福建省莆田市五校2026届高三上学期12月考试数学试卷含解析（word版）

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1. 若集合 A=x y=x−4,B=x lg3x≤2 ，则 A∩B= ( ).
A. 0,6 B. 0,9 C. 4,6 D. 4,9
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求出 A=[4,+∞),B=(0,9] ,根据交集概念求出答案.
【详解】由题意得 x−4≥0 ,解得 x≥4 ,故 A=[4,+∞) ,
B=x lg3x≤2={x∣01 ，乙: an 是递增数列，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论.
【详解】当 a1=−1,q=2 时, an=−2n ,不是递增数列,充分性不成立;
当 a1=−1,q=12 时, an 是递增数列,但 q>1 不成立,必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选: D.
5. 已知正实数 a,b 满足 a+b=4 ，则 1a+2+1b 的最小值为 ( ).
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正实数 a,b 满足 a+b=4 ,故 a+2+b=6 ,
故 1a+2+1b=161a+2+1ba+2+b=161+ba+2+a+2b+1≥162+2ba+2⋅a+2b=23,
当且仅当 ba+2=a+2b 时,即 a=1,b=3 时,等号成立,
故 1a+2+1b 的最小值为 23 .
故选: C
6. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S6=12,S9=45 ,则 S11= ( ).
A. 57 B. 67 C. 77 D. 99
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 n 项和公式求解.
【详解】设等差数列 an 的公差为 d ,
根据 S6=12,S9=45 ,
得 6a1+6×52d=129a1+9×82d=45 ,解得 a1=−3d=2 ,
所以 S11=11×−3+11×102×2=77
故选: C
7. 设函数 fx=cs2x+φ−csx ,若存在 x0∈0,π2 ,使得 fx0=0 ,则 φ 的值不可能是 ( ).
A. π3 B. 2π3 C. 7π6 D. 11π6
【答案】A
【解析】
【分析】先根据 fx0=0 得到关于 φ 的表达式,再结合 x0 的取值范围求出 φ 的范围,最后据此判断选项.
【详解】因为 fx=cs2x+φ−csx ,且存在 x0∈0,π2 ,使得 fx0=0 ,
则 cs2x0+φ−csx0=0 ,即 cs2x0+φ=csx0 ,
所以 2x0+φ=2kπ±x0,k∈Z ,
当 2x0+φ=2kπ+x0,k∈Z 时,得 φ=2kπ−x0,k∈Z ,
因为 x0∈0,π2 ,所以 φ∈−π2+2kπ,2kπ,k∈Z .
当 2x0+φ=2kπ−x0,k∈Z 时,得 φ=2kπ−3x0,k∈Z ,
因为 x0∈0,π2 ,所以 φ∈−3π2+2kπ,2kπ,k∈Z .
综合以上情况得 φ 的所有可能取值的集合为 −3π2+2kπ,2kπ,k∈Z .
检验可知 2π3,7π6,11π6 均在 k=1 时对应的区间 π2,2π 内, π3 不在该集合对应的任何区间内,所以 φ 的值不可能为 π3 .
故选: A
8. 函数 fx=ecsx−sinx 在区间 0,6π 上的零点个数为 ( ).
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的周期,在一个周期上求零点个数,可转化为 gx=ecsx 与 y=sinx 图象的交点个数, 利用导数研究 gx=ecsx 单调性、极值,作出函数图象求解即可.
【详解】因为 fx+2π=ecsx+2π−sinx+2π=ecsx−sinx=fx ,
所以 2π 是函数的一个周期,
令 fx=0 ,可得 ecsx=sinx ,
令 gx=ecsx ,则 g′x=−sinxecsx ,当 0e , D 正确;
故选: ACD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 fx=lg2x,x>02−x+2,x≤0 ,则 ff12= _____.
【答案】 4
【解析】
【分析】
先计算 f12 ,再计算 ff12 .
【详解】 f12=lg212=−1,ff12=f−1=2−−1+2=4 .
故答案为: 4 .
13. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形. 若 AB=20 m,BC=AD=10 m ,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 ABCD 的夹角的正切值均为 35 ,则该五面体的体积为_____ m3 .

【答案】 250
【解析】
【分析】先根据线面角的定义求得 tan∠EMO=tan∠EGO=35 ，从而依次求 EO ， EG ， OG ， EG ， 再利用三棱柱体积公式和四棱锥体积公式即可得解.
【详解】如图,

过 E 作 EO⊥ 平面 ABCD ,垂足为 O ,过 E 分别作 EG⊥BC,EM⊥AB ,垂足分别为 G,M ,连接 OG,OM ,
因为 EO⊥ 平面 ABCD,BC⊂ 平面 ABCD ,所以 EO⊥BC ,
因为 EG⊥BC,EO,EG⊂ 平面 EOG,EO∩EG=E ,
所以 BC⊥ 平面 EOG ,因为 OG⊂ 平面 EOG ,所以 BC⊥OG ,
同理, OM⊥BM ,
则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 ∠EMO 和 ∠EGO ,
所以 tan∠EMO=tan∠EGO=35 .
又 BM⊥BG ,故四边形 OMBG 是矩形,
所以由 BC=10 得 OM=5 ,所以 EO=3 ,所以 OG=5 ,
即 BM=5 ,所以 EF=AB−5−5=20−10=10 ,
所以该五面体的体积为 V=OM⋅OE⋅EF+2×13×BM⋅BC⋅OE=5×3×10+2×13×5×10×3=250 故答案为: 250 .
14. 已知数列 an 满足 an∈N∗ ,且对任意的 k∈N∗2≤k≤8,ak=ak−1+1 或 ak=ak+1−1 中有且仅有一个成立. 若 a1=1,a9=9 ，则数列 an 的前 9 项和的最小值为_____.
【答案】 21
【解析】
【分析】根据题意 ai≥1i=1,2,3,⋯,9 ,再由 ak=ak−1+1 或 ak=ak+1−1 中有且仅有一个成立,分类讨论求出各项的最小值即可得解.
【详解】因为 an∈N∗ ,所以 ai≥1i=1,2,3,⋯,9 ;
令 bm=am+1−amm=1,2,3,⋯,8 ,由题意知 bm 或 bm+1 中有且仅有一个为 1m=1,2,3,⋯,7 ,
若 b1=b3=b5=b7=1 ,则 a2=a1+1=2 ,
又 ai≥1i=1,2,3,⋯,8 ,
所以 a3≥1,a4≥2,a5≥1,a6≥2,a7≥1,a8≥2,a9=9 ,
故 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9 的最小值为 21,
若 b2=b4=b6=b8=1 ,
则 a1=1,a2≥1,a3≥2,a4≥1,a5≥2,a6≥1,a7≥2,a8=8,a9=9 ,
故 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9 的最小值为 27,
综上, a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9 的最小值为 21 .
故答案为: 21
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c ，已知 2csA−3cs2A=3 .
(1)求 csA 的值；
(2)若 △ABC 为锐角三角形， 2b=3c ，求 sinC 的值.
【答案】( 1 ) csA=13 或 csA=0 ；
(2) 429 .
【解析】
【分析】(1)根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；
(2)解法一，由 2b=3c ，利用正弦定理边化角得 2sinB=3sinC ，结合 sinA+C=sinB 和 csA=13 ,化简运算并结合平方关系求得答案;
解法二,根据条件利用余弦定理可得 c=23a ,再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.
【小问 1 详解】
由题可得 2csA−32cs2A−1=3 ,即 3cs2A−csA=0 ,
解得 csA=13 或 csA=0 .
【小问 2 详解】
解法一: 因为 2b=3c ,由正弦定理得 2sinB=3sinC ,即 2sinA+C=3sinC ,
即 2sinAcsC+2sinCcsA=3sinC ,
因为 csA=13 ,所以 sinA=223 ;
所以 423csC+23sinC=3sinC ,又 sin2C+cs2C=1 ,
且 △ABC 为锐角三角形,解得 sinC=429 .
解法二: 由余弦定理得 csA=b2+c2−a22bc=13 ,因为 2b=3c ,所以 9c24+c2−a23c2=13 ,即 c2=49a2 , 所以 c=23a ,所以 sinC=23sinA ,
又 csA=13 ,所以 sinA=223 ,所以 sinC=23sinA=429 .
16. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a2=1,2Sn=nan .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 a2n⋅2n 的前 n 项和 Tn .
【答案】( 1 ) an=n−1
(2) Tn=2n−3⋅2n+1+6
【解析】
【分析】(1) 根据 an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2 化简后,利用递推关系即可求出;
(2)根据错位相减法即可解出.
【小问 1 详解】
因为 2Sn=nan ,
当 n=1 时， 2a1=a1 ，即 a1=0 ；
当 n=3 时， 21+a3=3a3 ，即 a3=2 ，
当 n≥2 时， 2Sn−1=n−1an−1 ，
所以 2Sn−Sn−1=nan−n−1an−1=2an ,
化简得: n−2an=n−1an−1 ,当 n≥3 时, ann−1=an−1n−2=⋯=a32=1 ,
即 an=n−1 ,
当 n=1,2 时都满足上式,所以 an=n−1n∈N∗ .
【小问 2 详解】
因为 a2n⋅2n=2n−1⋅2n ,
所以 Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−1×2n ,
2Tn=1×22+3×23+⋯+2n−3×2n+2n−1×2n+1,
两式相减得,
−Tn=21+2×22+2×23+⋯+2⋅2n−2n−1×2n+1
=2+8×1−2n−11−2−2n−1⋅2n+1
=3−2n⋅2n+1−6
所以 Tn=2n−3⋅2n+1+6,n∈N∗ .
17. 如图,在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AB1=BC1=CA1,AB1⊥BC1 .

(1)证明:三棱柱 ABC−A1B1C1 是正三棱柱；
(2)求 BB1AB 的值；
(3)若平面 α 满足 BC1⊂α ， AB1//α ，记平面 α∩ 平面 ABC=l ，求直线 l 与平面 AB1C 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见解析;
(2) 22 ；
(3) 105
【解析】
【分析】(1)由勾股定理结合 AB1=BC1=CA1 得到 AB=BC=CA ，证明出结论；
(2)作出辅助线，建立空间直角坐标系，设 AB=BC=CA=2,BB1=m ，求出点的坐标，根据 AB1⊥BC1 得到方程,求出 m=2 ,求出答案;
(3)先作出辅助线，找到平面 OBC1 即为平面 α,OB 即为直线 l ，从而求出平面的法向量，利用线面角的正弦公式进行求解.
【小问 1 详解】
直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧棱与底面垂直， A1A=B1B=C1C ，
由勾股定理得 AB1=AB2+B1B2,BC1=BC2+C1C2,CA1=AC2+A1A2 ,
又 AB1=BC1=CA1 ,所以 AB=BC=CA ,
故 △ABC 为等边三角形，三棱柱 ABC−A1B1C1 是正三棱柱；
【小问 2 详解】
取 AC 的中点 O,A1C1 的中点 F ,连接 OB,OF ,
因为 △ABC 为等边三角形，故 OB⊥AC ，又 OF//AA1 ，
所以 OF⊥ 平面 ABC ,以 O 为坐标原点, OB,OC,OF 所在直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系，
设 AB=BC=CA=2,BB1=m ，则 OA=OC=1 ，
由勾股定理得 OB=AB2−OA2=3 ,
则 A0,−1,0,B13,0,m,B3,0,0,C10,1,m ,
AB1=3,1,m,BC1=−3,1,m,
因为 AB1⊥BC1 ,所以 AB1⋅BC1=3,1,m⋅−3,1,m=−3+1+m2=0 , 解得 m=2 ,负值舍去,
故 BB1AB=22 ;
【小问 3 详解】
连接 B1C ,交 BC1 于点 E ,连接 OE,OC1 ,则 OE//AB1 ,
因为 OE⊂ 平面 OBC1,AB1⊄ 平面 OBC1 ,所以 AB1// 平面 OBC1 ,
且 BC1⊂ 平面 OBC1 ,所以平面 OBC1 即为平面 α ,
记平面 α∩ 平面 ABC=l ,故 OB 即为直线 l ,

C0,1,0,AB1=3,1,2,AC=0,2,0,OB=3,0,0,
设平面 AB1C 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AB1=x,y,z⋅3,1,2=3x+y+2z=0n⋅AC=x,y,z⋅0,2,0=2y=0 ,
解得 y=0 ,令 x=2 ,则 z=−3 ,所以 n=2,0,−3 ,
设直线 l 与平面 AB1C 夹角为 θ ，
则 sinθ=cs⟨OB,n⟩=OB⋅nOB⋅n=3,0,0⋅2,0,−33×2+0+3=105 ,
直线 l 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 105 .
18. 如图 1,在平行四边形 ABCD 中, AB=2BC=4,∠ABC=60∘,E 为 CD 的中点. 将 △ADE 沿 AE 折起,使得平面 ADE⊥ 平面 ABCE ,连接 BD 与 CD ,如图 2,设 BF=λBD0≤λ≤1 .

图 1

图2
(1)判断四棱锥 D−ABCE 的顶点是否都在同一个球的球面上？若在，求出这个球的表面积；若不在， 说明理由;
(2)在图 2 中，若 AF// 平面 CDE ，求 λ 的值；
(3)在图 2 中，若平面 AEF 与平面 ABCE 的夹角的余弦值为 255 ，求 λ 的值.
【答案】(1)存在; 52π3
(2)0 (3) 12
【解析】
【分析】(1)以点 E 为坐标原点,建立空间直角坐标系,用方程的思想求出球心的坐标,从而得出答案;
(2)求出平面 CDE 的法向量 n=3,3,−3 ，由 AF// 平面 CDE 得出 AF⊥n ，从而得出答案；
(3)分别写出平面 AEF 与平面 ABCE 的法向量，即可求出 λ .
【小问 1 详解】
连接 BE ,由题意得, AD=DE=2,∠ADE=60∘ ,
则 △ADE 为等边三角形， AE=AD=2 ，
在 △BCE 中， EC=2,BC=2,∠BCE=180∘−60∘=120∘ ，
由余弦定理得 BE2=BC2+EC2−2BC⋅ECcs∠BCE=4+4−2×2×2×−12=12 ,
所以 BE=23 ,由 BE=23,AE=2,AB=4 ,
则 AE2+BE2=AB2 ,故 BE⊥AE .
在平面 ADE 内过 E 作 EG⊥AE ,
由平面 ADE⊥ 平面 ABCE ,
且平面 ADE∩ 平面 ABCE=AE,EG⊂ 平面 ADE ,
则 EG⊥ 平面 ABCE,BE⊂ 平面 ADE ,则 EG⊥BE .
如图,以点 E 为坐标原点,以 EA,EB,EG 所在直线分别为 x,y,z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系 E−xyz ,

则 E0,0,0,A2,0,0,B0,23,0,C−1,3,0,D1,0,3 ,
设 △ADE 的外接圆圆心为 N ，取 AE 中点 H ，连接 DH ，则 DH⊥AE ，
易得 DH=3 ,故 NH=33,EH=1
过点 N 作平面 ADE 的垂线,则该垂线与直线 BE 平行,
若四棱锥 D−ABCE 存在外接球，则球心在该垂线上，故设球心 O1,y,33 ，半径长为 r
则 r=OA=1+y2+13,r=OB=1+y−232+13 ,
故 1+y2+13=1+y−232+13 ,解得 y=3 ,此时 O1,3,33
从而 r=OA=1+3+13=133 ,
故球的表面积为 4πr2=4π×133=52π3 ;
综上,四棱锥 D−ABCE 的顶点都在同一个球的球面上,这个球的表面积为 52π3 .
【小问 2 详解】
由(1)可得 AB=−2,23,0,BD=1,−23,3 ,
由 BF=λBD0≤λ≤1 ,
AF=AB+BF=AB+λBD=−2,23,0+λ1,−23,3=−2+λ,231−λ,3λ,
又 EC=−1,3,0,ED=1,0,3 ,
设平面 CDE 的法向量为 n=x,y,z ,
得方程组 n⋅EC=−x+3y=0n⋅ED=x+3z=0 ,令 y=3 ,则 x=3,z=−3
即 n=3,3,−3
若 AF// 平面 CDE ,则 AF⊥n ,
故 AF⋅n=3−2+λ+231−λ⋅3+3λ⋅−3=0 ,
解得 λ=0 ;
【小问 3 详解】
由(1)易得平面 ABCE 的一个法向量为 p=0,0,1 ,且 EA=2,0,0 ,
由(2)知 AF=−2+λ,231−λ,3λ
设平面 AEF 的法向量为 m=x0,y0,z0 ,
得方程组 m⋅EA=2x0=0m⋅AF=−2+λx0+231−λy0+3λz0=0 ,
令 y0=λ ,则 x0=0,z0=2λ−1 ,即 m=0,λ,2λ−1
由于平面 AEF 与平面 ABCE 的夹角的余弦值为 255 ,
则 255=cs⟨m,p⟩=m⋅pmp=2λ−1λ2+4λ−12 ,
解得: λ=12 .
19. 已知 a>0 ,函数 fx=a−xlnx .
(1)求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)证明 fx 存在唯一的极值点；
(3)若存在 a ，使得 fx≤a+b 对任意 x∈R+ 成立，求实数 b 的取值范围.
【答案】(1) y=a−1x−1
(2)证明见解析 (3) [−e,+∞)
【解析】
【分析】(1) 只需求得 f1=0,f′1=a−1 即可得解;
(2)只需证明当 a>0 时， y=f′x 存在唯一的变号零点，分离参数，转换为函数图象交点问题即可；
(3)存在 a∈0,+∞ ，使得 fx−amax≤b 成立，等价于 fx−amaxmin≤b ，利用导数分析函数单调性, 进一步求得最值即可得解.
【小问 1 详解】
因为 f1=a−1ln1=0 ,所以切点为 1,0 ,
因为 f′x=−lnx+a−xx ,所以切线斜率 k=f′1=a−1 .
所以切线方程为 y−0=a−1x−1 ,即 y=a−1x−1 .
【小问 2 详解】
因为 fx=a−xlnx ,所以 f′x=−lnx+a−xx=a−xlnx+1x,x>0 ;
令 f′x=0 ,得 a=xlnx+1 .
要证明当 a>0 时,函数 fx 存在唯一的极值点,
即证明当 a>0 时, y=f′x 存在唯一的变号零点,
即证明当 a>0 时,直线 y=a 与函数 y=xlnx+1 的图象只有一个交点.
令 gx=xlnx+1 ,则 g′x=lnx+2 . 令 g′x=0 ,得 x=e−2 .
当 x∈0,e−2 时, g′x0,gx 在 e−2,+∞ 上单调递增.
因为当 x→0 时, gx→0;ge−1=0 ; 当 00 时,直线 y=a 与函数 y=xlnx+1 的图象只有一个交点.
由上可知,当 a>0 时,函数 fx 存在唯一的极值点.
【小问 3 详解】
fx≤a+b 对任意 x∈0,+∞ 成立,等价于 fx−amax≤b .
由 (2) 可知,当 a>0 时,直线 y=a 与函数 y=gx 的图象只有一个交点.
令 gm=a ,则 m>e−1 ,且 f′m=a−mlnm+1m=a−gmm=0 ,
当 x∈e−1,m 时, a>gx ,则 f′x>0,fx 在 e−1,m 上单调递增;
当 x∈m,+∞ 时, ae−1 ,
存在 a∈0,+∞ ,使得 fx−amax≤b 成立,等价于 fx−amaxmin≤b .
设 hx=xlnx2−lnx−1,x>e−1 ,则 hxmin≤b .
因为 h′x=lnx2+lnx−2=lnx−1lnx+2,x>e−1 ,
当 x∈e−1,e 时, h′x0,hx 在 e,+∞ 上单调递增.
所以 hxmin=he=−e .
所以 hxmin=−e≤b ,所以实数 b 的取值范围是 [−e,+∞) .