人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形导学案

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【知识点1 等边三角形的性质】
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
【典题练习】
【例1】如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
【练1.1】已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，AD=CE，求∠BOD的度数.
【练1.2】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求证：CF=CH；
【知识点2 等边三角形的判定】
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【典题练习】
【例2】如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，BD=CE，∠1=∠2，试判断△ADE的形状并说明理由．
【练2】如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF求证：△DEF为等边三角形，．
【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.
又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，
所以BC=12AB.由此可以得到上述结论.
【典题练习】
【例3】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则AC的长为
【练3】如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，∠ABC=30°，则△ABC的面积为 ．
【能力闯关】
1.如图，过等边三角形ABC的顶点A作直线．若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
2.下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠C
C．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC
3.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，作DE∥AB交AC的延长线于E．若AB=5,AE=8，则DE的长为（ ）
A．3B．5C．7D．8
4.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．若BE=2，AE=8，则CE的长是________________.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．

(1)求证：OC=AD；
(2)在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果改变，请说明理由；
(3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？
16.某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边△ABC，并在AC边上取了一定点E（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题：
【问题发现】
（1）请在图1中画一个等边三角形CEF（点F在BC边上）；
【问题探究】
（2）如图2，点D为BC边上任一个点，连接DE，以DE为边在其右侧作等边△DEF，连接CF，试探究线取CF、CD、CE之间的数量关系；
【问题解决】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O）北偏西30°的点E处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点D处，两舰艇同时监测到敌舰在点F处，且D，E，F三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离．