福建省百校2026届高三上学期12月联合测评数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省百校2026届高三上学期12月联合测评数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．复数的实部为（ ）
A．B．C．3D．1
2．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（ ）
A．B．0C．1D．3
3．函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
4．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（ ）
A．3B．C．D．
6．如图，在边长为的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，BC，CA折起，使得点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥．若三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）
A．B．C．2D．
7．已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．已知函数是定义在R上且单调递减的奇函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的图象在点处的切线方程为
B．函数的最小值为1
C．当时，若，则
D．若且，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（ ）
A．椭圆的离心率相等B．椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等
C．D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则 ．
13．已知且，则的最大值为 ．
14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知是等差数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
16．如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面．
(1)请确定点P的位置；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知函数．
(1)求函数在区间上的值域；
(2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围．
18．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：．
19．设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是．
(1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围；
(2)当，时，证明：；
(3)在中，求的最大值．
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以复数的实部为.
故选：C
2．D
【详解】由，即，解得，
所以，
则，
又，“”是“”的充分不必要条件，
所以真包含于，
所以，结合选项可知D正确.
故选：D
3．B
解：函数f（x）=x+lnx﹣2在定义域上单调递增，
f（1）=1﹣2＜0，
f（2）=2+ln2﹣2＞0，
故函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是（1，2）；
故选B．
4．B
【详解】双曲线即，
又虚轴长为，所以，
则双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B
5．C
【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形，
所以，，
又，所以，
又，在中由余弦定理，
即.
故选：C
6．B
【详解】设三棱锥外接球的半径为，因为三棱锥的外接球的表面积为，
所以，解得，
依题意、、两两互相垂直，且，，
所以，即，解得（负值已舍去）.
故选：B
7．A
【详解】设等比数列的公比为，则，所以，
又，，所以，
，
当时，当时，所以当时，
所以当时正整数的最大值为.
故选：A
8．D
【详解】因为函数是奇函数，因此有，故.
，因为，故，
又因为，故，
综上，，又因为函数在R上单调递减，
故有，
即.
故选：D.
9．BD
【详解】对于A：因为，所以，故A错误；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为、，
所以，故D正确.
故选：BD
10．BC
【详解】.
对于A：，故函数的图象在点处的切线方程为，
整理得，故A错误；
对于B：易知与均在上单调递增，
故在上单调递增，又因为，
故当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
因此在处取得最小值，，因此函数的最小值为1，故B正确；
对于C：由B可知，在上单调递增，而，
故由可得，
在平面直角坐标系中绘制出与，结合图象可知，
两个函数交于点与点，
且当时，；当时，；当时，.
因此，结合图象，由，可解得，故C正确；
对于D：要证，即证，又因为在上单调递增，故即证，
又因为，故即证.
构造函数，
则，当且仅当时，等号成立，
因此，即在上单调递增.
又因为，故当时，，即.
又因为，故，无法得出，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】
对于A：设椭圆，的离心率分别为，由椭圆离心率公式可知，
，，故A正确；
对于B：由题可知，椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，故B正确；
对于C：设直线，联立方程，
得，得，故；
联立方程，得，解得，
故，
因此，故C错误；
对于D：易知，椭圆的焦距，椭圆的焦距，故，则.
，
，因此有，即.
同理可证得，即，
因此可得.
，
，故D正确.
故选：ABD.
12．/0.5
【详解】因为向量，，所以.
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：.
13．
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
14．
【详解】设，由可得，
两边平方后，整理得，
因此，点 P 的轨迹是以 为圆心，半径的圆.
故直线上存在点满足等价于圆与直线有交点，
因此圆心到直线的距离，两边平方后，
整理得，解得或.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得 ，
有，故数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式作差得，
所以.
16．(1)；
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
设，则，，
因为平面，所以，，
故，
解得，
所以点P的坐标为；
（2），，
设平面的一个法向量为，
则，
设得，故，
显然平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角的大小为，
则，
所以，
故平面与平面的夹角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）函数．
所以.
因为，所以，所以.令，
根据二次函数的性质，在上单调递减，所以.
因为，.
所以在区间上的值域为.
（2）令，则，所以.
列出零点为，
因为函数在区间上有4个零点，
所以，解得.
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
由点在抛物线上，所以，可得，
又，则，所以，可得，
故抛物线的标准方程为.
（2）（ⅰ）由（1）可得，准线方程为，
由点在抛物线上，有，
当时，解得，不妨取，此时的角平分线为，
令可得，即，此时，同理取也可得到；
当时，可得直线的方程为，
又由的角平分线与轴交于点，可得，且点到轴的距离与到直线 的距离相等.
可得，有，
有，有，
有，有或，
可得或，
又由，可得，故；
综上可得；
（ⅱ）当时取，此时，所以的方程为，即，
由，解得，即，显然满足；
当时，由（ⅰ）可得，可得直线的方程为，整理为；
又由抛物线的准线方程为，代入到直线的方程，可得，
可得点的坐标为；
直线的斜率，
又由，所以；
综上可得.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，
则，
所以对任意的恒成立，
所以，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
因此实数的取值范围是.
（2）令，则，
所以，所以函数为上的下凸函数，
则，即，
整理得.
（3）令，其中，则，
所以，
所以函数为上的下凸函数，
又由，，有，
即，即，
所以，
又由，所以，
所以
，
又由，有，则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的增区间为，减区间为，
故，
又由，有，有，
故.