重庆市第八中学2025-2026学年高一上学期过程性检测数学试题（Word版附解析）

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一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要 求.
1. “ ” 是 “ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得，而当时，成立，但不成立，
所以“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选：A
2. 角的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由任意角三角函数的定义求得，即可求出的值.
【详解】因为角的终边经过点 ，所以.
所以，.
所以.
故选：B.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断.
【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD；
当时，，排除C，故A正确.
故选：A
4. 已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.
【详解】由题可得，解得或，
又在区间上单调递增，所以，故，
所以过定点.
故选：B.
5. 定义在上的函数 满足，则 的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值.
【详解】因为，①
令，可得.②
①②得，所以.所以.
故选：B.
6. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】因为，
，
，
所以比较可得.
故选：C.
7. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围.
【详解】由对任意，都有成立，可得函数在R上单调递减，
要使函数在R上单调递减，
需使，
解得，即实数的取值范围为.
故选：D
8. 函数在区间内有零点，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围.
【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解.
令函数，则直线与函数的图象有交点.
因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数.
因为.
所以函数的值域为，所以实数的取值范围为.
故选：D.
二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. （多选题）已知正实数 满足 ，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 有最大值
D. 有最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等式化简、基本不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：
因为，所以.
所以，A正确；
对于B：
因为，所以，因为为正实数，
所以，解得，B正确；
对于C：
因为，所以.
当时，；当时，，无最大值，C错误；
对于D：
因为，所以.
因为，所以根据基本不等式的性质可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为，D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数且，下列结论正确的有（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是偶函数
C. 若，则在上单调递减
D. 若，则在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于AB选项，对于函数，有，解得或，
即函数的定义域为，
因，
所以函数为奇函数，A对B错；
对于CD选项，
，
令，，
当时，因内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数，
故函数在上为减函数，
因为内层函数在上为减函数，外层函数在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
所以当时，在上单调递减，C对；
当时，，
，
，
所以，
由，可得，即，
故当时，，此时函数在上不是增函数，D错.
故选：AC.
11. 设函数，若方程 有四个不同的实根，分别为 ，且，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 在上单调
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本初等函数性质，以及函数图像的平移方法，画出分段函数图像；再根据基本不等式的性质，判断选项A的正误；根据函数图像，判断有四个解时的情况，判断选项B，C的正误；再根据参数的范围和复合函数单调性的判断方法，判断D的正误.
【详解】当时，，
当时，，作出函数图像，如下图所示，
当时，，则，
可知，当且仅当，即时取等号，
所以，
当方程 有四个不同的实根时，由图像可知，所以A错误；
由图像可知，即的解为，化简得，
当时，恒成立，
所以，
则，所以B正确；
由图像可知，即，
解得，则，
令，则，
设函数，由对勾函数可知在上单调递增，即，
则，所以C错误；
由题意得，
设，则，
化简得，
化简得，
可知，
即，同理，
则，
因为，所以，，
则，
可得，即，
所以在上单调递减，所以D正确；
故选：BD.
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知集合是小于的正整数， ，则中元素个数为_____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求解出集合，然后再根据补集的定义进行求解即可.
【详解】已知，，
可得：.故中元素个数为.
故答案为：
13. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______.
【答案】
【解析】
【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解.
【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为，
由题意可得，解得，
因此，这个扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
14. 已知正实数，对任意的恒成立，且，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得、且，由条件等式有，令，，进而得到，利用基本不等式有，进而得到，，问题化为是的两个根求参数值.
【详解】由题设，则，故，
由，
又，则，
令，，则，
故，当且仅当时取等号，
所以，又，故，此时，
所以，，故是的两个根，
又，则，
所以，满足前提.
故答案为：
四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）函数的图象经过点，求.
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设有得，进而得到的解析式，最后求函数值即可得；
（2）由题设或求解集即可.
【小问1详解】
由题设，则，
所以，可得，则，
由，故，
所以，而，
所以；
【小问2详解】
由或，可得或，
所以不等式的解集为.
16. 设函数 ，常数 .
（1）当时，
①判断的奇偶性并证明
②求的值域；
（2）若的定义域为，求的取值范围.
【答案】（1）①奇函数，证明见详解；②.
（2）
【解析】
【分析】（1）①利用奇函数的定义判断；②将解析式变形为，利用指数函数的性质求解；
（2）由题问题即对恒成立，令，对恒成立，利用基本不等式求出的值域，得解.
【小问1详解】
当时，，，
①为奇函数，证明如下：
因为，，所以为奇函数.
②由，，，则，
，即的值域为.
【小问2详解】
的定义域为R，即对恒成立，
令，那么，即对恒成立，
因为，当且仅当时，取等号，所以，
所以，即的取值范围为.
17. 鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期. 已知新鲜鸡蛋存储温度(单位: 摄氏度) 与保鲜时间(单位: 小时) 之间的函数关系式为. 新鲜鸡蛋在存储温度为摄氏度的情况下， 其保鲜时间为小时；在存储温度为摄氏度的情况下， 其保鲜时间为小时.
（1）当新鲜鸡蛋的存储温度为多少摄氏度时，保鲜时间最长？并说明理由；
（2）某超市为了节省损耗，希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度? (结果保留两位小数，参考数据: ，)
【答案】（1）摄氏度
（2）摄氏度
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件可得：，解得，然后根据复合函数单调性判断出是关于的单调递减函数，进而根据函数单调性进行求解即可；
（2）令，结合指数函数的性质及对数运算进行求解即可.
【小问1详解】
已知，根据已知条件可得：，两式相除得：，
解得：，根据复合函数同增异减的原则可得：是关于的单调递减函数，又，可得：当摄氏度时，保鲜时间最长.
【小问2详解】
由题意令，得：，
则，两边同时取常用对数得：，
又，所以，
解得：.
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.
18. 对于定义在上的函数，当时，其图象恒在轴上方，且过. 对任意 ，都有 .
（1）求 ；
（2）判断的单调性，并证明:
（3）解不等式: .
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明过程见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法，将特殊值代入题目中的函数恒等式中求.
（2）利用函数方程，令，推导出，结合已知时，可得对所有实数成,通过作差，结合和，判断函数单调递增.
（3）对不等式进行代数变形，分离常数，构造辅助函数，利用复合函数单调性和已知及，判断不等式解集为对应区间.
【小问1详解】
令（已知），，
代入得：
即，故.
【小问2详解】
任取,且,
，
令,则,则，
令,则，
则,
因为当时，则,
则当时，，则；当时，，则；
当时，令，由及可知，即，
由于，则，
所以,
即,所以在上单调递增.
【小问3详解】
因为，
所以，即
令，其中在上单调递增，
所以在R上单调递增，由（2）知，所以，
所以上单调递减，所以在上单调递增.
而即，
又因为，
所以该不等式的解集为.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 (其中)，则称 为的 “重覆盖函数”.
（1）试判断是否为的 2 重覆盖函数” ? 请说明理由:
（2）若为的 “ 2 重覆盖函数”，求实数的值；
（3）函数表示的小数部分，即 (表示不超过的最大整数)，若，若为的 “2025 重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，可得，得到，此时方程无解，即可得到不是的2重覆盖函数.
（2）求得的值域为，转化为有两个不同实数解，当时，有一个根，得到当时，仅有一个根，分类讨论，列出不等式组，即可求解.
（3）利用函数的性质和基本不等式，取得函数的值域为，根据题意，转化为上有个实数解，画出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：不是的2重覆盖函数.
理由如下：
由函数，可得，当时，可得，
又由，令，可得，此时方程无解，
所以不存在使得，不满足存在2个不同的实数解的条件，
所以不是的2重覆盖函数.
【小问2详解】
解：由函数的定义域为，
对任意的，存在2个不同的实数使得，
因为，可得，可得，所以，即的值域为，即，
即对于任意有2个实根，
当时，有一个根，故只需时，仅有一个根，
当时，即时，，
则，此时不等式组无解；
当时，即时，令，解得，
①当时，即时，，
所以，解得；
②当时，即时，不满足题意，舍去；
③当时，即时，，
所以，解得，
综上可得，实数的值为或.
【小问3详解】
解：由函数，
当时，可得；当时，，
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以函数的值域为，
要使得为的“2025重覆盖函数”，
即对任意时，上有个实数解，
因为，其中，
作出函数的图象，如图所示，
要使得上有个实数解，则满足，
解得，即实数的取值范围为.