初中数学北师大版（2024）八年级下册角平分线教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册角平分线教案设计，共4页。

1.复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理．
2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．
3.通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
重点：角平分线的性质与判定的证明及运用．
难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题．
知识链接
想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧．
创设情境——见配套课件
探究点一：角平分线的性质
操作：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，测量PD，PE．
思考：比较PD，PE的长度，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试．通过测量，你发现了什么？
PD=PE．在OC上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立．
猜想：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
证明：如上图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．
证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．∵∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）．
如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．
解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=DC，DB=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）．∴BE=CF．
探究点二：角平分线的判定
思考：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
新结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
探索：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论．
已知：如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°．∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠DOP=∠EOP．∴点P在∠AOB的平分线上．
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？
解：集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷250=2个单位长度的位置，如图中点P所示．
（教材P41例1）在配套课件中展示．
1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD⊥OA于点D．若PD=6，则点P到OB的距离为 6 ．
第1题图
第2题图
第3题图
2.如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN．若∠BOC=30°，则∠AOB的度数是 60° ．
3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC=2AD，点D到BC的距离为5，则AC= 15 ．
角平分线的性质与判定角平分线的性质角平分线的判定
本节课运用动手操作、讨论交流法，增强学生对角及角平分线性质的感性认识，助力知识理解掌握，达成教学目标．同时，借直观模型引导学生自主探究、合作交流，得出角平分线判定定理，提升教学效果．其性质与判定为证线段、角相等开辟新路径，是全等三角形知识的延续，为后续学习奠基．