湖南省衡阳市第一中学2026届高三上学期第一次月考 数学试卷（含答案）

这是一份湖南省衡阳市第一中学2026届高三上学期第一次月考 数学试卷（含答案），共16页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知全集为，且集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】，所以，
或，所以，.
故选：C
2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由可得：，
当时，，所以，
则的取值范围为，
满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集,
故其一个充分不必要条件是：.
故选:C.
4. 定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ）
A. 1B. －1C. 0D. 2
【答案】A
【详解】因为函数满足，
所以，即①.
又因为为奇函数，所以，
即②.
由①②知，所以，
即，
所以函数的一个周期为，所以，
因为时，，所以，
所以.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由，得，
所以，
又因为，所以，
所以.
故选：C.
6. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ）
A. 1B. C. －4D. 1或－4
【答案】C
【详解】因为双曲线的焦点在y轴上，
所以，，所以，即
又双曲线两条渐近线互相垂直，所以，
即，解得或（舍）.
故选：C.
7. 如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】B
【详解】，
因为，，所以，
又，，三点共线，所以.
由于，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为.
故选：B
8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，
则球心到圆锥底面圆心距离，
由，得，圆锥的体积，
求导得，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称
【答案】ACD
【详解】依题意可得，
因为，故A正确；
，故B错误；
由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.
故选：ACD
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为B.
C. (为坐标原点)D. 当取最小值时，
【答案】ABD
【详解】
依题意，设直线，，，
联立得，则，，
则，解得或，则，或，，
则直线的斜率为.故A正确；，
当且仅当时等号成立.故B正确；
因为，所以，故C错误；
，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，，
当且仅当时取等号，此时，故D正确.
故选：ABD
11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，所以，
故，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C,，，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)．
【答案】
【详解】的展开式的通项公式为，
所以展开式中第2项的系数为，第2项的二项式系数为，
所以，解得．
令，二项式展开式中的所有项的系数之和为.
故答案为：.
13. 现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有__________种(用数字作答)．
【答案】14
【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则组合为：“1+3”和“2+2”两类；
（1）若为“1+3”组合，将4名同学分为两组，一组1人，另一组3人，有种分组方式；
将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
（2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组2人，另一组也为2人，有种分组方式；
将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种；
由分类加法计数原理，则不同的报名方式有8+6=14种.
故答案为：14
14. 对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，
当时，，将其图象关于原点对称，
所得图象的解析式为.
所以只要射线与的图象有公共点即可，
由得，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，，且对任意的，，都有.
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，，
所以对任意的，，，即为定值，
所以数列是公差为2的等差数列，
据，，得，，
所以，解得，故，
所以
【小问2详解】
由（1）可知，，
所以当，，
，
又符合上式，所以
所以，
故
，
因为，，
所以
16. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【小问1详解】
的定义域为，
若，则，则在单调递减；
若，则由得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，
所以，，故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，则，
故有一个零点.
综上，的取值范围为.
17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
（1）求证：．
（2）求线段中点到平面的距离．
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存，
【小问1详解】
由于平面平面，平面平面，
且平面，
平面，
平面，．
【小问2详解】
取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以到平面的距离．
【小问3详解】
令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时．
18. 某公司有意在小明、小红、小强、小真这人中随机选取人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记分，通过复试考核记分，本次面试满分为分，且初试未通过者不能参加复试.
（1）若从这人中随机选取人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于分的概率；
（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件，
则，，，
【小问2详解】
的可能取值为，
故，，
，，
，.
故的分布列为：
则.
19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）证明：的面积为定值；
（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，即，
由点在上，得，联立解得，
所以的方程为.
【小问2详解】
设，则，
由消去并整理得，
，，
，
所以的面积为定值.
【小问3详解】
由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为，
当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，，
当时，由共线，得，即，
整理得，而
，当且仅当时取等号，，
所以直线在轴上的截距的最小值为.
0
6
10
12
16
20