福建省厦门市湖滨中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市湖滨中学九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是（ ）
A. 4，－1B. 4，1C. －4，－1D. －4，1
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；
【详解】解：5x2－1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2－4x－1=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是−4，常数项是−1.
故选C.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. 天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半时间会下雨
C. 要调查某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命，宜采用全面调查方式
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】由题意根据必然事件的概念、可能性的意义、调查方式的选择及方差的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，此选项错误；
B．天气预报“明天降水概率50%”，是指明天有一半的可能性会下雨，此选项错误；
C．要调查某品牌圆珠笔笔芯的使用寿命，宜采用抽样调查方式，此选项错误；
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，由甲的方差小可得甲的成绩更稳定，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握必然事件的概念、可能性的意义、调查方式的选择及方差的定义与意义．
3. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ）
A. 正九边形B. 正八边形C. 正七边形D. 正六边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
4. 如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等．根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，即可解答．
【详解】解：，
，
故选：D．
5. 点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，图像上的点满足函数解析式．分别把、、各点的坐标代入到中，求出、、的值，再比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：C．
6. 若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”得出向右平移一个单位长度得到抛物线，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：向右平移一个单位长度得到抛物线，
∵点在抛物线上，
∴点向右平移一个单位长度后的点在抛物线上，
∵点向右平移一个单位长度后的点坐标为，
∴在抛物线上，
故选：B．
7. 如图，在中，E是边的中点，交对角线于点F，若，则等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明，即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8. 一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球，有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P，则P的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=
当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=
故摸到的红球的概率为：或
故选：D
【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.
9. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心．
【详解】解，连接FC，PC，
由图可知， ，且，
连接EC，RC，
由图可知， ，且，
连接GC，QC，
由图可知， ，且，
故点C为旋转中心，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键．
10. 已知二次函数（），当时，的取值范围是，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项．
【详解】解：如下图，

根据题意可知，该二次函数图像开口向下，其对称轴为，
∵，
∴与点相比，点更靠近对称轴，
即，整理得，
∴当时，有，
解得；
当时，有，
解得，
综上所述，或，
∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
12. 若是方程的一个根，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
13. 如图，和是直立在地面上的两根立柱，，在阳光下的影长，在同时刻阳光下的影长，则的长为______米．

【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形判定和性质，平行投影，连接，，证明，根据对应边成比例即可求解．
判定和性质，
【详解】解：如图，连接，，
根据平行投影的性质得，
，
又，
，
，即，
解得，
故答案为：6．
14. 一个盒子中有5个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这个过程，共摸了100次球，发现有25次摸到红球，请估计盒子中白球大约有_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】由共摸了100次球，发现有25次摸到红球知摸到红球的概率为0.25，设盒子中白球有个，可得，解之即可．
【详解】解：设盒子中白球大约有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以估计盒子中白球大约有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，解题的关键是用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
15. 如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是___．
【答案】3
【解析】
【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．
【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，
∴BD＝2，
∴．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心，长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上长．
∵，，BC＝2，
∴C到BA中点的距离即，
又∵，
∴CE的最大值即．
故答案为3．
【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．
16. 如图，四边形OABC是矩形，对角线OB在y轴正半轴上，点A在反比例函数y的图像上，点C在反比例函数y的图像上，且点A在第一象限．过点A、C分别作x轴的垂线段，垂足分别为点E、F，则以下说法：①k1k2＝﹣1，②，③阴影部分面积是（k1+k2），④若四边形OABC是正方形，则k1+k2＝0，正确的是________．（填序号）
【答案】② ④
【解析】
【分析】利用比例系数k的几何意义判断①②③，利用∠AOC是直角，结合邻边相等的矩形是正方形证明△OFC和△AEO全等，判断④
【详解】解：∵ 四边形OABC是矩形，
∴ △ OCB≌△ BAO，
∵ CF⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，OF和OE分别对应△ OCB和△ BAO的高，
∴ OE＝OF，
∵点A、C分别在反比例函数y和y图像上，
∴ OE·AE＝|k1|，OF·CF＝|k2|，
∴ |，
故② 符合题意；
∴|k1k2|＝OE·AE·OF·CF＝OE2·AE·CF，
由图易知
∵点E的位置不固定
∴ k1k2的大小也不确定，
故① 不符合题意；
由图像可知，k1＞0，k2＜0，
∴ S阴影＝S△ CFO+S△ OEA（k1﹣k2），
故③ 不符合题意；
若四边形OABC是正方形，如下图，则OC＝OA，
∵∠FCO+∠COF＝90°，∠COF+∠AOE＝90°，
∴∠AOE＝∠FCO，
又∵∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，
∴ △ CFO≌△ OEA（AAS），
∴ CF＝OE＝OF＝AE，
∵OE·AE＝|k1|，OF·CF＝|k2|，
∴|k1|＝|k2|，
∵ k1＞0，k2＜0，
∴ k1＝﹣k2，
∴ k1+k2＝0，
故④ 符合题意；
故答案为：② ④．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、矩形的性质、三角形全等的判定，解题的关键是用k=xy的关系式将线段代入进行化简，从而得到对应的数量关系，容易出错的地方为易忽略的负号．
三、解答题
17. 解方程：
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；根据配方法即可求解．
【详解】解：，
移项得，
配方得，即，
∴，
解得：．
18. 先化简，再求值：，其中a．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：

当a时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19. 如图，分别是的边上的点，，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明．
【详解】解：，
，
，，
，
又，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
20. 如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，求不规则图形的面积．
（1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积．
【小问1详解】
连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
21. 某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均一个人传染多少人？
（2）如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】（1）9人 （2）1000人
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论．
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
小问1详解】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：每轮传染中平均每个人传染了9个人．
【小问2详解】
（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病．
22. 如图，在中，．
（1）若以点A为圆心的圆与边相切于点，请在图中作出点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）在（1）的条件下，若该圆与边相交于点，连接，点为该圆上任意一点不与点、点重合，连接、，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）作线段的垂线即可．
（2）延长，与圆A交于点G，连接，根据切线的性质得到，根据直径所对的圆周角为直角可推出，从而得到，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即可证明．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求，
【小问2详解】
如图，延长，与圆A交于点G，连接，
是的切线，
，
，
，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查作图复杂作图，掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理等知识是解题的关键．
23. 习总书记指出“垃圾分类工作就是新时尚”．为响应垃圾分类处理政策，改善生态环境，某城市将生活垃圾分为三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为，，，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为，，．
（1）小明将垃圾分装在三个袋中分别投放到每个垃圾箱，每袋垃圾仅随机投放到一个垃圾箱，用画树状图或列表的方法求把三个袋子都放错垃圾箱的概率是多少？
（2）某学习小组为了了解该城市生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了一些小区某天三类垃圾箱中共100吨的生活垃圾，数据统计如上表：（单位：吨）调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生500吨生活垃圾．假设该城市每天处理投放正确的垃圾，每天大概可回收多少吨塑料类垃圾的二级原料．
【答案】（1）
（2）16.8吨
【解析】
【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，利用样本估计总体．
（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到把三个袋子都放错位置的结果数，再根据概率公式计算可得；
（2）根据样本，首先求得可回收垃圾量，然后再求塑料类垃圾中投放正确的，再根据每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料计算即可．
【小问1详解】
解：（1）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中把三个袋子都放错位置的有2种结果，
∴；
【小问2详解】
（吨）．
24. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．

（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
【答案】（1）2；30或210
（2）画图见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【小问1详解】
解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：

∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：

∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
【小问2详解】
解：当时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
【小问3详解】
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．
25. 如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点
（1）求抛物线的解析式
（2）如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值
（3）如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）对称性求出点坐标，交点式，得到抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，得到，得到，根据同高三角线面积比得到，进行求解即可；
（3）联立抛物线和直线，得到的坐标，进而得到的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵过原点的抛物线，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入，得：，
∴，
过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则：，

∵，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为；
【小问3详解】
联立，解得：或，
∴，，
∴，
设的解析式为，
则：，
解得 ，
∴，
∴当时，，
∴，
∵，
∴为定值．
30
8
12
2.6
24
3.4
3.2
2.8
14