福建省漳州市芗城区厦门大学附属实验中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省漳州市芗城区厦门大学附属实验中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（共40分）
1. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，是正比例函数，不符合题意；
B、，是一次函数，不符合题意；
C、，是反比例函数，符合题意；
D、，不是反比例函数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的识别，熟练掌握反比例函数的定义：形如，这样的函数叫做反比例函数，是解题的关键．
2. 如图，，，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A
3. 如图，反比例函数与正比例函数相交于点和点，则点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与正比例函数图像交点问题，根据反比例函数与正比例函数相交于点，得到反比例函数与正比例函数的解析式，再联立方程组求解，即可得到点坐标．
【详解】解：∵反比例函数与正比例函数相交于点，
∴点在反比例函数与正比例函数图像上，满足函数解析式，
∴将代入到，得到；
同理将代入到，得到，
联立方程组
解得，，．
故选：A
4. 已知的半径为6，点A为平面内一点，，那么点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在内B. 点A在外C. 点A在上D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由于点A到圆心的距离8大于圆的半径6，从而可判断点A在⊙O外．
【详解】解：∵的半径为6，，
∴点A到圆心的距离大于圆的半径，
∴点A在外．
故选：B．
5. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解是解题的关键．
【详解】解：在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故选C．
6. 如图，已知点、点是同一幢楼上两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°
【答案】B
【解析】
【分析】如图，标注字母，由题意得： 证明 再利用 从而可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，由题意得：



故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
7. 如图，的半径为13，弦，于点，则的长为（ ）
A. 10B. 6C. 5D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴由勾股定理可得：
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．
8. 已知函数是二次函数，则等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可．
【详解】解：根据二次函数定义，得：，且，
解得，
故选：B．
9. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在直角三角形中，根据正切的意义可求解．
【详解】解：如图，

在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
10. 如图，在矩形中，点在上，若且，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别以，为直角边作等腰和等腰，判定，即可得到的长．
【详解】解：如图，分别以，为直角边作等腰和等腰，

依题意得，
，
，
，
,
即
解得：（负值舍去），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，作辅助线构造等腰直角三角形以及相似三角形是解决问题的关键．
二、填空题（共24分）
11. 如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点坐标是_____________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，掌握其对称轴的计算方法是解题的关键．
设另一个交点的横坐标为，根据中点横坐标的计算方法“”即可求解．
【详解】解：根据图示可知，对称轴为，一个交点为，
∴设另一个交点的横坐标为，
∴，
解得，，
∴另一个交点的坐标为，
故答案为：．
12. 如图点是反比例函数的图象上的一点，过作轴，垂足为．已知面积为3，则这个反比例函数的关系式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查已知图形面积，求反比例函数的解析式．根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：面积为，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴，
∴解析式为：；
故答案为：．
13. 已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为__________
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据坡度等于坡角的正切值，结合特殊角的三角函数值，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
14. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米；

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，，
（米），
即此时主持人与点A的距离为米，
故答案为：．
15. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ________．

【答案】##35度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
16. 抛物线（是常数）的顶点在第四象限，且． 下列四个结论：
①；
②；
③若，则当时，随的增大而增大；
④若抛物线的顶点为，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是__________．（填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①抛物线（a、b、c是常数）的顶点在第四象限， 可得抛物线开口向上， 可判断①符合题意． ②由， 可得， 可判断②符合题意． ③求解， 可得当时，随的增大而增大，错误，判断③不符合题意． ④抛物线的顶点为，可得有两个相等的实数根，证明，可得有两个不相等的实数根，判断④符合题意．
【详解】解：①抛物线（a、b、c是常数）的顶点在第四象限，
∴，
∵，
∴图象经过，
∴抛物线开口向上，
∴， ∴，故①符合题意．
②∵，
∴，
∴，故②符合题意．
③∵，
∴， ∴，
∴当时，随的增大而增大，错误，故③不符合题意．
④∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴有两个相等的实数根，
∵，
∴，
∴，
∵，
整理得：，而函数图象开口向上，
∴有两个不相等的实数根，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
三、解答题（共86分）
17. （1）解方程：
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）6
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数的混合运算；
（1）利用因式分解法解即可；
（2）利用特殊角三角函数值计算即可．
【详解】解：（1）原方程可化为：，
即或，
所以；
（2）
．
18. 中，，如果，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可．
【详解】解：中，，
∴，
∵，
∴，
∴
19. 为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：

（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数解析式；
（2）当空气中每立方米含药量不低于6毫克且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】（1）
（2）此次消毒有效，理由见解析
【解析】
【分析】（1）待定系数法先求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法，求出正比例函数的解析式即可；
（2）求出时对应的两个自变量的值，进而求出含药量不低于6毫克的时间，进行判断即可．
【小问1详解】
解：设药物释放完毕后，与的解析式为：，
由图可知：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设药物释放过程中，与的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
综上：；
【小问2详解】
有效，理由如下：
当时，，解得：；，解得：，
∴空气中每立方米含药量不低于6毫克的时间为：；
∵，
∴此次消毒有效．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式．
20. 在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2：1，点C的对应点的坐标是________．
（2）求的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了三角形的相似，作位似图形，求网格中图形的面积；
（1）按要求作出符合条件的位似图即可，根据作出的图形即可写出顶点的坐标；
（2）利用割补法即可求得三角形的面积．
【小问1详解】
解：所画的位似图形如下：
点的坐标是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：．
21. 如图，海中有一个小岛P，它的周围9海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东方向上，航行6海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【答案】有触礁危险．理由见解析
【解析】
分析】过点P作，设，根据题意得出，，列出方程求解x，再于9进行比较，即可得出结论．
【详解】解：过点P作于，
设，
∵，，
，
∴，，
即，，
∵，，
∴，解得：，
∵，
∴有触礁危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
22. 已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，，，根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．
【详解】证明：连接，，．

，
．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键．
23. 用一条长的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为．
（1）若围成的矩形面积为，求的值；
（2）当为何值时围成的矩形面积最大，最大面积是多少？
【答案】23. 的值为或；
24. 当时，面积最大，最大面积为．
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程及二次函数的应用，
（1）首先表示矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案；
（2）利用二次函数最值求法得出答案．根据题意表示出矩形的面积是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得：另一边长为：，设矩形的面积为
则，
当时，，
解得：，
∴的值为或；
【小问2详解】
由题意可得：，
故当为时，矩形面积最大，最大面积为：．
24. 如图，在中，，，是边上的一个动点（不与，重合），是由线段绕点顺时针旋转得到，连接，．

（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据等腰三角形的性质可得，再通过角度和差即可求解；
（）利用，得出对应边成比例，则可证明，再由相似三角形对应角相等即可；
（）在线段上截取连接，可证，则有，利用，可得出；
此题考查了相似三角形的性质和判定以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴；
【小问2详解】
设与交于点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
，理由：
在线段上截取连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 如图1，抛物线与x轴于交，两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上一个动点，过点D作于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线（直线除外）与抛物线交于J，I两点，直线分别交x轴于点M，N. 试探究是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）线段的最大值，此时D点坐标为
（3）8
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）过点D作轴于点F，交于点G，则轴，得为等腰直角三角形，求出直线解析式为，设点D坐标为，列得，当时，最大，此时，，线段的最大值；
（3）由翻折得抛物线的解析式为，可设直线JI的解析式为，直线FJ的解析式为，当时，，得，，同理可求：，故的定值为8
【小问1详解】
解： 抛物线经过点，
抛物线的解析式为
【小问2详解】
如图1，过点D作轴于点F，交于点G，则轴，

图1
抛物线解析式为
∵轴
为等腰直角三角形
，
设直线解析式为
解得，，，
直线解析式为
设点D坐标为
点G坐标为
当时，最大，此时，
线段的最大值，此时D点坐标为；
【小问3详解】
是定值，理由如下：
将抛物线沿y轴翻折得到抛物线
的解析式为
直线JI经过，
可设直线JI的解析式为
、I在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，

设直线FJ的解析式为，则有
解得，
直线FJ的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
故的定值为8