高一数学第五章 三角函数（单元测试·冲刺卷）（答案及评分标准）高一数学同步培优学案（人教A版2019必修第一册）

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2025-2026学年高一数学单元测验卷第5章 三角函数（考试时间：120分钟，分值：150分）第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2025高一·海南海口·期中）下列各角中，与2025°角终边相同的是（   ）A．225°B．C．45°D．【答案】A【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即得.【详解】因，即与的终边相同.对于A，由上分析可得，故A正确；对于B，因不是的整倍数，故B错误；对于C，因不是的整倍数，故C错误；对于D，因不是的整倍数，故D错误.故选：A.2．（2025高一·安徽·阶段练习）已知扇形的周长为8，面积为4，则扇形圆心角的弧度数为（    ）A．2B．2或C．4D．4或2【答案】A【分析】利用扇形弧长、面积与半径、圆心角的数量关系列方程组，求解即得.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为弧度，依题意有，，解得，故圆心角弧度.故选：A.3．（2025高三·北京通州·期中）已知角终边经过点，且，则（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由终边上的点及三角函数定义求得，进而求余弦值.【详解】根据三角函数定义得，故，则．故选：A4．（2025高一·北京西城·期中）如果，则（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解.【详解】由，得.故选：B5．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可.【详解】由题意结合诱导公式得，因为，所以，则，因为，所以，解得（负根舍去），可得，故B正确.故选：B6．（2025高二·河北秦皇岛·期中）已知角，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可.【详解】由，，则，则，，所以.故选：B.7．（2025高一·贵州·期中）已知定义在上的函数，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可.【详解】∵设，，所以为奇函数.易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增.因为不等式，即得，所以，所以，因为函数的定义域为，所以且，所以，又函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：A.8．（2025高一·北京·期中）关于函数，有下述四个结论：①是偶函数；        ②在区间单调递增；③在有3个零点；    ④的最大值为2．其中正确结论的序号是（   ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，①正确；分别在和两种情况下求得解析式，结合偶函数的对称性可得图象，结合图象可判断出②③④的正误.【详解】的定义域为，且，为偶函数，①正确；当时，；当时，；又为偶函数，图象关于轴对称，则可得图象如下图所示：  由图象可知：在上单调递减，②不正确；在上有，和三个零点，③正确；，由图象可知，④正确.故选：C选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（2025高一·山东日照·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ）A．的最大值为1B．的图象的相邻两条对称轴之间的距离为C．的图象关于直线对称D．在上的单调递增区间为【答案】AC【分析】对于A，由于即可判断；对于B，验算半个周期即可；对于C，直接验算时，函数是否取最值即可；对于D，由整体代入法算出在上的单调递增区间为即可判断.【详解】对于A，显然的最大值为1，故A正确；对于B，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，令，则，所以在上的单调递增区间为，故D错误.故选：AC.10．（2025高一·甘肃白银·期中）若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（   ）A．0B．C．D．2【答案】ABC【分析】应用三角恒等变化得出解析式，结合角的范围结合解的个数计算求参即可.【详解】设函数，则．由，得．由在上恰有两个不同的实数解，结合正弦函数的图象，得．故选：ABC.11．（2025高一·江苏盐城·期中）若函数在一个周期内的图象如图所示，则（   ）  A．的最小正周期为3πB．的增区间是C．是奇函数D．将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象【答案】AB【分析】由函数最值求解A，由周期求ω，结合特殊点的函数值求，即得函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可．【详解】对于A，由图，，函数的最小正周期满足，则，故A正确；对于B，由A可得，则，又因图象过点，则，即，因，所以则得令，解得，故B正确；对于C，，因函数的定义域为，其图象显然不经过点，故不是奇函数，即C错误；对于D，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）可得，故D错误．故选：AB．第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2025高一·广东汕头·期中）若，则 ．【答案】【分析】将已知条件两边平方得，再由商数关系及平方关系求目标式的值.【详解】由，则，.故答案为：13．（2025高一·上海·开学考试）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．【答案】【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围.【详解】由，则，由题意在上单调递增，且，所以，则，故，综上，，则，故.故答案为：14．（2025高一·上海嘉定·期中）已知函数且给出下列三个命题：（1）该函数的值域为;（2）当且仅当时，;（3）对任意恒成立.上述命题中正确的序号是 【答案】（2）（3）【分析】根据解析式及三角函数的性质得，画出大致图象，数形结合判断（1）（2），讨论自变量研究恒成立判断（3）.【详解】由解析式易得，函数部分大致图象如下，由图知，值域为且最小正周期为，所以（1）错，（2）对，当时，，当时，，当时，，所以对任意恒成立，（3）对.故答案为：（2）（3）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）（2025高一·上海·期中）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可；（2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值【详解】（1）由，所以（2）16．（15分）（2025高一·江苏南通·期中）已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案；（2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，故，故；（2）由于，且，则，结合，可得，结合（1）可得，而，故，由于，故.17．（15分）（2025高一·广东深圳·期末）已知函数.(1)当时，，求的取值范围；(2)求的值域；(3)当时，，求的最大值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）由由，可得，结合二次函数性质即可求得答案；（2）令，化简可得，分类讨论，讨论对称轴和已知区间的位置关系，即可求得答案；（3）讨论a的取值范围，结合题意可得相应不等式组，进而求出关于b的不等关系，从而可得的不等式，继而求得答案.【详解】（1）时，，由，得，而，当时，取最小值，故（2），令，则，当时，在上单调递减，则，，故函数值域为；同理，当时，，，此时函数值域为，当时，，，此时函数值域为，当时，，，故函数值域为；综上可得，当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为，当时，值域为.（3）当时，易知；当时，，则，；因此当时，由（2）知，即，由于，所以，故，则；当时，则，即，即，由于，所以，所以，故；当时，则，即，即，由于，所以，所以，故；当时，，则，；当时，由（2）知，即，由于，所以，所以，故；综合上述可知当时，取到最大值，最大值为.18．（17分）（2025高一·江苏南通·期中）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”.(1)若为函数的“平衡点对”，求的值；(2)若，当且成立时，求的最大值.【答案】(1)或者；(2)1.【分析】（1）根据“平衡函数”的定义列出等式，利用三角函数化简，即可求解；（2）由“平衡函数”的定义结合三角函数恒等变换可得，，两式相除结合二倍角余弦公式可得，再根据的范围计算即可得解.【详解】（1）由题，可得，对任意的成立，即，化简整理得，即，对任意的成立，，即，或，.（2）由，均为的“平衡点对”，则有，，，又，则，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.19．（17分）（2025高一·辽宁大连·期中）大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；(2)当时，求加温带的长；(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．【答案】(1)，；(2)．(3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．【分析】（1）利用直角三角形边角关系列式求出函数关系及定义域.（2）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算得解.（3）确定费用最低的条件，并设，利用辅助角公式及和和角的正弦公式求出的范围，再借助函数单调性求出最小值.【详解】（1）在中，由，得，，又中，由勾股定理得，因此，当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，所以函数关系式为，定义域为.（2）由（1）知，因此，于是.（3）依题意，要使费用最低，只需最小即可，由（1）得，设，则，，，由，得，，于是，令，函数在上为增函数，则当时，最小，且最小值为，此时，所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．