第2章 实数 单元提优卷 2025-2026学年北师大版八年级数学上册（含答案）

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第2章 实数 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是(    ) A. −3 B. 0 C. 23 D. π 2.估算2+ 19的值应在(    ) A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 3.已知3326≈6.882，若3x≈68.82，则x的值约为  (    ) A. 326000 B. 32600 C. 3.26 D. 0.326 4.若一个自然数的平方根是±a(a≥0)，则与其相邻的下一个自然数的平方根为  (    ) A. ±(a+1) B. ±a+1 C. ± a2+1 D. ± a+1 5.若式子 2m−3有意义，则m的取值范围是(    ) A. m≤23 B. m≥−32 C. m≥32 D. m≤−23 6.估计(2 5+5 2)× 15的值应在  (    ) A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7.若3x−3−32x+1=0，则x2+x−3的算术平方根为  (    ) A. 3 B. 2 C. 3和−3 D. 2和−2 8.将一组数 2，2， 6，2 2， 10，2 3，…， 2n，…按以下方式进行排列，则第八行左起第1个数是  (    ) A. 7 2 B. 8 2 C. 58 D. 4 7 9.在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60 cm3，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了0.8 cm，则溢水杯内部的底面半径为(π取3)  (    ) A. 75cm B. 8 cm C. 20cm D. 5 cm 10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF.下列结论：①∠EAF=45°；②BE=CD；③EA平分∠CEF；④BE2+DC2=DE2.其中正确的结论是  (    ) A. ②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a=          ． 12.实数a在数轴上的位置如图所示，化简：|a−2|+ a2−2a+1=           ． 13.在Rt△ABC中，已知两边长为5，12，则第三边的长为          ． 14.已知n是正整数， 54n是整数，则n的最小值为          ． 15.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S= pp−ap−bp−c.若a=5，b=8，c=7，其面积S的整数部分为m，则m的值为          ． 16.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O=90°)，若OA=50 cm，OB=28 cm，则点C离地面的距离是          cm． 17.对于实数p，我们规定：用{ p}表示不小于 p的最小整数.例如：{ 4}=2，{ 3}=2.现在对72进行如下操作：72第1次{ 72}=9第2次{ 9}=3第3次{ 3}=2，即对72只需进行3次操作就变为2.类比上述操作，若对正整数n只需进行3次操作就变为2，则n的最大值为          ． 18.对于实数p，我们规定：用 p表示不小于 p的最小整数．例如： 4=2， 3=2.现在对72进行如下操作：72→第1次{ 72}=9→第2次{ 9}=3→第3次{ 3}=2，即对72只需进行3次操作就变为2.类比上述操作，若对正整数n只需进行3次操作就变为2，则n的最大值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(1)计算：3−27− 0− 14+30.125+31−6364 (2)解方程：43x+1 2−1=0 20.计算：(1)( 48−4 18)−(3 13−2 0.5) (2)(7+ 3)(7−4 3)−(3 5−1)2． 21.(本小题8分) 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段．  (本小题8分)用电器的电阻R、功率P与它两端的电压U之间有关系：P=U2R.有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为18.4Ω，乙的电阻为20.8Ω.现测得某用电器两端电压在150V与170V之间，功率为1500W，该用电器到底是甲还是乙？ 23.(本小题8分) a2=|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．(1)化简： (−4)2= ______， (3−π)2= ______．(2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 a2−|1−a|+ (1−b)2．  24.(本小题8分)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：−9，−4，−1这三个数， −9×−4=6， −9×−1=3， −4×−1=2，其结果6，3，2都是整数，所以−1，−4，−9这三个数称为“完美组合数”． (1)−18，−8，−2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数−3，m，−12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 25.(本小题8分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b 2=(m+n 2)2=m2+2n2+2mn 2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若a+b 7=(m+n 7)2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=        ，b=        ；(2)若a+6 3=(m+n 3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简下列格式：① 5+2 6 ② 7−2 10 ③ 4− 10+2 5+ 4+ 10+2 5． 26.(本小题8分) 为什么说 2不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设 2是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得 2=pq，两边平方得2=(pq)2，即p2=          ． ① 故p2是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设p=2s(s是正整数)，代入 ①得，q2=          ． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质.这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明， 2不能写成分数的形式，即 2不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明32不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为700cm2，长与宽的比为5:4，曹同学想从中裁出半径为12cm的圆形画纸，她的想法可行吗?请说明理由．