2024年中考数学真题分类汇编——解直角三角形（含勾股定理）及其应用（含答案）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编——解直角三角形（含勾股定理）及其应用（含答案），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 44
2. （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
3. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
4. （2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A. 20B. 15C. 12D.
5. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
6. （2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
1. （2024深圳）如图，在中，，，D上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________．
2. （2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
3. （2024江西省）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______．
4. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）

5. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）．
6. （2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
7. （2024四川达州）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是______．
8. （2024四川眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米．
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
2. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
3. （2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
4. （2024河南省）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
5. （2024江苏苏州） 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
6. （2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．
7. （2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
8. （2024重庆市B）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）

（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
9. （2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
10. （2024四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

11. （2024四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用
一、选择题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 44
【答案】D
【解析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图2中最大的正方形的面积；
故选：D．
2. （2024甘肃临夏）如图，在中，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【详解】如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
3. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上，
依题意，，
∴
∴
又，
∴
∴
故选：B．
4. （2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（在同一平面内，在同一水平面上），则建筑物的高为（ ）米
A. 20B. 15C. 12D.
【答案】B
【解析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过作于，则四边形为矩形，设，而，可得，，结合，再解方程即可．
【详解】如图，过作于，
依题意，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
故选B
5. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得的仰角为，则电子厂的高度为（ ）（参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形、、是矩形，再设，表示，然后在以及运用线段和差关系，即，再求出，即可作答．
【详解】如图：延长交于一点，
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是矩形
同理得四边形是矩形
依题意，得，
∴，
∴
∴设，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
6. （2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．

二、填空题
1. （2024深圳）如图，在中，，，D上一点，且满足，过D作交延长线于点E，则________．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设，根据，，得出再分别用勾股定理求出，故，再运用解直角三角形得出，，代入，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作垂足为H,
∵，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得
∴，，
∴，，
∴，
过点C作垂足为M，
∴，，
∵,，
∴，
∴，
故答案为：．
2. （2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值．
【详解】如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
3. （2024江西省）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______．
【答案】##
【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
4. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，）

【答案】17
【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
，
故答案为：17．
5. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）．
【答案】##
【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可．
【详解】依题意，．
中，，
在中，，
∴．
故答案为：．
6. （2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：）
【答案】51
【解析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解．
【详解】延长交距水平地面的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
7. （2024四川达州）如图，在中，．点在线段上，．若，，则的面积是______．
【答案】
【解析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过作于，设，则，利用列出等式即可．
【详解】解：过作于，
，，，
是等腰直角三角形
设，则
解得（舍去）或
经检验是原分式方程的解，
．
故答案为：．
8. （2024四川眉山）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为10米，则大树的高为______米．
【答案】##
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度的实践活动．为乾元塔的顶端，，点，在点的正东方向，在点用高度为1.6米的测角仪（即米）测得点仰角为，向西平移14.5米至点，测得点仰角为，请根据测量数据，求乾元塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】乾元塔的高度约为米
【解析】本题考查解直角三角形的应用，设平移后得到，延长交于点，设，分别解，表示出的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设平移后得到，延长交于点，则：，，，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：乾元塔的高度约为米．
2. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则．
【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
3. （2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
【答案】（1）， （2），
【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
4. （2024河南省）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明．
（2）经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）．
【答案】（1）见解析 （2）塑像的高约为
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
则．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：在中，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
答：塑像的高约为．
5. （2024江苏苏州） 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．
（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
【小问2详解】
解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．
由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
6. （2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．
【答案】（1），，，；
（2），推导见解析；
（3）．
【解析】【分析】（）根据题意选择需要的数据即可；
（）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（）根据（）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：需要的数据为：，，，；
【小问2详解】
解：过点作于点，则，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴按键顺序为，
故答案为：．
7. （2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设，在中，．在中，．则．解方程即可；
（2）求出，根据即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，由，得．
，垂足为，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
得．
答：线段的长约为．
【小问2详解】
在中，，
．
．
答：桥塔的高度约为．
8. （2024重庆市B）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，）

（1）求的长度（结果精确到千米）；
（2）甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】（1）千米
（2）甲选择的路线较近
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）过点B作于E，先求出，再解得到千米，进一步解即可得到千米；
（2）过点C作于D，先解得到千米，则千米，再得到千米，千米，最后解 得到千米，千米，即可得到千米，千米，据此可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点B作于E，

由题意得，，
∴，
在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
∴的长度约为千米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作于D，

在中，千米，
∴千米，
在中，千米，
千米，
在中，，
∴千米，
千米，
∴千米，千米，
∵，
∴甲选择的路线较近．
9. （2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为尺
（2）能，
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
【小问2详解】
能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
10. （2024四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展．年月日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果精确到）

【答案】．
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解，正确解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，
设，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：塔高为．
11. （2024四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【答案】C，D间的距离为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：作于点，
由题意得，，，
∴等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
在中，，
答：C，D间的距离为．
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图
说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．
测量数据
……
……
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图
说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．
测量数据
……
……