浙江省海宁市名校中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设第三根木棒长为，由三角形三边关系定理得，
所以的取值范围是，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
3. 一个不等式的解集为，那么在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由数轴表示数的意义可得：当时，先选择时，再根据数轴上表示的数从左到右越来越大，进而画出表示在数轴上即可，
故选D．
4. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据条件和图形可得，，
A、添加不能判定，故此选项符合题意；
B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
C、添加可利用定理判定，故此选项不合题意；
D、添加可利用定理判定，故此选项不合题意．
故选：A．
5. 在Rt中，，，，则（ ）
A. 3B. 4
C. D.
【答案】C
【解析】∵在中，，为斜边，
∴
∵，，
∴
∴
∴
故答案为C．
6. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，满足条件，但不能得出结论，
∴能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，
故选：A．
7. 如图，在中，，由图中的尺规作图得到射线，．与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A. 10B. 9
C. D. 8
【答案】D
【解析】∵在中，，平分,
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵点F为的中点，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由作图知，
∴，
∴，所以依据是，
故选：A．
9. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解，得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴；
故选B．
10. 如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个
C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果，那么_______（用“>”或“
【解析】∵，
∴，
故答案为：>
12. 在中，，则___________．
【答案】
【解析】如图：

，，
，
故答案为：．
13. 如图，在中，，点在的延长线上，，则___________．
【答案】
【解析】是的外角，
，
，
．
故答案为．
14. 直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为_________．
【答案】5或4
【解析】当6和8都为直角三角形的直角边时，
根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为，
斜边上的中线长为；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
斜边上的中线长为，
综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4．
15. 对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为________时，能使？
【答案】5或11
【解析】①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
三、解答题（第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题6分，第23题8分，第24题8分，共52分，请务必写出解答过程）
17. 解下列不等式（组）
（1）
（2）
解：（1），
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
解①，得，
解②，得，，
∴，
∴不等式级解集为．
18. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的高线．
（2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积．
（3）在图③中的找到一点，使．
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
19. 如图，在和中，，，．
求证：．
证明：，
，即，
在和中，
，
．
20. 如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点H．
（1）求证：；
（2）求的大小．
解：（1）与均为等腰直角三角形，
，，
，即，
，
；
（2）设与交于点B，
，
，
又，
；
．
21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
解：（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
22. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
解：（1）如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
23. 已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数．
（1）求m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为．
解：（1）解方程组得：，
∵为负数，为非正数，
，
解得：．
（2）解不等式得，
，
，
，
，
或．
24. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．