4.4.2已知两边与夹角或两角与夹边作三角形（教学课件）湘教版2025-2026学年八年级数学上册

4.4.2 已知两边与夹角或两角与夹边作三角形教学幻灯片分页内容第 1 页：标题页标题：4.4.2 已知两边与夹角或两角与夹边作三角形副标题：初中数学 [对应年级]授课教师：[教师姓名]日期：[授课日期]第 2 页：复习引入复习回顾：上节课我们学习了尺规作图的基本方法，包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角以及作已知角的平分线，这些基本作图是复杂作图的基础。问题提出：在实际几何问题中，我们常常需要根据给定的条件作出三角形。如果已知三角形的两边及其夹角，或者两角及其夹边，如何用尺规准确作出这个三角形呢？这就是我们今天要学习的内容。学习意义：掌握已知两边与夹角、两角与夹边作三角形的方法，能进一步提升我们的尺规作图能力，加深对三角形全等判定定理的理解和应用。第 3 页：学习目标知识目标：掌握 “已知两边及其夹角作三角形” 的尺规作图方法；掌握 “已知两角及其夹边作三角形” 的尺规作图方法；理解两种作图方法的依据和原理。能力目标：通过动手操作，提高规范作图的能力和空间想象能力；能运用所学作图方法解决相关几何问题，培养逻辑推理能力。情感目标：在作图过程中感受几何的严谨性和逻辑性，体会数学知识的实用性，激发对几何学习的兴趣和探究热情。第 4 页：知识点 1—— 已知两边及其夹角作三角形已知：线段\(a\)、\(b\)和\(\angle \alpha\)（给出线段\(a\)、\(b\)和\(\angle \alpha\)的图形）。求作：\(\triangle ABC\)，使\(AB = a\)，\(\angle BAC=\angle \alpha\)，\(AC = b\)。作图步骤：作射线\(AD\)（确定三角形的一个顶点和一条边的方向）。用圆规在射线\(AD\)上截取\(AB = a\)（确定边\(AB\)）。以点\(A\)为顶点，以\(AD\)为一边，利用作一个角等于已知角的方法，作\(\angle DAE=\angle \alpha\)（确定角\(\angle BAC\)）。在射线\(AE\)上，用圆规截取\(AC = b\)（确定边\(AC\)）。连接\(BC\)（完成三角形的作图）。\(\triangle ABC\)即为所求作的三角形。图形演示：分步展示作图过程，标注关键点\(A\)、\(B\)、\(C\)的位置和线段、角的对应关系。第 5 页：例题 1—— 已知两边及其夹角作三角形例 1：已知线段\(m = 3cm\)，\(n = 4cm\)，\(\angle \beta=60^{\circ}\)，求作\(\triangle DEF\)，使\(DE = m\)，\(\angle EDF=\angle \beta\)，\(DF = n\)。解析：已知：线段\(m = 3cm\)，\(n = 4cm\)，\(\angle \beta=60^{\circ}\)。求作：\(\triangle DEF\)，其中\(DE = 3cm\)，\(\angle EDF=60^{\circ}\)，\(DF = 4cm\)。作法：作射线\(DG\)。在射线\(DG\)上截取\(DE = 3cm\)。以点\(D\)为顶点，以\(DG\)为一边，作\(\angle GDH=60^{\circ}\)。在射线\(DH\)上截取\(DF = 4cm\)。连接\(EF\)，\(\triangle DEF\)即为所求作的三角形。依据说明：作图依据是全等三角形的 “边角边”（SAS）判定定理，通过确定两边及其夹角，唯一确定三角形的形状和大小。第 6 页：知识点 2—— 已知两边及其夹角作图的依据原理分析：已知两边及其夹角作三角形时，由于两边的长度和夹角的大小是确定的，根据全等三角形的 “边角边”（SAS）判定定理，这样的三角形是唯一确定的，因此按照上述步骤作出的三角形是符合条件的唯一三角形。验证方法：可以通过测量作出的三角形的第三边长度和另外两个角的度数，与根据已知条件计算出的结果进行对比，验证作图的准确性。也可以用叠合法，将作出的三角形与按照相同条件作出的另一个三角形重叠，观察是否完全重合。第 7 页：知识点 3—— 已知两角及其夹边作三角形已知：\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)和线段\(a\)（给出\(\angle \alpha\)、\(\angle \beta\)和线段\(a\)的图形）。求作：\(\triangle ABC\)，使\(\angle A=\angle \alpha\)，\(AB = a\)，\(\angle B=\angle \beta\)。作图步骤：作线段\(AB = a\)（确定三角形的夹边\(AB\)）。以点\(A\)为顶点，以\(AB\)为一边，利用作一个角等于已知角的方法，作\(\angle BAD=\angle \alpha\)（确定角\(\angle A\)）。以点\(B\)为顶点，以\(BA\)为一边，同样利用作等角的方法，作\(\angle ABE=\angle \beta\)（确定角\(\angle B\)），射线\(AD\)和\(BE\)相交于点\(C\)。\(\triangle ABC\)即为所求作的三角形。图形演示：分步展示作图过程，标注射线的交点\(C\)和各角、边的对应关系。第 8 页：例题 2—— 已知两角及其夹边作三角形例 2：已知\(\angle \gamma=30^{\circ}\)，\(\angle \delta=60^{\circ}\)，线段\(c = 5cm\)，求作\(\triangle MNP\)，使\(\angle M=\angle \gamma\)，\(MN = c\)，\(\angle N=\angle \delta\)。解析：已知：\(\angle \gamma=30^{\circ}\)，\(\angle \delta=60^{\circ}\)，线段\(c = 5cm\)。求作：\(\triangle MNP\)，其中\(\angle M=30^{\circ}\)，\(MN = 5cm\)，\(\angle N=60^{\circ}\)。作法：作线段\(MN = 5cm\)。以点\(M\)为顶点，以\(MN\)为一边，作\(\angle NMQ=30^{\circ}\)。以点\(N\)为顶点，以\(NM\)为一边，作\(\angle MNR=60^{\circ}\)，射线\(MQ\)和\(NR\)相交于点\(P\)。\(\triangle MNP\)即为所求作的三角形。依据说明：作图依据是全等三角形的 “角边角”（ASA）判定定理，通过确定两角及其夹边，唯一确定三角形的形状和大小。第 9 页：知识点 4—— 已知两角及其夹边作图的依据原理分析：已知两角及其夹边作三角形时，因为两角的大小和夹边的长度是确定的，根据三角形内角和定理，第三个角的大小也随之确定，再结合全等三角形的 “角边角”（ASA）判定定理，这样的三角形是唯一确定的，所以按照上述步骤作出的三角形符合条件。验证方法：测量作出的三角形的另外两条边的长度和第三个角的度数，与根据已知条件计算出的结果对比；或者将作出的三角形与相同条件下的另一个三角形叠合，观察是否完全重合。第 10 页：知识点 5—— 两种作图方法的对比作图类型已知条件关键步骤作图依据已知两边及其夹角两边长度、夹角大小作一边→作夹角→作另一边→连接第三边SAS 全等判定定理已知两角及其夹边两角大小、夹边长度作夹边→分别作两角→两射线交点为第三顶点ASA 全等判定定理相同点：两种作图方法都能唯一确定三角形的形状和大小，作图过程都依赖于基本尺规作图（作等长线段、作等角）。不同点：已知条件不同，关键步骤中确定元素的顺序不同，依据的全等判定定理不同。第 11 页：例题 3—— 综合应用作图方法解决问题例 3：已知线段\(a\)，求作一个等腰直角三角形，使它的一条直角边等于线段\(a\)。解析：已知：线段\(a\)。求作：等腰直角三角形\(\triangle ABC\)，使\(\angle C=90^{\circ}\)，\(AC = BC = a\)。作法：作射线\(CD\)。在射线\(CD\)上截取\(AC = a\)。以点\(C\)为顶点，以\(CD\)为一边，作\(\angle DCE=90^{\circ}\)。在射线\(CE\)上截取\(BC = a\)。连接\(AB\)，\(\triangle ABC\)即为所求作的等腰直角三角形。分析：本题可看作已知两边（直角边\(AC = BC = a\)）及其夹角（直角\(\angle C=90^{\circ}\)）作三角形，应用 “已知两边及其夹角作三角形” 的方法完成作图。第 12 页：课堂练习练习 1：已知线段\(x = 2cm\)，\(y = 3cm\)，\(\angle \theta=45^{\circ}\)，求作\(\triangle ABC\)，使\(AB = x\)，\(\angle BAC=\angle \theta\)，\(AC = y\)。练习 2：已知\(\angle 1=50^{\circ}\)，\(\angle 2=70^{\circ}\)，线段\(m = 4cm\)，求作\(\triangle DEF\)，使\(\angle D=\angle 1\)，\(DE = m\)，\(\angle E=\angle 2\)。练习 3：已知一个角和这个角的两边，能否用尺规作出这个角所对的三角形？说明理由。第 13 页：知识总结已知两边及其夹角作三角形：按 “作一边→作夹角→作另一边→连接第三边” 的步骤进行，依据 SAS 定理。已知两角及其夹边作三角形：按 “作夹边→作两角→定第三顶点” 的步骤进行，依据 ASA 定理。作图关键：准确运用基本尺规作图方法（作等长线段、作等角），规范操作每一步骤，确保图形准确。原理核心：两种作图方法均基于全等三角形的判定定理，保证作出的三角形唯一且符合条件。第 14 页：课后作业作业 1：已知线段\(a = 3cm\)，\(b = 5cm\)，\(\angle \alpha=90^{\circ}\)，求作\(\triangle ABC\)，使\(AB = a\)，\(\angle ABC=\angle \alpha\)，\(BC = b\)。作业 2：已知\(\angle A=60^{\circ}\)，\(\angle B=60^{\circ}\)，线段\(AB = 4cm\)，求作\(\triangle ABC\)，并判断它是什么三角形。作业 3：尝试用尺规作图法作一个三角形，使它的两边长分别为\(3cm\)和\(4cm\)，夹角为\(120^{\circ}\)，并测量第三边的长度。2025-2026学年湘教版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 掌握用尺规作一个角等于已知角（基础作图）； 2. 能用尺规作出已知两边夹角、两角夹边的三角形； 3. 体会、思考作图的依据和合理性，能说出作图步骤； 4. 学会交流作图方法和经验，取长补短，增强合作意识. 上节课用尺规作图：已知三边作三角形、已知底边及底边上的高作等腰三角形、作一个角的平分线，其中用到了哪些基础作图的方法？作一条线段等于已知线段作一条线段的垂直平分线你能说出这两种基础作图的作图步骤吗？ 已知两边夹角、两角夹边、两角及其中一角的对边作三角形，除了要作出三角形的边，还要作出三角形的角，怎样用尺规作出这些三角形呢？如何作一个角等于已知角？如图，已知∠AOB，求作一个角，使它等于∠AOB.☀作一个角等于已知角①作射线O′A′；②以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA，OB于点C，D；③以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′ 于点C′；作 法：④以C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于点D′；⑤过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′为所求作的角.DCB′O′A′D′C′运用所学知识，请说一说：为什么∠A′O′B′为所求作的角.由作法可知，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，∴ △COD≌△C′O′D′，从而∠AOB=∠A′O′B′.如图，已知∠α和线段a， c.求作△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=c.☀已知两边及其夹角作三角形NMBCA已知∠α，∠β和线段a.求作△ABC，使∠ABC=∠α， ∠ACB=∠β， BC=a. ☀已知两边及其夹角作三角形αβaBCDEA1. 如图，作∠A′O′B′等于∠A′O′B′，其中一步以为C′圆心画弧，其半径长应截取线段 的长。CD A  返回     则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( )A. ①B. ②C. ③D. ④B 返回       返回4.［2025三明期末］如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”.         返回1.在2.6节我们用到的基本作图有哪些？作一条线段等于已知线段。作已知线段的垂直平分线。作已一个角等于已知角。2.你能说出作一个角等于已知角、已知两边夹角、两角夹边作三角形的作图步骤吗？必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！