华东师大版（2024）八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.3 等腰三角形2. 等腰三角形的判定课后测评

这是一份华东师大版（2024）八年级上册（2024）第12章 全等三角形12.3 等腰三角形2. 等腰三角形的判定课后测评，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练内容：等腰三角形的判定
一、单选题（每小题3分，共36分）
1．下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
2．如图，平分，过D作交于点E，若，则（ ）
A．2B．1C．3D．6
3．如图，在△ABC中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．8个B．7个C．6个D．5个
第5题图
第4题图
第3题图
第2题图
4．如图，在△ABC中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（ ）
A．2B．3C．6D．9
5．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
6．如图，把△ABC以点为中心逆时针旋转得到△ADE，点的对应点分别是点，且点在的延长线上，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是等腰三角形
C．D．
7．如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（ ）
A．8B．10C．15D．20
第7题图
第6题图
第9题图
第8题图
8．如图，已知，，，，那么下列结论中错误的是
A．B．C．D．
9．如图，，若，则的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在△ABC中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
第12题图
第11题图
第10题图
12．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．如图，已知交于E，且，则 ．
14．如图，在△ABC中，平分平分，且交于M，若，则 ．
第15题图
第14题图
第13题图
第16题图
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里．
16．如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 .
三、解答题（共72分）
17．（10分）如图，，．
(1)若，，则_________；
(2)求证：是等腰三角形．
18．（12分）如图，点、、、在同一条直线上，，，，与相交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
19．（12分）如图，△ABC是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
20．（12分）如图，已知△ABC，过点的直线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）．
(2)若（1）中所作的角平分线与直线交于点．求证：．
21．（12分）如图，在△ABC中，是的平分线，且．
(1)求证：．
(2)当，时，求的度数．
22．（14分）综合与实践
为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如表：
(1)第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段______的长度；
(2)第二小组测得米，请你帮他们求出河宽；
(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案
观察者从点向东走到点，此时恰好测得．
观测者从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得．
观测者从点向南走到点，再沿着南偏东的方向走到点，在上取点，使，测得，．
测量示
意图
12.3.2 等腰三角形的判定（一）
同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
参考答案
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意；
C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意；
D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是通过角平分线与平行线的性质推出等角，进而判定等腰三角形．
由平分得，结合得，从而，判定为等腰三角形，得．
【详解】解：∵ 平分，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．
根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可．
【详解】解析:∵，
∴
∵是角平分线，
∴，
∴．
∴．
同理，．
∴．
∴．
同理，．
∴．
∴等腰三角形有，共8个．
故选：A．
4．B
【分析】该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解．
【详解】解：∵和的平分线分别交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵的周长，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．
利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论．
【详解】解：第三个内角的度数为，
，
∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质分析，即可解答．
【详解】解：∵把以点为中心逆时针旋转得到，则，故A正确
∴，即是等腰三角形，故B正确
∴，
∴，故C错误
∵旋转
∴
∴，故D正确
故选：C．
7．B
【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
先由三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质即可判断A、B、D，然后由三角形的外角性质得到，故，即可判断C．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，，
故A、B、D正确，不符合题意，
∵，
∴，
∴，
故C错误，符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵的周长为，
∴，
∴，
即，
故选：．
11．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵的平分线相交于点D，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴共有5个等腰三角形：．
故选：C．
12．D
【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案．
【详解】解：如图所示：
使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个，
故选：D．
13．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．10
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出，是解决本题的关键．
根据题意得出，确定，再由等角对等边即可求解．
【详解】解：平分平分
∵，
，，
，
，．
，
故答案为：10．
15．90
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键．
根据已知条件求得，，即可得到，即可得解．
【详解】由题可得：海里，
点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处，
，，
是等腰三角形，
海里；
故答案是．
16．13
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为．
由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
的周长为20，
，
，
．
故答案为：13．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，三角形的全等证明是正确解答本题的关键．
（1）先证明，再利用三角形内角和定理计算；
（2）借助（1）中的全等三角形得到等角，进行判定．
【详解】（1）解：在和中，
，
，
在中，，
．
（2）由（1）知，，
，
即，
，
是等腰三角形．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，可得，即可求证；
（2）根据题意可得．再由（1）得：，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，即．
，
和是直角三角形．
在和中，
，
，
∴，
是等腰三角形．
（2）解：，
．
由（1）得：，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论；
（2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解∶ ∵，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由等角对等边可证明．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由是的平分线可知，根据平行线的性质得出， 证明，根据等腰三角形的判定得出；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可．
【详解】（1）证明：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
，
∵，
∴．
22．(1)；
(2)米；
(3)第三小组的方案可行，证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据题意易证是等腰直角三角形，即可作答；
（2）由题意可知，，利用三角形外角的性质，得出，进而得到，即可得解；
（3）由题意可知，，利用三角形内角和定理，得到，进而证明，得到，从而推出即可．
【详解】（1）解：∵恰好在的正北方向，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段的长度，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米；
（3）解：第三小组的方案可行，证明如下：
由题意可知，，
∵，．
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴第三小组的方案可行．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
C
C
B
C
A
C
题号
11
12








答案
C
D