，
，
，
当在线段的延长线上时，如图4过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设直线为，
，解得，
，联立，
，
，
，
，
，
综上点横坐标为或．