6.1 几何图形（课件）浙教版2025-2026学年七年级数学上册

幻灯片 1：封面标题：5.5 一元一次方程的应用副标题：用方程解决实际问题姓名：[教师姓名]日期：[授课日期]幻灯片 2：教学目标学会分析实际问题中的数量关系，找出等量关系。能根据等量关系列出一元一次方程，解决实际应用问题。掌握列方程解应用题的一般步骤，提高解决问题的能力。感受方程在解决实际问题中的作用，培养数学建模思想。幻灯片 3：列方程解应用题的一般步骤列一元一次方程解决实际问题，通常遵循以下步骤：审清题意：认真阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。设未知数：选择一个适当的未知量设为未知数，一般用 x 表示，必要时注明单位。设未知数有直接设法（问什么设什么）和间接设法（设与问题相关的另一个量）。找出等量关系：这是列方程的关键。分析题目中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的一个等量关系。列方程：根据找到的等量关系，用含未知数的代数式表示等量关系中的各个量，列出一元一次方程。解方程：按照一元一次方程的解法求出未知数的值。检验并作答：检验所求的解是否符合题意（包括实际意义和方程的解），然后写出答案，注明单位。幻灯片 4：和差倍分问题问题特点：涉及数量之间的和、差、倍、分关系，如 “A 比 B 多多少”“A 是 B 的几倍”“A 占 B 的几分之几” 等。等量关系：根据题目中的和、差、倍、分关键词确定等量关系。例 1：某班共有学生 50 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 10 人，求男、女生各有多少人。分析：设女生人数为 x 人，则男生人数为 (2x - 10) 人。等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数。解：列方程 x + (2x - 10) = 50；去括号得 x + 2x - 10 = 50；移项得 3x = 60；x = 20。男生人数：2×20 - 10 = 30（人）。答：女生有 20 人，男生有 30 人。例 2：学校图书馆买来一批新书，其中故事书比科技书多 120 本，故事书的本数是科技书的 3 倍，求故事书和科技书各有多少本。分析：设科技书有 x 本，则故事书有 3x 本。等量关系：故事书的本数 - 科技书的本数 = 120。解：列方程 3x - x = 120；合并同类项得 2x = 120；x = 60。故事书：3×60 = 180（本）。答：科技书有 60 本，故事书有 180 本。练习：甲、乙两数的和是 80，甲数是乙数的 3 倍，求甲、乙两数各是多少。幻灯片 5：行程问题问题特点：涉及路程、速度、时间三者之间的关系，基本公式为：路程 = 速度 × 时间（s = vt）。常见类型有相遇问题、追及问题等。等量关系：相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程。追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离。例 1：甲、乙两车分别从相距 300 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米，经过几小时两车相遇？分析：设经过 x 小时两车相遇。等量关系：甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = 300 千米。解：列方程 60x + 40x = 300；合并同类项得 100x = 300；x = 3。答：经过 3 小时两车相遇。例 2：小明以每小时 5 千米的速度从家步行去学校，出发 15 分钟后，爸爸发现他忘带课本，立即以每小时 15 千米的速度骑车追赶，爸爸多长时间能追上小明？分析：15 分钟 = 0.25 小时，设爸爸 x 小时能追上小明。等量关系：爸爸行驶的路程 = 小明先行驶的路程 + 小明后行驶的路程。解：列方程 15x = 5×0.25 + 5x；移项得 15x - 5x = 1.25；10x = 1.25；x = 0.125（小时）= 7.5 分钟。答：爸爸 7.5 分钟能追上小明。练习：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈长 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，两人同时同地同向出发，经过多长时间甲第一次追上乙？幻灯片 6：工程问题问题特点：涉及工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系，基本公式为：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。通常将工作总量看作单位 “1”。等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量。例 1：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要几天完成？分析：设两人合作需要 x 天完成。甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 1。解：列方程\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{x}{15}\) = 1；去分母得 3x + 2x = 30；5x = 30；x = 6。答：两人合作需要 6 天完成。例 2：一项工作，甲单独做需 20 小时完成，乙单独做需 12 小时完成。现在先由甲单独做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需要几小时完成？分析：设剩下的部分需要 x 小时完成。甲的工作效率为\(\frac{1}{20}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{12}\)。等量关系：甲先做的工作量 + 甲、乙合作的工作量 = 1。解：列方程\(\frac{4}{20}\) + (\(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{12}\)) x = 1；化简得\(\frac{1}{5}\) + (\(\frac{3}{60}\) + \(\frac{5}{60}\))x = 1；\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{8}{60}\)x = 1；\(\frac{2}{15}\)x = \(\frac{4}{5}\)；x = 6。答：剩下的部分需要 6 小时完成。练习：一件工作，甲单独做 6 天完成，乙单独做 8 天完成，两人合作 2 天后，剩下的由乙单独做，还需要几天完成？幻灯片 7：利润问题问题特点：涉及成本、售价、利润、利润率等概念，基本公式有：利润 = 售价 - 成本；利润率 = \(\frac{利润}{成本}\)×100%；售价 = 成本 ×(1 + 利润率)。等量关系：根据利润、利润率等公式确定等量关系。例 1：某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 20 元，这件商品的进价是多少元？分析：设这件商品的进价是 x 元。标价为 (1 + 50%) x = 1.5x 元，售价为 0.8×1.5x = 1.2x 元。等量关系：售价 - 进价 = 利润。解：列方程 1.2x - x = 20；0.2x = 20；x = 100。答：这件商品的进价是 100 元。例 2：某商品的进价为每件 200 元，标价为每件 300 元，打折销售时的利润率为 5%，此商品是按几折销售的？分析：设此商品是按 x 折销售的。售价为 300×\(\frac{x}{10}\)元。等量关系：售价 - 进价 = 进价 × 利润率。解：列方程 300×\(\frac{x}{10}\) - 200 = 200×5%；30x - 200 = 10；30x = 210；x = 7。答：此商品是按 7 折销售的。练习：某商店购进一批服装，每件进价为 100 元，售价为 160 元，当卖出这批服装的一半多 10 件时，正好收回成本，这批服装共有多少件？幻灯片 8：数字问题问题特点：涉及数字的表示，如一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，则这个两位数可表示为 10a + b。等量关系：根据数字的位置变化或数量关系确定等量关系。例 1：一个两位数，十位数字与个位数字的和是 7，若把十位数字与个位数字对调，得到的新两位数比原两位数大 9，求原两位数。分析：设原两位数的十位数字为 x，则个位数字为 (7 - x)。原两位数为 10x + (7 - x) = 9x + 7，新两位数为 10 (7 - x) + x = 70 - 9x。等量关系：新两位数 - 原两位数 = 9。解：列方程 (70 - 9x) - (9x + 7) = 9；70 - 9x - 9x - 7 = 9；63 - 18x = 9；-18x = -54；x = 3。个位数字：7 - 3 = 4，原两位数为 34。答：原两位数是 34。例 2：一个三位数，百位数字是十位数字的 2 倍，个位数字比十位数字小 1，若把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原三位数小 396，求原三位数。分析：设原三位数的十位数字为 x，则百位数字为 2x，个位数字为 (x - 1)。原三位数为 100×2x + 10x + (x - 1) = 211x - 1，新三位数为 100 (x - 1) + 10x + 2x = 112x - 100。等量关系：原三位数 - 新三位数 = 396。解：列方程 (211x - 1) - (112x - 100) = 396；211x - 1 - 112x + 100 = 396；99x + 99 = 396；99x = 297；x = 3。百位数字：6，个位数字：2，原三位数为 632。答：原三位数是 632。练习：一个两位数，个位数字是十位数字的 3 倍，若把这个两位数的十位数字与个位数字对调，得到的新两位数比原两位数大 36，求原两位数。幻灯片 9：列方程解应用题的易错点解析易错点 1：审题不清，等量关系错误。例如，在行程问题中，混淆相遇和追及的等量关系，导致列错方程。易错点 2：单位不统一。例如，时间单位分钟和小时未统一，速度单位千米 / 小时和米 / 分钟未统一。易错点 3：设未知数后未注明单位，或作答时遗漏单位。易错点 4：检验时只看方程的解是否正确，忽略实际意义。例如，求出人数为负数或小数，未发现错误。举例辨析：问题：小明买 3 支钢笔和 2 本笔记本花了 20 元，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，求每本笔记本的价格。错误解答：设每本笔记本 x 元，列方程 3x + 2 (x + 2) = 20（混淆钢笔和笔记本的价格关系）。正确解答：设每本笔记本 x 元，则钢笔每支 (x + 2) 元，列方程 3 (x + 2) + 2x = 20，解得 x = 2.8。幻灯片 10：课堂总结列方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。常见题型及等量关系：和差倍分：利用和、差、倍、分关键词找等量关系。行程问题：相遇问题（路程和 = 总路程），追及问题（路程差 = 初始距离）。工程问题：工作量之和 = 总工作量（通常设为 1）。利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = 利润 / 成本 ×100%。数字问题：根据数字表示方法和位置变化找等量关系。易错点：审题不清、单位不统一、遗漏单位、忽略实际意义检验。幻灯片 11：课堂练习某工厂有工人 80 人，其中男工人数是女工人数的 3 倍，求男、女工各有多少人。甲、乙两地相距 240 千米，一辆客车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，一辆货车从乙地开往甲地，每小时行 40 千米，两车同时出发，几小时后两车相距 40 千米？一项工程，甲单独做需 15 天完成，乙单独做需 20 天完成，甲先做 5 天后，乙加入合作，还需几天完成？某商品按进价提高 40% 后标价，又以 9 折销售，售价为每件 126 元，求商品的进价。一个两位数，十位数字比个位数字大 2，这个两位数比它的各位数字之和的 3 倍大 10，求这个两位数。幻灯片 12：课后作业完成课本课后相关练习题。学校组织学生参加植树活动，五年级比四年级多植树 20 棵，五年级植树的棵数是四年级的 1.5 倍，四、五年级各植树多少棵？甲、乙两人从同一地点出发，甲每小时走 5 千米，乙每小时走 3 千米，乙先出发 2 小时后，甲再出发，甲追上乙时，两人各走了多少千米？一件工作，甲单独做需 12 天完成，乙单独做需 18 天完成，两人合作 3 天后，剩下的由甲单独做，还需几天完成？某商店将某种服装按进价提高 30% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 12 元，这种服装的进价是多少元？一个三位数，三个数位上的数字之和是 15，百位数字比十位数字多 5，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。幻灯片 13：结束页感谢语：感谢同学们的积极参与和认真思考！鼓励语：一元一次方程的应用是数学联系实际的重要体现，掌握不同类型问题的等量关系和解题方法，能让你轻松解决生活中的数学问题。多观察、多练习，你会发现数学的实用价值！2024浙教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.通过实物和模型，了解从物体外形中抽象出来的点、线、面、体。2.知道立体图形与平面图形的特征和关系，能识别立体图形和平面图形,发展空间观念。3.理解点、线、面、体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体形成空间观念。4.能用七巧板拼出不同图案，提高动手操作能力。1.定义：点、线、面、体称为几何图形。 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其他属性，如质量，颜色等。2.分类：教材延伸常见的立体图形的分类方法（1）   圆柱与棱柱的相同点与不同点典例1 如图，请写出下列实物的形状对应的立体图形名称。解：图中（1）（2）（3）（4）（5）对应的立体图形分别是球、圆柱、长方体（或四棱柱）、圆锥、棱锥。典例2 图中，表示平面图形的是______；表示立体图形的是______。（填入序号）①③②④解析：表示平面图形的是①③；表示立体图形的是②④。1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的。2.元素之间的关系 点无大小，线无粗细，面无厚薄。七巧板：七巧板又称“七巧图”“智慧板”，是中国古老的智力玩具。如图，七巧板由七块板组成，完整图案为一个正方形，由七块板可以变换出各种不同的图案。知识过关①从实物中得到的 　点　、 　线　、 　面　、 　体　称为几何图形.②图形所表示的各个部分 　不在　同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形；图形所表示的各个部分 　都在　同一个平面内，称为平面图形.点线面体不在都在 认识几何图形1. 如图中的几何图形从左到右依次是(　B　)B2. 如图所示的是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有(　C　)C3. 把下列几何图形分别填到下面的括号里.圆，圆柱，球，扇形，等腰三角形，长方体，正方体，直角.立体图形：{ …}；平面图形：{ …}.圆柱，球，长方体，正方体　圆，扇形，等腰三角形，直角　 几何体中的顶点、棱、面4. 如图，几何体圆锥的面数是(　B　)B5. 如图所示的五棱柱的底面边长都是5 cm，侧棱长12 cm，它有多少个面？它有多少条棱？它有多少个顶点？它的所有侧面的面积之和是多少？【解】它有7个面，15条棱，10个顶点.它的所有侧面的面积之和为5×12×5＝300(cm2). 点、线、面、体的关系6. [2024·杭州下沙期中]汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用(　B　)B7. [新趋势·跨学科]在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了 ⁠.点动成线　8. 图中图形绕直线l旋转一周后，会得到什么立体图形？用线连一连.[易错题]对旋转后的几何图形考虑不全面而出错9. 直角三角形的两条直角边的长分别为8 cm，6 cm，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的底面积是多少？(结果保留π)【解】由题意知，以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周所得几何体为圆锥，底面是圆，底面半径是8 cm或6 cm，所以底面积是64π cm2或36π cm2.10. [2024·温州龙湾区模拟]不透明袋子中装有一个几何体模型，两名同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱.则该模型对应的立体图形可能是(　C　)C11. [立德树人·传统文化]七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”.如图是一副正方形七巧板(相同的板规定序号相同).现从七巧板中取出四块(序号可以相同)拼成一个小正方形(无空隙不重叠)，则可以拼成的序号是(　B　)【点拨】由题意可知，①①②③四块板可拼成一个小正方形(无空隙不重叠)，如图：故选：B. B【答案】12. 如图①是三个形状完全相同的几何体(下底面为圆，单位：厘米)，将它们拼成如图②的新几何体，求该新几何体的体积.(结果保留π) 答：该新几何体的体积为60π立方厘米.13. [新视角·规律探究题]简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式.如表是根据下面的多面体模型列出的不完整的表：现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数(F)和棱数(E)的和为30，则这个多面体的顶点数V＝ ⁠.8　由表可知这个多面体的顶点数V＝2＋E－F. 因为有一个多面体，每一个面都是三角形，所以每相邻两条边重合为一条棱， 因为E＋F＝30，所以F＝12，所以E＝18，所以V＝2＋E－F＝8.故答案为8.【点拨】必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！