8.4.2.1公式法（教学课件）--2025-2026学年2024新沪科版数学七年级下册

买合苏迪古丽·买买提托克逊县第二中学15909954880幻灯片 1：封面课程名称：8.4.2.1 公式法学科：数学年级：七年级教师姓名：[您的姓名]幻灯片 2：教学目标理解公式法分解因式的原理，明确它与整式乘法公式的逆关系。掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，能准确识别适用公式的多项式。熟练运用公式法对多项式进行因式分解，提高因式分解的综合能力。幻灯片 3：教学重难点重点：掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，能用公式法分解因式。难点：准确判断多项式是否符合公式特征，灵活运用公式进行因式分解，分解要彻底。幻灯片 4：复习回顾因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式。提公因式法：如果多项式各项有公因式，先把公因式提出来。整式乘法公式回顾：平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)思考：这些乘法公式反过来写是什么形式？这就是今天要学习的公式法分解因式。幻灯片 5：公式法的概念定义：把乘法公式反过来，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。常用公式：平方差公式逆用：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)完全平方公式逆用：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)，\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)与整式乘法的关系：公式法分解因式是整式乘法公式的逆过程。幻灯片 6：平方差公式分解因式公式内容：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)。结构特征：多项式是二项式。两项都能写成平方的形式。两项的符号相反（一正一负）。示例分析：\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)，符合\(a^2 - b^2\)形式，其中\(a = x\)，\(b = 3\)。\(4a^2 - 25b^2 = (2a)^2 - (5b)^2 = (2a + 5b)(2a - 5b)\)，其中\(a = 2a\)，\(b = 5b\)。幻灯片 7：例 1 - 用平方差公式分解因式（1）分解因式\(x^2 - 16\)解：\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)\)（2）分解因式\(9a^2 - 4b^2\)解：\(9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a + 2b)(3a - 2b)\)（3）分解因式\((x + y)^2 - (x - y)^2\)解：把\((x + y)\)和\((x - y)\)看作整体，符合平方差公式\((x + y)^2 - (x - y)^2 = [(x + y) + (x - y)][(x + y) - (x - y)] = (2x)(2y) = 4xy\)幻灯片 8：完全平方公式分解因式公式内容：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)（两数和的完全平方）\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)（两数差的完全平方）结构特征：多项式是三项式。其中两项能写成平方的形式，且符号相同。第三项是这两个数乘积的 2 倍（或 - 2 倍）。示例分析：\(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2·x·3 + 3^2 = (x + 3)^2\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)形式，\(a = x\)，\(b = 3\)。\(4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a)^2 - 2·2a·3b + (3b)^2 = (2a - 3b)^2\)，\(a = 2a\)，\(b = 3b\)。幻灯片 9：例 2 - 用完全平方公式分解因式（1）分解因式\(x^2 + 10x + 25\)解：\(x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2·x·5 + 5^2 = (x + 5)^2\)（2）分解因式\(4m^2 - 12mn + 9n^2\)解：\(4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m)^2 - 2·2m·3n + (3n)^2 = (2m - 3n)^2\)（3）分解因式\(-x^2 + 4xy - 4y^2\)解：先提出 “\(-\)” 号，使首项为正\(-x^2 + 4xy - 4y^2 = -(x^2 - 4xy + 4y^2) = -(x - 2y)^2\)幻灯片 10：提公因式后用公式法分解因式步骤：当多项式各项有公因式时，应先提取公因式，再运用公式法分解。例 3：（1）分解因式\(3x^2 - 3y^2\)解：先提公因式\(3\)\(3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x + y)(x - y)\)（2）分解因式\(2a^3 + 12a^2b + 18ab^2\)解：先提公因式\(2a\)\(2a^3 + 12a^2b + 18ab^2 = 2a(a^2 + 6ab + 9b^2) = 2a(a + 3b)^2\)幻灯片 11：公式法的综合应用例 4：分解因式\((x^2 + 4)^2 - 16x^2\)解：先看作平方差公式形式\((x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4)^2 - (4x)^2 = [(x^2 + 4) + 4x][(x^2 + 4) - 4x]\)再对每个括号内的多项式用完全平方公式分解\(= (x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4x + 4) = (x + 2)^2(x - 2)^2\)幻灯片 12：如何选择合适的公式判断方法：先看多项式项数：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。再看各项特征：二项式是否为平方差形式，三项式是否为完全平方形式。若有公因式，先提公因式再判断。口诀：二项平方差，三项完全方；有公先提公，分解要彻底。幻灯片 13：易错点辨析判断对错并改正：（1）分解因式\(x^2 - 4 = (x - 2)^2\) (×)，改正：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)（混淆平方差与完全平方公式）（2）分解因式\(a^2 + 2a + 1 = a(a + 2) + 1\) (×)，改正：\(a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)（未化成整式乘积形式）（3）分解因式\(4x^2 - 8x + 4 = (2x - 2)^2\) (×)，改正：\(4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)^2\)（未先提公因式，分解不彻底）（4）分解因式\(x^2 + x + 1\) (×)，该多项式不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解。幻灯片 14：课堂练习（1）分解因式\(25x^2 - 1\)解：\(25x^2 - 1 = (5x)^2 - 1^2 = (5x + 1)(5x - 1)\)（2）分解因式\(m^2 - 6m + 9\)解：\(m^2 - 6m + 9 = m^2 - 2·m·3 + 3^2 = (m - 3)^2\)（3）分解因式\(3a^3b - 12ab^3\)解：\(3a^3b - 12ab^3 = 3ab(a^2 - 4b^2) = 3ab(a + 2b)(a - 2b)\)（4）分解因式\((a + b)^2 - 6(a + b) + 9\)解：把\((a + b)\)看作整体，\((a + b)^2 - 6(a + b) + 9 = (a + b - 3)^2\)幻灯片 15：实际应用问题问题：已知一个正方形的面积为\(x^2 + 8x + 16\)，求这个正方形的边长。解：正方形面积 = 边长的平方，对面积多项式分解因式\(x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2·x·4 + 4^2 = (x + 4)^2\)所以正方形的边长为\(x + 4\)答：这个正方形的边长为\(x + 4\)。幻灯片 16：课堂小结平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)，适用于二项平方差形式的多项式。完全平方公式：\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)，适用于三项完全平方形式的多项式。分解步骤：有公因式先提公因式，再判断是否符合公式特征，选择合适公式分解，确保分解彻底。关键要点：准确识别公式中的 “\(a\)” 和 “\(b\)”，注意符号和系数的处理。幻灯片 17：布置作业教材第 105 页习题 A 组第 1，2，4 题。思考题：分解因式\(x^4 - 8x^2 + 16\)（提示：先看作完全平方公式，再用平方差公式）。1. 探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）2. 能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因 式分解．（难点）想一想：如何将 x2－2x + 1 因式分解？x2－2x + 1 = (x－1)2 如果把整式乘法中的完全平方公式和平方差公式逆向使用,那么就可以某些多项式分解因式.概念梳理 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2a2 - b2 = (a + b)(a - b)用完全平方公式分解因式 a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方和是第一项和第三项底数的积的±2 倍简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.+ b2±= (a ± b)²a2首2+ 尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )².2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )²；1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²；x2x + 2 aa 2ba + 2b2b对照 a²±2ab + b² = (a±b)²，填空：mm - 33x2 m3下列各式是不是完全平方式？ （1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b² 与 - 1 的符号不统一.不是分析：不是是（4）中间项缺 2 倍.例1 若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 36 B. 9 C. - 36 D. - 9B解析：根据完全平方式的特征，中间项 -6x = 2x×(-3)，故可知 N = (-3)2 = 9.变式训练 如果 x2 - mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_____.解析：16 = (±4)2， - m = 2×(±4)，即 m = ±8.±8方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.例2 分解因式：（1）x2 + 14x + 49； （2）9a2 - 30ab + 25b2.分析：(1)中，x2 = (x)2， 49 = 7²，14x = 2·x·7， 所以 x2 + 14x + 9 是一个完全平方式，即 16x2 + 24x + 9 = (x)2 + 2×x×7 + 72. b2a2解： (1) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2.= x2 + 2·x·7 + 72例2 分解因式：（2）9a2 - 30ab + 25b2.解： (1) 9a2 - 30ab + 25b2  = (3a)2 - 2×3a×5b +(5b)2 1.利用完全平方公式简便计算：(1) 1002 - 2×100×99 + 99²；(2) 342 + 34×32 + 162.解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2= 1.= 2500.想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：用平方差公式进行因式分解√√××辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？√√（1）x2 + y2（2）x2 - y2（3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 )( y + x )( y - x )（4） - x2 + y2（5）x2 - 25y2( x + 5y )( x - 5y )（6）m2 - 1( m + 1 )( m - 1 )( x + y )( x - y )x2 - 92例3 分解因式： aabba2 - b2 =解：(1)原式=x9xx99(2) 原式 = (6a)2 - (5b)2 (1) x2 - 81；(2) 36a2 - 25b2.= (6a + 5b)(6a - 5b).= (x + 9)(x - 9) 分解因式：(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.针对训练＝(2m＋4n)(4m＋2n)解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )＝4(m＋2n)(2m＋n)．方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式进行因式分解.2. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值.所以 x - y ＝ -2②.解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2，x＋y ＝ 1①，联立①②组成二元一次方程组，方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.3. 计算下列各题：(1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4.解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.(2) 原式＝4×(53.52－46.52)＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7 ＝ 2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例4 把下列多项式分解因式：（1）ab2 － ac2 ；（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 .解：(1) ab2 － ac2 = a(b2 － c2) = a(b + c)(b－ c) （提取公因式）（用平方差公式）（2）3ax2 + 24axy + 48ay2 = 3a(x2 + 8xy + 16y2) = 3a(x + 4y)2 （提取公因式）（用完全平方公式）例5 把下列多项式分解因式：（1）16x4 － 81；（2）x4 － 2x2 + 1 .解：（1）16x4 － 81= (4x2 + 9)(4x2 － 9)= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x－3)（用平方差公式）（用平方差公式）（2）x4 － 2x2 + 1 = (x2 － 1)2 （用完全平方公式）= [(x + 1)(x － 1)]2 （用平方差公式）= (x + 1)2(x － 1)2 1. 把下列各式写成完全平方的形式.  y - 4  0.9x 方法归纳 对于凑完全平方式类的问题，需要注意观察两个平方项找出其中的 a 和 b对应的数或式子 .2. 把下列各式分解因式.(1) x2 + 2x + 1； (2) y2 - 4；(3) 1 - 6y + 9y2； (4) 1 - 36n2；(5) 9n2 + 64m2 - 48mn； (6) -16 + a2b2.解：(1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. (2) y2 - 4 = (y+2)(y-2).(3) 1 - 6y + 9y2 = (1 - 3y)2. (4) 1-36n2 = (1 ＋ 6n)(1 - 6n). (5) 9n2 + 64m2-48mn = (3n - 8m)2. (6) -16 + a2b2 = (ab - 4) (ab + 4). 1. 把下列多项式分解因式：（1）2x3－32x； （2）9a3b3－ab；解（1）2x3－32x= 2x(x2－16)= 2x(x + 4)(x－4)（2）9a3b3－ab= ab(9a2b2－1)= ab(3ab + 1)(3ab－1)（3）mx2－8mx + 16m； （3）mx2－8mx + 16m= m(x2－8x + 16)= m(x－4)2（4）－x4 + 256； （5）－a + 2a2－a3； （4）－x4 + 256= (16)2 －(x2)2 = (16 + x2)(16－x2) = (16 + x2)(4 + x)(4－x) （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 .（5）－a + 2a2－a3 （6）81a4 －72a2b2 + 16b4 = －a(1－ 2a + a2) = －a(1－ a)2 = (9a2)2 －72a2b2 + (4b2)2 = (9a2 －4b2)2 = [(3a + 2b)(3a －2b)]2 = (3a + 2b)2(3a －2b)2 1星题 基础练 运用完全平方公式进行因式分解   A  9  5.把下列各式分解因式：     运用平方差公式进行因式分解  7. 课堂上老师在黑板上布置了如图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？ ( ) CA.第(1)道题B.第(2)道题C.第(3)道题D.第(4)道题 B 9.把下列各式分解因式：    2星题 中档练 D 11. [2024·郑州期末] 数学活动课上，同学们一起玩卡片D 游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是 ( )  13.把下列各式分解因式：    3星题 提升练  (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___.CA.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_________.不彻底   公式法因式分解公式平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)步骤一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解. 完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2阿木提江·塔西吐木尔托克逊县第一中学13899326086