山东省淄博市张店区实验中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题

这是一份山东省淄博市张店区实验中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，四象限B．点在这个函数图像上，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．太原市涌现出一批娇小可爱且绿意盎然的“口袋公园”，它们或散落、或隐藏在城市结构中，为市民服务．无论是清晨傍晚的锻炼，还是茶余饭后的散步，口袋公园都是一个好的去处．在某一个公园放置了如图所示的凳子供大家休息，它是由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．C．4D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
5．关于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象位于二、四象限B．点在这个函数图像上
C．图象关于原点对称D．y随x的增大而增大
6．如图，是的直径，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
8．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为（ ）
A．B．4C．D．4.8
9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A．B．C．D．
10．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．二次函数的图像的对称轴是 ．
12．对于反比例函数，当时，的取值范围是 ．
13．已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则 ．
15．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图象上，则______；
(2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点．
18．如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径， 交于点E．且．若，，求．
19．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，csA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
21．如图，直线y=2x+b经过点A（-2，0），与y轴交于点B，与反比例函数交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数于点D，连接AD，CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除O点），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，抛物线与x轴相交于点，C（点C在点B右侧），y轴相交于点，连接，已知面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴，交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移5个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点M的坐标．
…
0
1
2
…
…
…
《山东省淄博市张店区实验中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试题》参考答案
1．D
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上到下看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的用虚线表示．
【详解】解：由图可知，俯视图为：
故选D．
2．B
【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为．从而可求解．
【详解】解：设A点坐标为，
∵轴，
∴
∴
∵，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是解题的关键．
根据二次函数的顶点式性质，可直接得出顶点坐标．
【详解】解：抛物线顶点式为，
则顶点坐标为，
故选：B．
4．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．D
【分析】本题考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图是解题的关键．
根据反比例函数的图判断各选项正误即可．
【详解】解：根据题意得，反比例函数，
选项A、，图位于第二、四象限，则A正确；
选项B、当时，，则点在图上，故B正确；
选项C、反比例函数图关于原点对称，则C正确；
选项D、由于，反比例函数图在每一象限内随的增大而增大，但选项未指定“在每一象限内”，因此说法错误，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长．
【详解】∵AB为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
9．B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据表中的，得到，对称轴，得到，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，，得到，得到，判定④不正确．
本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，是解决问题的关键．
【详解】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为，
∴，抛物线的对称轴是直线，
∴，，a、b异号，
∴，
故①正确；
根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，
∴，
故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t，
∴和3是关于的方程的两个根；
故③正确；
由①知，，，
∴二次函数为，
∵当时，对应的函数值，
∴，
∴，
故④不正确．
∴正确的结论有①、②、③，共3个．
故选：C．
11．直线
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式即可求解．
【详解】解：二次函数的图像的对称轴为直线，
故答案为：直线．
12．
【分析】根据题意，结合反比例函数图像与性质，由反比例函数增减性即可得到答案．
【详解】解：，
当时，，
反比例函数中，，
反比例函数图像在第一、三象限，
当时，在第一象限内随的增大而减小，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，由题中信息确定反比例函数的增减性是解决问题的关键．
13．/
【分析】将一般式化为顶点式，，根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：；
抛物线对称轴为，开口向下，时，y随x的增大而减小，
∵时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉配方法，二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】过点D作于点E．由，可求出，进而由勾股定理可求出．再根据，，可设，则，，从而由可列出关于x的等式，解出x 的值，即可求出，，最后根据勾股定理可求出，进而可求出．
【详解】如图，过点D作于点E．
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
∵，，
∴可设，则，．
∵，
∴
解得：，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．
15．①②③
【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在中，，
，故①正确；
是公共弧，
，故②正确；
，故③正确；
根据已有条件无法推得，故④错误．
综上，正确的是①②③．
故答案为：①②③．
16．(1)3
(2)
【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算；
（2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
17．(1)2
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系：
（1）把代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的符号，即可得证．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点．
18．2
【分析】本题考查垂径定理、三角形中位线性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理可得、，进而得到、，根据平行线的性质可得，再根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理求出的长，利用线段和差关系求解长即可．
【详解】解：
、
、
、
．
19．(1)，且为正整数
(2)售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元
(3)售价时，每个月的利润不低于2200元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，找准等量关系，列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，求最值即可；
（3）先求出时的的值，再根据二次函数的性质，求出取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵每件售价不能高于65元，为正整数，
∴，即：且为正整数；
（2）∵，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∵为正整数，
∴当或时，函数值最大；
此时售价为：或；
答：售价定为55或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元．
（3）当时，，
解得：或，
∵抛物线的开口向下，
∴当时，，
∴当售价，即：售价时，每个月的利润不低于2200元．
20．（1）CE=（2）sin∠BDE=
【分析】（1)由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB=∠B，由余弦定理求出CE;
（2)作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值。
【详解】解：（1)∵ ∠ACB=90°，AC=6，
cs A=
∴
∴AB=10
∴
又∵D为AB中点，
∴ AD=BD=CD= AB=5，
∴∠DCB=∠B，
∴cs∠DCB=
∴cs∠B=
∴
∴CE=
（2)作EF⊥AB交AB于F，
由（1)知CE=
则BE=8-=
DE= =
设BF=x，则
DF=BD-BF=5-x，
在RtΔDEF中，
EF2=DE2-DF2=()2-(5-x) 2
在RtΔBEF中，
EF2=BE2-BF2=
∴
解得x=
∴sin∠BDE=
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键．方程思想是常用的数学思想．
21．（1）b=4，k=6；（2）；（3）存在，E的坐标为（0，-1）或（8，0）
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式中求得b，把C点坐标代入求得的一次函数解析式求得m，得出C点坐标，再把求得的C点坐标代入反比例函数解析式中求得k；
（2）由一次函数解析式求得其函数图象与y轴的交点B的坐标，再根据BD⊥y轴，得D点的纵坐标与B点纵坐标相等，将其纵坐标代入反比例函数解析式求得D点坐标，再根据三角形的面积公式求得△ABD和△BCD的面积，再求其和便可为△ACD的面积；
（3）分两种情况：∠BAE=90°；∠ABE=90°．利用相似三角形的知识进行解答．
【详解】解：（1）∵直线y=2x+b经过点A（-2，0），
∴-4+b=0，
∴b=4，
∴直线y=2x+b为y=2x+4，
把C（m，6）代入y=2x+4中，得6=2m+4，
解得，m=1，
∴C（1，6），
把C（1，6）代入反比例函数y=中，得k=6；
（2）令x=0，得y=2x+4=4，
∴B（0，4），
∵BD⊥y轴于B，
∴D点的纵坐标为4，
把y=4代入反比例函数y=中，得x=，
∴D（，4），
∴BD＝，
∴S△ACD＝S△ABD+S△BCD＝××4+××（6-4）=；
（3）当∠BAE=90°时，如图1，
∵∠BAE=∠BOA=90°，∠ABE=∠OBA，
∴此时△AOB∽△EAB，
∴，即，
∴BE=5，
∴OE=1，
∴E（0，-1），
当∠ABE=90°时，如图2，
∵∠ABE=∠AOB=90°，∠OAB=∠BAE，
∴△AOB∽△ABE，
∴，
∴，
∴OE=AE-AO=10-2=8，
∴E（8，0），
故存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，其坐标为E（8，0）或（0，-1）．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，第（2）小题关键在于把三角形所求三角形的面积分割成两个三角形的面积的和，第（3）小题关键在于分情况讨论．
22．(1)
(2)周长的最大值为，此时
(3)存在；M点坐标为或或
【分析】（1）根据面积为，求出点，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先证明，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，设，则，得出，求出周长的最大值及此时点P的坐标即可；
（3）先求出新抛物线的对称轴为直线，设，求出，，，然后分为菱形的对角线，为菱形的对角线，为菱形的对角线，列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∵面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过，，，
∴过，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
∴
，
∴当时，周长的最大值为，此时．
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴向左平移5个单位长度得到新抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴由勾股定理得，
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得，
∴；
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得：，
∴或；
当AM为菱形的对角线时，，
∴，此方程无解，
∴不存在以AM为对角线的菱形；
综上所述：M点坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
A
D
D
C
C
B
C