4.2 提取公因式法 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：4.2 提取公因式法副标题：浙教版七年级下册数学・因式分解的基础方法配图：多项式各项公因式拆解示意图（如 6x²+12x=6x (x+2)，标注公因式 6x）、提取公因式流程图（找公因式→提公因式→验证）底部信息：核心素养目标：运算能力（公因式提取）、逻辑推理（步骤拆解）、细节把控（符号与系数）、应用意识（实际场景）第 2 页：情境导入 —— 从 “逆用分配律” 到 “提取公因式”旧知衔接（双重铺垫）因式分解定义回顾：将多项式化为几个整式的积（如 6x²+12x=3x (2x+4)）乘法分配律逆用：ab+ac=a (b+c)（已知 a 是公共因数，将其提取出来），类比到整式：6x²+12x=6x・x + 6x・2=6x (x+2)情境案例（零件加工问题）问题：工厂加工两种零件，第一种零件每个用料 6x² 克，第二种每个用料 12x 克，各生产 n 个，求总用料量（用因式分解形式表示）分析：总用料 = 第一种总用料 + 第二种总用料 = 6x²n + 12xn观察两项：均含公共因式 6xn，提取后得 6xn (x + 2)思考：如何准确找到多项式各项的公共因式？引出课题：提取公因式法。第 3 页：新知讲解 1—— 公因式的定义与确定方法公因式定义文字表述：多项式各项都含有的公共整式，叫做这个多项式各项的公因式。示例：多项式 3a²b - 6ab² + 9abc 中，各项均含公共整式 3ab，故公因式为 3ab。公因式确定三步骤（“三看” 原则）看系数：取各项系数的最大公因数（符号通常取正，若首项为负，公因式含负号）示例：-4x³ + 6x² - 8x，系数 - 4、6、-8 的最大公因数为 2，首项为负，故系数部分为 - 2看字母：取各项都含有的相同字母（只含于部分项的字母不纳入公因式）示例：6x²y - 12xy³ + 3x²y²，相同字母为 x、y，故字母部分为 xy看指数：取相同字母的最低次幂（即各项中该字母指数最小的值）示例：6x²y（x²、y¹）、-12xy³（x¹、y³）、3x²y²（x²、y²），x 最低次幂为 1，y 最低次幂为 1，故指数部分为 x¹y¹合并公因式：将系数、字母、指数部分组合，即得公因式示例 1：3a²b - 6ab² + 9abc，公因式 = 3（系数最大公因数）×ab（相同字母最低次幂）=3ab示例 2：-4x³ + 6x² - 8x，公因式 =-2（系数部分）×x（相同字母最低次幂 x¹）=-2x第 4 页：新知讲解 2—— 提取公因式法的步骤与示例提取公因式法定义文字表述：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化为公因式与另一个整式的积的形式，这种因式分解方法叫做提取公因式法。提取公因式四步骤（“一提二除三查四写”）一提：确定并提取多项式各项的公因式二除：用公因式去除多项式的每一项，得到另一个因式（注意：每一项都要除，不能漏项）三查：检查另一个因式是否还有公因式（若有，需继续提取，直至无公因式）四写：写出因式分解结果（公因式 × 另一个因式）基础示例（单字母公因式）分解因式：6x²y - 12xy³ + 3x²y²步骤：确定公因式：系数最大公因数 3，相同字母 xy，最低次幂 x¹y¹，故公因式 = 3xy逐项除以公因式：6x²y ÷ 3xy = 2x-12xy³ ÷ 3xy = -4y²3x²y² ÷ 3xy = xy检查另一个因式：2x - 4y² + xy 无公因式写结果：3xy (2x - 4y² + xy)进阶示例（含负号与多项式公因式）分解因式：-2a (x+y) + 4b (x+y)步骤：确定公因式：系数最大公因数 2，首项为负，故系数部分 - 2；相同多项式 (x+y)，最低次幂 1，故公因式 =-2 (x+y)逐项除以公因式：-2a(x+y) ÷ [-2(x+y)] = a4b(x+y) ÷ [-2(x+y)] = -2b检查另一个因式：a - 2b 无公因式写结果：-2 (x+y)(a - 2b)（或 2 (x+y)(-a + 2b)，通常将负号放在括号内，即 2 (x+y)(2b - a)）第 5 页：新知讲解 3—— 常见易错点与辨析易错点 1：漏提系数的负号（首项为负时）错误示例：-3x³ + 6x² - 9x = 3x (-x² + 2x - 3)（公因式未含负号，导致另一个因式首项为负，不简便）正确示例：-3x³ + 6x² - 9x = -3x (x² - 2x + 3)（公因式含负号，另一个因式首项为正，更规范）易错点 2：漏项（提取时未除所有项）错误示例：2x² - 4x + 2 = 2x (x - 2)（漏除常数项 2，导致结果错误）正确示例：2x² - 4x + 2 = 2 (x² - 2x + 1)（每一项都除以公因式 2，包含常数项）易错点 3：公因式提取不彻底（另一个因式仍有公因式）错误示例：4x² - 8x = 2x (2x - 4)（另一个因式 2x - 4 仍含公因式 2，提取不彻底）正确示例：4x² - 8x = 4x (x - 2)（公因式取 4x，另一个因式 x - 2 无公因式，提取彻底）易错点 4：混淆公因式与某一项（公因式不能等于某一项）错误示例：x² - x = x (x - 1)（正确，公因式 x≠x² 或 - x）；错误认知：x² - x = x²(1 - 1/x)（公因式 x²，导致另一个因式含分式，非整式）第 6 页：例题解析 —— 分层应用例题 1（基础题：单字母公因式）分解因式：(1) 15a³b² - 25a²b³ + 5a²b；(2) -6x²y³ + 12xy⁴ - 3xy³解答：(1) 公因式 = 5a²b（系数最大公因数 5，相同字母 a²b）原式 = 5a²b (3ab - 5b² + 1)（注意：5a²b÷5a²b=1，不能漏写 “+1”）(2) 公因式 =-3xy³（首项为负，系数最大公因数 3，相同字母 xy³）原式 =-3xy³(2x - 4y + 1)例题 2（进阶题：含多项式公因式）分解因式：(1) 3 (x-2) - x (2 - x)；(2) (a+b)² - 2 (a+b)解答：(1) 先整理符号：2 - x = -(x - 2)，则原式 = 3 (x-2) + x (x - 2)公因式 =(x - 2)，提取后得 (x - 2)(3 + x)(2) 公因式 =(a + b)（相同多项式，最低次幂 1）原式 =(a + b)(a + b - 2)例题 3（实际应用题：面积计算）问题：一个长方形花坛的长为 (2x + 3) 米，宽为 x 米，现从花坛中划出一个边长为 x 米的正方形区域种植花卉，求剩余区域的面积（用因式分解形式表示）解答：花坛总面积 = 长 × 宽 = x (2x + 3)=2x² + 3x花卉区域面积 = x²剩余面积 = 2x² + 3x - x² = x² + 3x因式分解：提取公因式 x，得 x (x + 3)答：剩余区域面积为 x (x + 3) 平方米第 7 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）确定下列多项式的公因式：(1) 4x³ - 6x² + 8x：；(2) -3a²b + 6ab² - 9abc：分解因式：(1) 5x² - 15x = ____；(2) -2a²b + 4ab² - 6ab = ____；(3) 3 (x+y) - 6 (x+y)² = ____下列分解因式正确的是（ ）A. 2x² - 4x = 2x (x - 2) B. -x² + 2x = -x (x + 2) C. 3x³ - 3x = 3x (x² - 0) D. x² - xy = x (x + y)提升题（选做）分解因式：(1) x (x - y) + y (y - x)；(2) 2a²b (x + y)² - 4ab (x + y)³已知 x + y = 5，求代数式 x (x + y) - 3x - 3y + 2 的值（提示：先分解因式，再代入求值）第 8 页：课堂小结与作业布置知识梳理（表格总结）内容关键要点公因式确定三看原则：看系数（最大公因数，首负取负）、看字母（相同字母）、看指数（最低次幂）提取公因式步骤一提（取公因式）、二除（逐项除公因式）、三查（查剩余因式）、四写（写结果）常见易错点漏提负号、漏项、提取不彻底、公因式含分式特殊情况含多项式公因式（如 (x+y)）：将其视为整体，按单字母公因式处理作业布置教材习题 4.2 第 1（所有小题）、3、5 题（基础巩固，规范书写公因式确定过程）提升题（选做）：教材习题 4.2 第 7 题（含多项式公因式的复杂分解）实践任务：用硬纸板制作一个长为 (3x + 2)、宽为 2x 的长方形，从中剪下一个长为 2x、宽为 x 的小长方形，求剩余部分面积并分解因式，验证结果的正确性第 9 页：结束页标语：“提取公因式不难，三看原则记心间；首项为负提负号，逐项相除不漏项”学习提示：下节课将学习 “公式法” 分解因式（平方差公式、完全平方公式的逆用），可提前回顾乘法公式的结构特征（如 a² - b²=(a+b)(a-b)）配图：提取公因式法知识思维导图（含公因式确定、步骤、易错点、应用）2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： .  公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。典例1 指出下列多项式中各项的公因式:      1.提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法，叫作提取公因式法。（提取公因式法的依据是乘法分配律）2.提取公因式法的一般步骤： 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式。典例2 把下列各式分解因式：        典例3 下面添括号正确的是( ) 解析：典例3 下面添括号正确的是( )A 1. [2024合肥三模]将多项式1－4 x2因式分解，正确的是 (　B　)B2. a2－( b － c )2有一个因式是 a ＋ b － c ，则它的另一个因式是(　B　)B3. [2024太原月考]已知 a ， b ， c 是三角形的三边长，那么整式( a － b )2－ c2的值(　B　)B4. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的 a4－⊕＝( a2－ b )( a2＋ b )一部分弄污了，那么你认为式子中的⊕所对应的代数式是(　A　)A5. [2024东营模拟]已知 x ＋ y ＝4， x － y ＝6，则2 x2－2 y2＝ ⁠.【点拨】∵2 x2－2 y2＝2( x2－ y2)＝2( x ＋ y )( x － y )， x ＋ y ＝4， x － y ＝6，∴原式＝2×4×6＝48.48　6. [2023邯郸期末]若2 0232 023－2 0232 021＝2 024×2 023 n ×2 022，则 n 的值是 ⁠.【点拨】∵2 0232 023－2 0232 021＝2 0232 021(2 0232－1)＝2 024×2 0232 021×2 022＝2 024×2 023 n ×2 022，∴ n ＝2 021.2 021　7. [母题教材P117练习T2] 将下列多项式进行因式分解.(1) x2－9 y2；【解】原式＝( x ＋3 y )( x －3 y ).(2) x2－ x4；【解】原式＝ x2(1－ x2)＝ x2(1＋ x )(1－ x ).  8. [2023娄底期末]下面是嘉淇同学把多项式－16 my2＋4 mx2分解因式的具体步骤：利用加法交换律变形，得4 mx2－16 my2.……第一步提取公因式 m ，得 m (4 x2－16 y2).……第二步逆用积的乘方公式，得 m [(2 x )2－(4 y )2].……第三步；运用平方差公式因式分解，得 m (2 x ＋4 y )(2 x －4 y ).……第四步(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ⁠；(2)请写出这个问题的正确解法.【解】原式＝4 m ( x2－4 y2)＝4 m ( x ＋2 y )( x －2 y ).公因式没有提取完　必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！