四川省绵阳中学2025-2026学年高二上学期第二次测试数学试题（Word版附解析）

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命题人：王席 审题人：陈友利 丁胜杰
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为 的斜率 ，
所以其倾斜角为 30°.
故选：A.
2. 已知 为双曲线 上一点， ， 分别为双曲线的左、右焦点，若 ，则 的值为
（ ）
A. 4 B. 7 C. D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义列式求解即可.
【详解】由双曲线的定义可知 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
故选：D
3. 已知直线 和 平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由两直线平行，求出 ，再根据两平行直线之间距离公式求解即可.
【详解】由直线 和 平行，可得 ，
解得 ，故直线 可写为： ，
即 ，则这两条平行线之间的距离为 .
故选：B.
4. 直线 与圆 交于 两点，则 的面积为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，求得圆心到直线的距离，利用圆的垂径定理求得弦长 ，即可计
算 的面积.
【详解】由 整理得： ，知圆心为 ,半径为 2，
由圆心 到直线 的距离为： ，则 ,
故 的面积为: .
故选：A.
5. 抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数.
【详解】由题设，抛物线标准形式为 ，则 ，可得 .
故选：D
6. 2024 年 10 月 30 日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号 F 遥十九运载火箭在酒泉卫星中心成功发射．约
10 分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离进入预定轨道，并按照预定程序与空间站组合体实现圆满
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的自主快速交会对接．某飞船升空后初始运行轨道是以地球的中心为焦点的椭圆，其远地点距地面的距离
为 S1，近地点距地面的距离为 S2，设地球的半径为 R，则该椭圆的短轴长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的性质，得到 ， ，结合 即可求解.
详解】
建立适当坐标系画出椭圆，如图所示，
设椭圆长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
根据题意有 ， ，
所以
又因为 ，所以 .
故选：C
7. 已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积
为 ，则双曲线 两条渐近线的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线 之间关系及离心率 定义可构造方程求得 ，由此可得渐近线斜率和倾
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斜角，根据两直线夹角的范围可确定最终结果.
【详解】 椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，
， ， ，
设双曲线渐近线的倾斜角为 ，则 ，即渐近线的倾斜角分别为 和 ，
又两条直线夹角 的范围为： ，
双曲线 两条渐近线的夹角大小为 .
故选：B.
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在一点
使得 的内切圆半径为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，由等面积法得到 ，再由 ，得到 ，再结合
，转化为关于 的不等式，即可求出 的范围.
【详解】设 ，则 的面积为 ．
因为 的内切圆半径为 ，又 ，
所以 的面积可表示为 ，
所以 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
两边平方得 ，而 ，所以 ，
整理得 ，两边同时除以 ，得 ，
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解得 ，又 ，故 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ．
故选：A
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
B. 过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有 3 条
C. 已知双曲线 左焦点为 是左支上一动点．则 的最小值是
D. 已知 ， ， 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上的一动点，则 的
最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据两直线互相垂直得出参数方程解出判断即可得出选项 A，设方程求解结合图形分析即可得出
选项 B，利用双曲线性质分析得出 C 选项，利用椭圆的定义和椭圆性质分析得出选项 D.
【详解】对于 A，因为直线 与直线 互相垂直，
则有 ，解得 或 ，故选项 A 错误，
对于 B，当直线斜率存在时，设过点 直线方程为 ，
代入 得出： ，
由题意知： 或 ，
即直线： ， ，又直线 与抛物线也只有一个交点，
过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有 3 条，故 B 选项正确，
对于 C，由题意可知，当点 位于左支顶点时， 最小，
，故选项 C 错误；
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对于 D，由椭圆的定义可知， ，所以 ，
所以 ，也即求 的最小值，
又 ，
，所以 的最小值是 ，故选项 D 正确，
故选：BD.
10. 已知圆 ， 为直线 上的动点，以 为直径的圆与圆 相交于 A，B，则
下列说法正确的是（ ）
A. 圆 关于直线 的对称圆的方程为：
B. 圆 上有且仅有两个点到 的距离为
C. 的最小值为
D. 直线 恒过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过点关于斜率为 的直线对称点的求法易得 A 正确；通过圆心到直线的距离判断直线与圆的具
体位置，从而可判断 B； 的最小值时 ，进而计算即可判断 C；根据题干信息列出直线 ，根
据直线恒过定点即可判断 D.
【详解】对于 A： 关于 的对称点 ，∴A 正确；
对于 B：圆 的半径为 ， 到 的距离 ，
又∵ ，∴圆 O 上恰有两个点到 距离为 ，B 正确；
对于 C：∵ ，∴ 与 相切于点 A， ，
所以当 时，即 最小，有 ，C 错误；
对于 D：设 ，则以 为直线的圆方程为 ，
即 与 相减得直线 的方程 ，
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即 ，过定点 ，D 正确.
故选：ABD
11. 已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，其中 在第一象限，点
，若 ，以 为切点作切线相交于点 ，则（ ）
A. 直线 的斜率为 B.
C. 的坐标为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知先找出 的坐标，然后根据题意得出 的坐标且 利用两点求出直线斜率即可得
出选项 A，联立直线与抛物线方程求出点 的坐标，利用抛物线定义即可求解得出选项 B，利用函数导数求
出在抛物线上以 为切点作切线方程联立解出即可，利用平面向量数量积得出 为钝角，
再结合四边形的内角和为 分析即可得出 D 选项.
【详解】由题意如图所示：
对于 A： ， 得 在 中垂线上，
所以 ，代入 中且 得出 ，
则 ，由图可知 ，A 正确,
对于 B：直线 方程为 ，
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代入方程 中化简得： ，解得 ，得 ，
所以 ，B 正确；
对于 C：由 ，又 点在第一象限，所以点 在 上，
所以 ，此时切线的斜率为：
所以抛物线在 点处的切线方程为： ，即 ，
同理可求得在 B 点处的切线方程为：
，
联立 ，解得 ，C 错误，
对于 D： ，所以 为钝角，
由 ，
所以 ，所以 为钝角，
在四边形 中，由 ，
，所以 ，故 D 正确，
故选：ABD．
三、填空恩（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 圆 与圆 外切，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解.
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【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
圆 化为标准方程 ，
圆心 ，半径 ，易知两圆圆心距为 5,
根据两圆外切可得 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
故答案为：1
13. 双曲线经过 ，渐近线 ，则双曲线标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据共渐近线双曲线方程设 ，代入已知点求解.
【详解】设双曲线方程 ，
将 代入，得 ，∴ ，
∴方程为 .
故答案为：
14. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 作斜率为 的直线与 在第一象限
内相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则由已知条件结合抛物线的定义可得
，设直线 的倾斜角为 ，则 ，
求出 ，再结合 可求得结果.
【详解】如图，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
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则 ， 轴．
因为 ，所以 ．
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
故答案为：
四、解答题（本大题共 5 小题，其中 15 题 13 分，16 题与 17 题均为 15 分，18 题与 19 题均为
17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，面积为 12 的平行四边形 ，A 为原点， 的坐标为 ， 在第一象限．
（1）求直线 的方程；
（2）若 ，求 的纵坐标．
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【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质设出直线 方程，再利用点到直线距离公式结合面积求
解.
（2）由（1）的结论及 长，建立方程组求解.
【小问 1 详解】
由 ，得直线 AB 方程为 ， ，
在 中，设直线 CD 方程为 ，
由 D 在第一象限，得 ，A 到直线 CD 距离 ，由 面积为 12，
得 ，则 ，所以直线 CD 方程为 .
【小问 2 详解】
设 ，由 及（1）得 ，
整理得 ，解得 或 ，此时 都大于 0，符合题意，
所以 的纵坐标是 或 .
16. 已知双曲线 的焦点 到一条渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线 的离心率；
（2）若 ，直线 交双曲线 于 两点， 是坐标原点，若 是弦 的中点，求弦 的
长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据焦点 到双曲线渐近线的距离得出 的关系，结合 的关系得出 的关系即可求
解；
（2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲
线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可.
【小问 1 详解】
由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
故焦点 到渐近线的距离 ，
所以 即 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
所以双曲线的方程为： ，
如图所示：
设点 ， ，因为 是弦 的中点，
则 ，
由于 ， ，所以两式相减得 ，
所以 ，
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即直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ．
联立 消去 并整理，
得 ，
所以 ，
且 ， ，
所以 .
17. 已知圆 经过点 、 ，并且直线 平分圆 ．
（1）求圆 的方程；
（2）过点 ，是否存在斜率为 的直线 与圆 有两个不同的交点 M，N，使 ，若存在，
求 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解
（2）直线 的方程与圆联立，得到韦达定理，代入 解出答案，并由 得 的取值范围，
判断是否符合要求即可
【小问 1 详解】
设圆 的标准方程为 ，
因为直线 平分圆 的面积，所以直线过圆心 ，即 ，
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则 ，解得 ，
圆的方程为
【小问 2 详解】
由题意直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
设 ， ，
则 ，得 ，
故 ， ，
而 ，
所以
，
故有 ，解得 或 ，不满足 ，所以不存 ．
18. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为坐标原点，点 在抛物线 C 上，且
，直线 过定点 （其中 ， ）与抛物线 相交于 A，B 两点（点 位于第一象限）．
（1）求抛物线 的方程；
（2）当 时，求证： ；
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（3）如图，连接 ，并延长交抛物线 于两点 ， ，设 和 面积分别为 和
，求 ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据 及已知列方程求参数，即可得抛物线方程；
（2）设直线 方程为 ， ， ，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐
标运算，即可证；
（3）设直线 的方程为 ， 的方程为 ， ， ， ，
， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得.
【小问 1 详解】
∵ ，
∴ ，则 ；
【小问 2 详解】
设直线 方程为 ， ， ，
联立直线 与抛物线 的方程 ，
消去 并整理，得 ，
所以 ，
则 ，
即 ；
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【小问 3 详解】
设直线 的方程为 ， ， ，
联立直线 与抛物线 的方程 ，
消去 并整理，得 ，
所以 ，
设 ， ， 的方程为 ，
联立直线 与抛物线 的方程 ，
消去 并整理，得 ，
所以 ， ，则 ，同理得 ，
∴ .
19. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，其离心率为 ，过点
且平行于 的直线与椭圆交于 M，N，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且相互垂直的两条直线分别与椭圆 交于 AB、CD．
①求四边形 面积的取值范围；
②若直线 AB 斜率存在，过点 向直线 引垂线，垂足为 ，求证：直线 BH 过定点，并求出定
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点坐标．
【答案】（1）
（2）① ；②证明见解析， .
【解析】
【分析】（1）根据离心率得 ， ，再利用通径长求得 ，即可求解；
（2）①当直线 斜率存在且不为 0 时，设 ，与椭圆方程联立韦达定理，利用弦长公式
求得 ， ，进而得 ，然后利用换元法及二次函数性质求得范围；再求直线
斜率为 0 时的面积，即可求解范围；
②由 点的坐标表示直线 BH 的方程，利用韦达定理化简直线方程，即可求得恒过的定点.
【小问 1 详解】
由已知 得 ， ，
在方程 中，令 ，则 ，故 ，
所以 ， ，故椭圆 的方程为 ；
【小问 2 详解】
①设 ， ，
当直线 斜率存在时，设 ，
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由 得： ，
故 ， ，
当 AB 斜率存在且斜率 ，
则 ，
同理以 替代 得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的值域为 ，所以 ，
当 时， ， ， ，
综上， ；
②由已知 ，所以直线 BH 的斜率为 ，
则直线 BH 的方程为 ，
即 ，
由韦达定理有： ，
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，
故直线 BH 的方程为 ，所以直线 BH 过定点 .
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