四川省绵阳中学2025-2026学年高二上学期第三次测试数学试题（Word版附解析）

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命题人：陈友利 审题人：陈明芬，吴明阳
一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间点关于坐标平面的对称点特征可求对称点的坐标.
【详解】点关于平面的对称点坐标为.
故选：D.
2. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A. 25B. 15C. 30D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】先求出全校女生人数，再根据分层抽样的比例计算即可.
【详解】2500人中女生人数为，
则容量为50的样本中女生的人数为.
故选：D
3. 点(，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°
C. 60°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，再根据斜率可得倾斜角.
【详解】由题意可知a－4＋1＝0，即a＝，
设直线的倾斜角为α，则tan α＝，
又，∴α＝60°，
故选：C.
【点睛】本题考查了由直线的斜率求倾斜角，掌握倾斜角的范围是解题关键，属于基础题.
4. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过椭圆和双曲线有共同的焦点，就是让它们的相等进而得到的关系，再代入到直线方程即可求出答案.
【详解】椭圆与双曲线有共同的焦点，
椭圆焦点在轴上，即，，
直线可化为，即，
令，解得，直线必过定点.
故选：.
5. 不透明的口袋内装有红色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（ ）
①2张卡片都不蓝色； ②2张卡片恰有1张是蓝色；
③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2张卡片至多一张为蓝色；
A 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据互斥事件和对立事件概念，列出所有可能结果：口袋中有红，蓝卡片各2张，一次性取2张，结果有3种： ①两张红色（都不是蓝色）；②一红一蓝（恰有1张蓝色）；③两张蓝色（都为蓝色），再逐一分析事件即可.
【详解】事件①：2张都不是蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“恰有1张蓝色”的情况，不是对立；
事件②：2张恰有1张蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“都不是蓝色”的情况，不是对立；
事件③：2张至少有1张蓝色：包含“恰有1张蓝色”和“都为蓝色”，与“都为蓝色”能同时发生，不互斥；
事件④：2张至多1张蓝色：包含“都不是蓝色”和“恰有1张蓝色”，与“都为蓝色”既互斥又对立.
所以与“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的是①②，个数为2.
故选：C.
6. 已知一个样本，样本容量为，平均数为，标准差为，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数及方差公式直接计算即可.
【详解】设样本的个数据分别为，，，，
不妨设，
由已知得，，
即，，
所以去掉一个数据后，
，
故选：D.
7. 已知双曲线的两个焦点为，焦距为8，是双曲线上一点，且，则（ ）
A. 1或9B. 9C. 1D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦距可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线的定义，可得的值，分析检验，即可得答案.
【详解】设焦距为，由题意得，即，
又，所以，即，
由双曲线定义可得，即，
解得1或9，
又，即，所以，
所以.
故选：B
8. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得.
【详解】由已知，均为单位向量，可知，
又，则；
同理，则，
代入，
即，解得，
则，
故选：C.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量坐标关系，可得，即可判断A的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断B、D的正误；根据数量积的坐标公式，可得，即可判断C的正误.
【详解】选项A：因，所以，所以，故A正确；
选项B：因为，所以，
所以或，故B错误；
选项C：因为，所以，所以，故C正确；
选项D：因为，所以，
所以或，故D正确.
故选：ACD
10. 设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A. 是等边三角形B.
C. 点到准线的距离为3D. 抛物线的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点分别在正方形对角线上移动，且和的长度保持相等．记，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的长为
B. 当时，三棱锥的体积是
C. 当的长最小时，直线与平面所成角的余弦值为
D. 不存在，使得直线与所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】如图建系，求得各点坐标，根据条件，可得M、N点坐标，即可得表达式，代入，即可判断A的正误；当时，可得M到平面ABEF的距离及N到AF的距离，利用等体积转化法，结合体积公式即可判断B的正误；根据二次函数的性质，可得的长最小时，分别求出与平面的法向量坐标，根据线面角的向量求法，结合同角三角函数的关系，可判断C的正误；根据异面直线的向量求法，可得与所成角的余弦值的表达式，结合条件，可得关于的二次方程，利用其判别式，可判断D的正误.
【详解】由题意，以B为原点，BA，BE，BC为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
设，则，
由，得，
则，即，
由 ，同理可得，
所以.
选项A：当时， ，故A正确；
选项B：当时，M到平面ABEF的距离为，
因为，所以N到AF的距离为，
所以，
所以三棱锥的体积，故B正确；
选项C：因为，
所以当时，有最小值，且为，
此时，则，
因为平面在面内，所以即为平面的法向量，
设MN与平面所成角为，，
则，
所以，即直线与平面所成角的余弦值为，故C错误；
选项D：，
设直线与所成角为，，
则，
由，得，则，
整理得，判别式，
所以方程无实数根，即不存在，使得直线与所成角的正弦值为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 圆和圆的公共弦所在的直线方程_________．
【答案】
【解析】
【分析】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案.
【详解】圆展开可得，即，
与圆联立可得，即，
所以两圆公共弦所在的直线方程为.
故答案为：
13. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_______________，渐近线方程为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点为，根据双曲线与抛物线焦点相同知，结合离心率，即可求双曲线方程及其渐近线方程.
【详解】由题意，知：抛物线标准方程为，即焦点为，有双曲线参数，
∴在双曲线中，又，可得，
∴双曲线的方程为，则渐近线方程为.
故答案为：，.
14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点为抛物线的焦点，从点出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆相切，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】L根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解.
【详解】由题意，反射光线平行于轴且经过点，故其方程为，
因反射点在光线与抛物线上，所以该点纵坐标为，
当时，，故入射光线经过和，，
故入射光线的方程为，化简得，
圆心为，半径为，
所以，
当，化简得：，解得，
当，化简得：， 无解.
综上.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，其中15题13分，16题与17题均为15分，18题与19题均为17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 将一次考试所有学生的成绩，绘制的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在．
（1）求图中的值，估计本次考试成绩的平均分、众数，下四分位数；
（2）若本次考试共20人参加，总人数的四分之一认为不合格，现计划从不合格的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率．
【答案】（1），平均数为，众数为75，下四分位数为70
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据平均数的求法，代入数据，可得平均数，根据图象最高一组为第三组成绩在，可得众数，根据第一组和第二组频率和为，可得下四分位数.
（2）由题意得不合格人数为5人，分析可得第一组为2人，第二组为3人，根据古典概型公式，计算求解，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意，解得.
平均数为，
图象最高一组为第三组，成绩在，所以众数为75，
第一组和第二组的频率和为，
所以下四分位数为70.
【小问2详解】
因为总人数的四分之一认为不合格，所以人，
因为第一组和第二组的频率比为，
所以第一组为人，记为，
第二组3人，记为，
则5人中抽取2人可能性有，
共10种可能，
2人分数都在的可能性有，共有3种可能，
所以不合格的5人中抽取2人分数都在的概率.
16. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线经过，与双曲线的右支交于两点，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过已知渐近线方程得出斜率关系，结合双曲线标准方程中渐近线公式得到参数比值，再代入已知点坐标建立关于参数的方程求解得到双曲线方程.
（2）由双曲线方程确定焦点坐标，再设出过焦点的直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理得到交点横坐标关系，利用三角形面积公式转化为纵坐标差的条件，结合弦长公式最终求得弦长.
【小问1详解】
已知双曲线与双曲线渐近线相同，
由的渐近线方程得，
故的渐近线方程斜率为，即，得，
可得，代入点得，解得，
故.
【小问2详解】
由方程得，焦点，
设直线，与联立得，
设，韦达定理得，
，又得，
而，其中，代入得，
平方整理得，解得，
弦长.
17. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）已知过点直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据相切圆心到切线的距离等于半径可得；
(2) 根据三角形面积公式，得到,再根据点到直线距离公式可得.
【小问1详解】
设，
圆心到直线的距离为：，
因为直线与圆相切，所以，即，即，
所以或，
因为圆心在轴的负半轴上，所以，
所以圆的方程为：.
【小问2详解】
由题意为等腰三角形，，
，其中是到弦的距离,,
代入，,所以，
令，所以，所以，所以，
当直线斜率存在时，设直线，即，
所以,
即，所以，，
所以，
当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为：，也符合，
综上直线的方程为：.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求平面与平面的夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）取PD中点N，连接MN，AN，根据中位线的性质，可得，且，根据条件，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证.
（2）（i）根据面面垂直的性质定理，结合条件，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据夹角公式，可得其余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案.
（ii）假设存在，设，根据点到平面距离的向量求法，可得点到平面的距离，即可求得值，分析计算，即可得答案.
【小问1详解】
证明：取PD中点N，连接MN，AN，
因为M，N分别为PC，PD中点，
所以，且，
因为，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
（i）因为平面平面，平面平面，
平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，，
因为，
所以，即，所以两两垂直，
以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
所以，
因为平面，为棱的中点，
所以即为平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，所以，
所以，
则，
所以平面与平面的夹角的正弦值.
（ii）假设线段上存在点满足条件，设，，
则，
所以点到平面的距离，
解得，则，
所以存在，使得点到平面的距离是.
19. 已知点F为椭圆的右焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆于点.过点P作椭圆的切线，交x轴于点Q.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点Q的坐标；
（3）过点Q的直线交椭圆于A，B两点，过点A作x轴的垂线与直线交于点D，求证：线段的中点在定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）在定直线上
【解析】
【分析】（1）由题中所给的半焦距与半通径，可解得进而确定椭圆方程；
（2）设出过点的直线，与椭圆联立后使得判别式，解出直线，再求其与轴的交点即可；
（3）设出过的直线，设出，与椭圆联立后，计算出的中点坐标，结合韦达定理计算推理即可.
【小问1详解】
由题可知，，又，可得.
因此椭圆的方程为.
【小问2详解】
易知过点且与椭圆相切的直线斜率存在，因此可设该直线为.
联立直线与椭圆整理得，
再令，整理得，解得.
则过点的切线方程为：，再令，得.
因此点的坐标为.
【小问3详解】

设过的直线方程，设点，线段的中点为，
联立，得，
令，得，即或.
根据韦达定理，由，，
直线的方程为.
则.
于是，
.
，
因此点在直线上，
即线段中点在定直线上.