3.1 确定位置（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

3.1 确定位置在日常生活中，我们经常需要确定物体的位置。比如，在电影院找座位、在地图上查找景点、向他人描述自己的位置等。那么，如何准确、简洁地确定一个物体在平面内的位置呢？本节将学习几种常用的确定位置的方法，探究平面内确定位置的基本原理。一、生活中的位置问题在现实生活中，确定位置的场景无处不在：电影院里，观众需要根据电影票上的 “排数” 和 “座号” 找到自己的座位，如 “5 排 3 号”；教室里，同学们的座位可以用 “第几组第几号” 来表示，如 “第 3 组第 4 号”；地图上，每个城市或景点都有对应的经纬度，通过经纬度可以精确确定其地理位置；军事演习中，需要用方位角和距离来确定目标的位置，如 “北偏东 30° 方向，距离 5 千米处”。这些场景虽然不同，但都遵循一个共同的原则：在平面内确定一个物体的位置，需要两个独立的信息。这两个信息就像一把 “钥匙”，能唯一锁定物体的位置。二、用有序数对确定位置（一）有序数对的概念在数学中，我们常用有序数对来确定平面内点的位置。有序数对是指由两个有顺序的数组成的数对，通常记作\((a, b)\)，其中\(a\)和\(b\)分别表示不同的含义，且顺序不能颠倒。例如，在电影院中，“5 排 3 号” 可以表示为有序数对\((5, 3)\)，这里的第一个数 “5” 表示排数，第二个数 “3” 表示座号。（二）平面直角坐标系的雏形为了更系统地用有序数对确定位置，我们可以在平面内画两条互相垂直的数轴：水平方向的数轴称为横轴（或 x 轴），竖直方向的数轴称为纵轴（或 y 轴），两条数轴的交点称为原点。这时，平面内的任意一点都可以用一对有序数对\((x, y)\)来表示，其中\(x\)是该点在横轴上对应的数，\(y\)是该点在纵轴上对应的数。例如，在方格纸上，若以左下角为原点，向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向，那么图中 A 点的位置可以表示为\((2, 3)\)，即该点在 x 轴上对应的数是 2，在 y 轴上对应的数是 3。（三）例题解析例 1：如图是某教室座位分布示意图，其中横行表示排数，纵列表示列数。（1）用有序数对表示小明和小红的位置；（2）有序数对\((4, 2)\)和\((2, 4)\)表示的位置相同吗？为什么？解：（1）若以第 1 排第 1 列为起点，小明在第 2 排第 3 列，用有序数对表示为\((2, 3)\)；小红在第 3 排第 1 列，用有序数对表示为\((3, 1)\)。（2）不相同。有序数对\((4, 2)\)表示第 4 排第 2 列的位置，而\((2, 4)\)表示第 2 排第 4 列的位置，两者顺序不同，对应的位置也不同。注意：有序数对中两个数的顺序至关重要，顺序不同，所表示的位置也不同，即\((a, b) \neq (b, a)\)（当\(a \neq b\)时）。三、用方位角和距离确定位置（一）方位角的概念在平面内，除了有序数对，我们还可以用方位角和距离来确定物体的位置。方位角是指从正北或正南方向到目标方向所形成的锐角，通常以 “北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西” 的形式表示。例如，“北偏东 60°” 表示从正北方向向东偏转 60° 的方向。（二）确定位置的步骤用方位角和距离确定位置时，需要明确以下两个要素：方位角：确定物体所在的方向；距离：确定物体与观测点之间的长度。只有同时知道这两个信息，才能唯一确定物体的位置。（三）例题解析例 2：如图，在一次海上搜救行动中，搜救艇在观测点 O 处发现了一艘遇险船。已知遇险船在观测点 O 的北偏东 30° 方向，距离观测点 10 海里处。请描述遇险船相对于观测点 O 的位置。解：遇险船在观测点 O 的北偏东 30° 方向，且与观测点 O 的距离为 10 海里。根据方位角和距离的表示方法，遇险船的位置可描述为：北偏东 30°，10 海里处。例 3：在一次军事演习中，雷达监测到敌方目标在我方基地的南偏西 45° 方向，距离基地 5 千米处。请画出敌方目标相对于我方基地的位置示意图。解：以我方基地为观测点 O，画一条表示正北方向的射线 ON 和一条表示正南方向的射线 OS；从正南方向 OS 向西偏转 45°，画出表示南偏西 45° 方向的射线；在这条射线上，以 O 为起点，截取长度为 5 千米的线段 OA，点 A 即为敌方目标的位置。注意：方位角的取值范围是 0° 到 90°，描述时要明确 “北” 或 “南” 在前，“东” 或 “西” 在后，例如 “东偏北 30°” 的表述是不规范的，应表述为 “北偏东 60°”。四、其他确定位置的方法（一）区域定位法在一些情况下，我们可以将平面划分为若干个区域，通过指明物体所在的区域来确定其位置。例如，城市中的邮政编码、街道门牌号等。邮政编码通过 6 位数字将全国划分为不同的邮区、县（市）、投递局，从而确定信件的投递区域；街道门牌号如 “幸福路 123 号”，通过街道名称和门牌号确定具体的建筑物位置。（二）经纬度定位法在地理学中，人们用经度和纬度来确定地球表面任意一点的位置。经度是指通过某地的经线与本初子午线的夹角，纬度是指通过某地的纬线与赤道的夹角。例如，北京的经纬度大约是东经 116°，北纬 40°，通过这两个数据可以精确确定北京在地球上的位置。五、确定位置的基本原理无论采用哪种方法确定位置，其核心原理都是需要两个独立的参数。在平面内，一个参数只能确定物体在一条直线上的位置，而两个独立的参数才能唯一确定物体在平面内的位置。例如：有序数对\((x, y)\)中，\(x\)和\(y\)是两个独立的参数，分别对应横轴和纵轴上的坐标；方位角和距离中，方位角确定方向，距离确定远近，两者也是独立的参数。这一原理体现了平面内 “二维” 空间的特点，与直线上 “一维” 空间只需一个参数确定位置（如数轴上的点）形成对比。六、常见误区忽略有序数对的顺序：在使用有序数对确定位置时，误将顺序颠倒，导致位置描述错误。例如，将 “3 排 5 号” 表示为\((5, 3)\)，而正确的表示应为\((3, 5)\)。方位角表述不规范：将方位角表述为 “东偏北”“西偏南” 等形式，而正确的表述应为 “北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”。例如，“东偏北 30°” 应规范表述为 “北偏东 60°”。遗漏距离参数：仅用方位角描述位置，而未说明距离，导致位置无法唯一确定。例如，只说 “目标在北偏西 20° 方向”，但未说明距离观测点多远，这样的描述无法准确找到目标。混淆不同定位方法的适用场景：在需要精确位置的场景中使用区域定位法，或在区域划分场景中使用经纬度定位法，导致定位效果不佳。例如，在教室找座位时用经纬度描述，显然不符合实际需求。七、课堂总结确定位置的必要性：在生活、生产、科学研究等领域，准确确定位置是进行交流和操作的基础。常用方法：有序数对：通过两个有顺序的数\((a, b)\)确定位置，顺序不同则位置不同；方位角和距离：通过方向（方位角）和长度（距离）确定位置，需明确 “北偏东 / 西”“南偏东 / 西” 及具体角度和距离；其他方法：如区域定位法、经纬度定位法等，适用于不同的场景。核心原理：平面内确定位置需要两个独立的参数，这是由平面的二维特性决定的。通过本节学习，我们掌握了几种常用的确定位置的方法，理解了平面内确定位置的基本原理。在实际应用中，应根据具体场景选择合适的定位方法，确保位置描述准确、简洁。八、课后作业如图是某小区的平面示意图，每个住宅楼用字母标注，楼前有编号为 1、2、3、4 的小花园。（1）用有序数对表示住宅楼 A 和小花园 3 的位置（以小区左下角为原点，向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向）；（2）有序数对\((4, 2)\)表示的是哪个位置？如图，在一次野外探险中，探险队在营地 O 处发现了两个景点：景点 A 在营地的北偏东 45° 方向，距离营地 2 千米处；景点 B 在营地的南偏西 30° 方向，距离营地 3 千米处。请画出这两个景点相对于营地的位置示意图。举例说明生活中其他确定位置的方法，并说明所用到的两个独立参数是什么。判断下列说法是否正确：（1）有序数对\((2, 5)\)和\((5, 2)\)表示的位置相同；（2）描述位置时，只要知道方位角就可以确定物体的位置；（3）在平面内，确定一个物体的位置需要两个独立的信息。2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过理解用有序数对表示物体在平面内所在的位置，灵活运用不同的方式确定物体的位置，提高学生的数形结合意识、形象思维能力和数学应用能力．2．通过经历在现实生活中确定物体位置的过程，感受确定物体位置的多种方法，提高学生的抽象能力；3．感受现实生活中确定位置的必要性，发展学生的思维能力．重点难点旧识回顾回顾一下在数轴上是如何确定点的位置的？在数轴上每个点都对应一个实数，实数与数轴上点的位置是一一对应的．情境导入在电影院内如何找到电影票上指定的位置？游戏导入游戏：沙场点兵 游戏规则：给出一有序数对，该位置上的同学起立并喊“到”.（2，4）（4，2）（5，8）（1，5）（3，6）（1，7）问题1 同学们都有去影剧院看电影的经历，你怎么找到自己的座位？　　根据入场卷上的“排数”和“号数”便可以准确地“对号入座”．有序数对的概念追问 在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？答:两个数据:排数和号数.问题2 你若发现一本书某页有一处印刷错误，怎样告诉其他同学这一处的位置？　　说明该页上“第几行”和“第几个字”，同学就可以快速找到错误的位置了．追问 在一本书的一页内，确定一个字的位置一般需要几个数据？答:两个数据:行数和个数.问题3 如图是一个教室平面图，你能根据以下座位找到对应的同学参加数学问题讨论吗？（1，3），（4，2），（5，6），（4，5），（6，2），（2，4）．　　在教室里排数与列数的先后顺序没有约定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学.追问1 假设在问题3中约定“列数在前，排数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？追问2 由上面可知，“第1列第3排”简记为（1，3）（约定列在前，排在后），那么“第3列第5排”能简记成什么？（6，7）表示的含义是什么？答：“第3列第5排” 记为（3，5）；（6，7）表示的含义是第6列第7排．追问3 同样约定“列数在前，排数在后”，（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？答：二者不在同一个位置．因为（2，4）表示第2列第4排，（4，2）表示第4列第2排．追问4 假设在问题3中约定“排数在前，列数在后”，你能在图中标出参加数学问题讨论的同学的座位吗？　 上面的活动是通过像“第2列第4排、第5列第6排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示列，后边的表示排，我们把这种有顺序的两个数 a与b 所组成的数对，记作（a， b）． 问题4 现在给出班里一部分同学的姓名，约定“列数在前，排数在后”，你能快速说出这些同学座位对应的有序数对吗？ 追问 如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？ 我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，记做（a, b）.数对的概念提示:（a,b）与（ b,a）是两个不同的数据. 做一做 “怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图中的●标志表示“怪兽”先后经过的几个位置，如果用(1,2)表示“怪兽”经过的第2个位置，那么你能用同样的方式表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？排列(3,2)(4,3)(3,3)(4,5)(5,4)(5,5)(7,4)(7,3)(8,3)(1,1)(1,2)在生活中,哪些娱乐、学习等用到确定物体的位置方法呢?右图：若黑马的位置用（3，7）表示，请你用有序数对表示黑马可以走到的哪几个位置.（1，6）（1，8）（2，9）（4，9）（5，6） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1514 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1ABCDEFG　（1）图中五角星五个顶点的位置如何表示？C点是(7，10)D点是(3，7)E点是(4，2)F点是(10，2)G点是(11，7)（2）图中(6，1)，(10，8)，位置上分别是什么物体？分别表示足球和草莓.答:（1）（2） 如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20 n mile），对我方潜艇O来说：O例用方位角、距离确定位置˚40˚O1cm1cm(1) 北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据 ?解:有敌方舰艇B和小岛；还需要敌方舰艇B与我方潜艇O的距离.(2) 距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?解:有敌舰A和敌舰C.解:要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：距离和方位角.如，对我方潜艇O来说，敌舰A在正南方向，距离为20 n mile处；敌舰B在北偏东40°的方向，距离为28 n mile处；敌舰C在正东方向，距离为20 n mile处.˚40˚O1cm1cm(3) 要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据?1.4cm 如图，货轮与灯塔相距40n mile,如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？解：(1)灯塔在货轮南偏东50°方向，且相距40n mile； (2)货轮在灯塔北偏西50°方向，且相距40n mile. 区 域 划 分若用C3表示“天”，请按下列顺序组成两句话：① B4 A3 B3 E4② B4 C2 D4 C5 A1 D3 E1答案:①我爱数学②我非常喜欢唱歌用区域法确定位置如右图，方块中用(C,3)表示“天”那么按下列要求排列会组成一句什么话，把它读出来. (A,5 ) (A,3) (C,4 ) (E,5 ) (B,1) (C,2) (B,4) (E,3) (E,1) (C,5) (D,4) (A,1) (D,3) 预祝此次片区活动 圆满成功！解：讨论 在地球上如何确定城市的位置？ 在地球上有横线和竖线，连接两极点的竖线叫经线，垂直于经线的横线圈为纬线.根据经纬线可以确定地球上任何一点的正确位置.用经纬法确定位置 做一做 据新华社报道，2008年5月12日 14:28，我国四川省发生里氏8.0级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县境内，即北纬31˚，东经 103.4 ˚.这是新中国成立以来破坏最强、波及范围最大的一次地震.你能在地图上找到震中的大致位置吗？北京： 东经116° 北纬40° 在图上，你能指出北京的位置吗？知识点1 行列定位法 BA.3街3巷B.6街3巷C.3街6巷D.6街6巷 返回 5754 返回知识点2 方位角和距离定位法 D（第3题）  返回  （第4题） 返回知识点3 经纬度定位法 C  返回知识点4 区域定位法 A  返回  （第7题） 返回确定位置数对法方位法经纬度法区域定位法必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！