2025-2026学年江苏省南通市如皋市如皋初级中学九年级（上）第三次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南通市如皋市如皋初级中学九年级（上）第三次月考数学试卷-自定义类型，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对于二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 顶点坐标是（﹣1，2）
C. 对称轴是x=1D. 与x轴有两个交点
2.对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
4.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验（如图甲），解释了小孔成像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小轩记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图乙）：像距为，物距为，蜡烛烛焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，则的长约为（ ）（参考数据：）
A. B. 4C. 5D. 20
6.如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，一枚自制小火箭从发射点处发射，身高为1.6米的小明在离发射点距离的处，当小火箭到达点时，小明测得此刻的仰角为，则这枚小火箭此时的高度是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．若轴，轴，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
10.如图边长为4的正方形中，为边上一点，且，为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为（）
A. B. 4C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知抛物线经过两点，则t的值为 ．
12.在中，若，则是 三角形．
13.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为 ．
14.如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，线段经过原点，以为边作等边，反比例函数恰好过点B，则k的值为 ．
16.如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为 ；当时，线段的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.
(1) 计算：tan60°﹣2cs30°+ sin45°；
(2) 已知Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°，BC=，解这个直角三角形．
18.(本小题8分)
如图，在中，平分交于点，．
(1) 求证：．
(2) 若，，求的长．
19.(本小题8分)
已知二次函数(是常数)的图象是抛物线．
(1) 若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标．
(2) 若抛物线的顶点在轴上，则 ；
(3) 若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ．
20.(本小题8分)
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 求的面积；
(3) 点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
21.(本小题8分)
如图，是的外接圆，直径，垂足为点F，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，的半径为5，求的长．
22.(本小题8分)
如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
(1) 求无人机的高度（结果保留根号）；
(2) 求的长度（结果精确到1 m）．（参考数据：，，，）
23.(本小题8分)
如图，已知平行四边形的三个顶点、、在以为圆心的半圆上，过点作，分别交、的延长线于点、，交半圆于点，连接．
(1) 判断直线与半圆的位置关系，并说明理由；
(2) ①求证：；若半圆的半径为，求阴影部分的面积．
24.(本小题8分)
综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动．
【问题探究】
如图①，为的角平分线，求证．
【问题解决】
(1) 你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由；
(2) 如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长；
(3) 如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长．
25.(本小题8分)
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.
(1) 若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式；
(2) 求证：am＋b＝0；
(3) 若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3 a，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】等边
13.【答案】15
14.【答案】54
15.【答案】
16.【答案】4
​​​​​​​

17.【答案】【小题1】
tan60°﹣2cs30°+ sin45°
＝﹣2×，
＝﹣+1
＝1；
【小题2】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，AB＝2BC＝2，
∵tanA＝，
∴＝，
∴AC＝3，
∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝2．

18.【答案】【小题1】
证明：如图，，
，
平分交于点，
，
，
，
∽．
【小题2】
解：如图，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：∵图象经过点，代入
∴
解得：
∴二次函数的解析式为
∴顶点坐标为
【小题2】
∵，抛物线的顶点在轴上，
∴，
解得
故答案为：或．
【小题3】
​​​​​​​

20.【答案】【小题1】
将代入中，得，
反比例函数的表达式为
在的图象上，，即
将、坐标代入得
，解得：．一次函数表达式为：．
【小题2】
设直线与轴交于点，则点为，
．
【小题3】
，
设P（x，0）．
当AO=OP=时，点在轴上，
点为或
当AO=AP=时，
， x=-6或0（舍去）
点为，
当OP=AP时，
，；
点为
综上所述，符合条件的点P的坐标是，，，．

21.【答案】【小题1】
证明：∵直径，
∴，
∴；
【小题2】
解：连接，
∵，，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵直径，
∴．

22.【答案】【小题1】
【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴，
∴AC=120(m)，
答：无人机的高度AC=；
【小题2】
（2）根据题意得：DE=8(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴，
∴EF=(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)，
答：AB的长度为243m．

23.【答案】【小题1】
解：结论：是的切线．
理由：连接，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，都是等边三角形，
，
，
，
是直径，，
，
四边形是矩形，
，
是的切线；
【小题2】
①证明：由（1）可知：，，
是等边三角形，
；
②解：在中，，，，
，，
．

24.【答案】【小题1】
解：正确，
理由：如图1，过点作，与的延长线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线；
【小题2】
解：为的角平分线，
，，
中，，，，
，
，
的垂直平分线交的延长线于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的长为6；
【小题3】
解：如图③，设，过点作交于点，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
的长为1．

25.【答案】【小题1】
若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过(2，-1)，(1，b) 两点，
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1．
【小题2】
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点，
∴
①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．
整理，得am＋b＝0；
【小题3】
由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．
∴y＝ax2-amx-am．
∵当x＝1时，y≥3a，
∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，
∵a＜0，∴m≥-1．
∵该二次函数的最大值为，
∴，即．③
将c＝b＝-am代入③，得，
∴＝＝．
∵m≥-1，
∴≥-3，
∵a＜0
∴a≤．
甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论；乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论；丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题．