4.3.2.2余角和补角 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

幻灯片 1：封面标题：4.3.2.2 余角和补角副标题：第 4 章 图形的认识教材版本：【2024 新教材】湘教版数学 七年级上册授课教师：[教师姓名]班级：[具体班级]时间：[授课日期]背景图：选用包含直角（如直角三角板）、平角（如直线上的角）元素的几何图形示意图，直观关联余角、补角的核心特征。幻灯片 2：知识回顾角的度量与计算回顾：角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），换算关系为 1°=60′，1′=60″。角的和差计算原则：度分秒分别运算，满 60 进 1，不够减则借 1 当 60。特殊角回顾：直角：等于 90° 的角，展示直角符号标注的图形（如直角三角板的直角）。平角：等于 180° 的角，展示平角图形（一条直线上取一点，形成的角）。过渡提问：生活中，我们常看到两个角组合成直角或平角的情况，比如三角板中两个锐角拼在一起是直角。像这样的角之间有什么特殊关系呢？今天我们就来学习余角和补角。幻灯片 3：情境引入展示图片：图 1：直角三角板（含 30°、60°、90° 角），标注 30° 角和 60° 角，观察两者之和。图 2：一个平角被一条射线分成 50° 角和 130° 角，标注两个角的度数，观察两者之和。提问引导：同学们，观察图 1 中 30° 角和 60° 角，它们的和是多少？（90°）图 2 中 50° 角和 130° 角的和又是多少？（180°）像这样和为 90° 或 180° 的两个角，在数学中我们分别称之为余角和补角，这就是我们今天要深入学习的内容。幻灯片 4：余角的定义与图形表示余角的定义：如果两个角的和等于 90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。即若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。关键词解析：“互为”：强调余角是两个角之间的相互关系，不能单独说某个角是余角，必须说 “某个角是某个角的余角”。“和为 90°”：两个角的度数之和恰好等于 90°，与角的位置无关，只需满足度数和的条件。图形展示：图 1：两个独立的角∠A = 40°，∠B = 50°，标注∠A + ∠B = 90°，说明∠A 与∠B 互为余角。图 2：直角∠COD 内部有射线 OE，将其分成∠COE = 35°，∠EOD = 55°，标注∠COE + ∠EOD = 90°，说明∠COE 与∠EOD 互为余角。示例判断：（1）∠1 = 30°，∠2 = 60°，∠1 与∠2 是否互余？（是，30°+60°=90°）（2）∠3 = 45°，∠4 = 45°，∠3 与∠4 是否互余？（是，45°+45°=90°）（3）∠5 = 50°，∠6 = 50°，∠5 与∠6 是否互余？（否，50°+50°=100°≠90°）幻灯片 5：补角的定义与图形表示补角的定义：如果两个角的和等于 180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。即若∠3 + ∠4 = 180°，则∠3 是∠4 的补角，∠4 也是∠3 的补角。关键词解析：“互为”：与余角同理，补角也是两个角的相互关系，不能单独表述。“和为 180°”：两个角的度数之和为 180°，与角的位置无关。图形展示：图 1：两个独立的角∠M = 70°，∠N = 110°，标注∠M + ∠N = 180°，说明∠M 与∠N 互为补角。图 2：平角∠AOB 内部有射线 OC，将其分成∠AOC = 120°，∠COB = 60°，标注∠AOC + ∠COB = 180°，说明∠AOC 与∠COB 互为补角。示例判断：（1）∠7 = 80°，∠8 = 100°，∠7 与∠8 是否互补？（是，80°+100°=180°）（2）∠9 = 90°，∠10 = 90°，∠9 与∠10 是否互补？（是，90°+90°=180°）（3）∠11 = 60°，∠12 = 110°，∠11 与∠12 是否互补？（否，60°+110°=170°≠180°）幻灯片 6：余角和补角的性质性质 1：同角的余角相等文字表述：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等。符号表示：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3。图形证明：画直角∠AOB = 90°，内部有射线 OC、OD，形成∠1 = ∠AOC，∠2 = ∠COB，∠3 = ∠DOB。由∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，可得∠2 = 90° - ∠1，∠3 = 90° - ∠1，所以∠2 = ∠3。示例应用：已知∠α 与∠β 互余，∠α 与∠γ 互余，若∠β = 35°，则∠γ = （ ）°（答案：35°）。性质 2：等角的余角相等文字表述：如果两个角相等，那么它们的余角也相等。符号表示：若∠1 = ∠2，∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°，则∠3 = ∠4。示例应用：已知∠1 = ∠2，∠1 的余角为∠3 = 25°，则∠2 的余角∠4 = （ ）°（答案：25°）。性质 3：同角的补角相等文字表述：如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等。符号表示：若∠5 + ∠6 = 180°，∠5 + ∠7 = 180°，则∠6 = ∠7。图形证明：画平角∠AOB = 180°，内部有射线 OC、OD，形成∠5 = ∠AOC，∠6 = ∠COB，∠7 = ∠DOB。由∠5 + ∠6 = 180°，∠5 + ∠7 = 180°，可得∠6 = 180° - ∠5，∠7 = 180° - ∠5，所以∠6 = ∠7。示例应用：已知∠θ 与∠φ 互补，∠θ 与∠ω 互补，若∠φ = 120°，则∠ω = （ ）°（答案：120°）。性质 4：等角的补角相等文字表述：如果两个角相等，那么它们的补角也相等。符号表示：若∠8 = ∠9，∠8 + ∠10 = 180°，∠9 + ∠11 = 180°，则∠10 = ∠11。示例应用：已知∠8 = ∠9，∠8 的补角为∠10 = 50°，则∠9 的补角∠11 = （ ）°（答案：50°）。幻灯片 7：余角和补角的计算（基础）类型 1：求一个角的余角解题方法：若已知角为∠x，则其补角为 90° - ∠x（需注意∠x < 90°，否则无余角）。示例 1：求 55° 角的余角。计算过程：90° - 55° = 35°，所以 55° 角的余角是 35°。示例 2：求 30°20′角的余角。计算过程：90° - 30°20′ = 89°60′ - 30°20′ = 59°40′，所以 30°20′角的余角是 59°40′。类型 2：求一个角的补角解题方法：若已知角为∠y，则其补角为 180° - ∠y（需注意∠y < 180°，否则无补角）。示例 1：求 105° 角的补角。计算过程：180° - 105° = 75°，所以 105° 角的补角是 75°。示例 2：求 125°30′45″角的补角。计算过程：180° - 125°30′45″ = 179°59′60″ - 125°30′45″ = 54°29′15″，所以 125°30′45″角的补角是 54°29′15″。课堂小练：60° 角的余角是（ ）°，补角是（ ）°。45°15′角的余角是（ ）°（ ）′，补角是（ ）°（ ）′。若一个角的余角是 25°，则这个角的度数是（ ）°。若一个角的补角是 130°，则这个角的度数是（ ）°。（答案：1. 30，120；2. 44°45′，134°45′；3. 65；4. 50）幻灯片 8：余角和补角的计算（综合）类型 1：余角与补角的关系计算示例 1：已知一个角的补角是它余角的 4 倍，求这个角的度数。分析：设这个角的度数为 x°，则它的余角为（90 - x）°，补角为（180 - x）°，根据 “补角是余角的 4 倍” 列方程。解题过程：列方程：180 - x = 4（90 - x）解方程：180 - x = 360 - 4x → 3x = 180 → x = 60结论：这个角的度数是 60°。示例 2：已知∠α 的余角比∠α 的补角的 1/3 还小 10°，求∠α 的度数。分析：∠α 的余角为（90 - α）°，补角为（180 - α）°，根据 “余角比补角的 1/3 小 10°” 列方程。解题过程：列方程：90 - α = 1/3（180 - α） - 10解方程：两边乘 3 得 270 - 3α = 180 - α - 30 → 270 - 3α = 150 - α → -2α = -120 → α = 60结论：∠α 的度数是 60°。类型 2：结合角平分线的计算示例：如图，OC 平分∠AOB，∠AOB = 180°，∠COD = 90°，求证：∠AOD 与∠BOC 互余。分析：先根据角平分线定义得∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB = 90°，再由∠AOD + ∠DOC + ∠BOC = 180°（平角），且∠COD = 90°，推导∠AOD 与∠BOC 的关系。证明过程：∵ OC 平分∠AOB，∠AOB = 180°（已知）∴ ∠AOC = ∠BOC = 90°（角平分线定义）∵ ∠AOD + ∠DOC + ∠BOC = 180°（平角定义），∠COD = 90°（已知）∴ ∠AOD + 90° + ∠BOC = 180° → ∠AOD + ∠BOC = 90°∴ ∠AOD 与∠BOC 互余（余角定义）课堂小练：一个角的补角比它的余角大（ ）°（提示：设角为 x°，补角 - 余角 = (180 - x) - (90 - x) = 90）。已知∠β 的补角是它的 3 倍，求∠β 的度数（答案：45°）。幻灯片 9：余角和补角的实际应用情境 1：方位角中的应用问题：如图，在航海图中，一艘轮船从 A 点出发，向正北方向航行，转向东北方向航行，此时航线与原航线的夹角为 45°。求该夹角的余角和补角。分析：已知夹角为 45°，直接根据余角、补角定义计算。解答过程：余角：90° - 45° = 45°补角：180° - 45° = 135°结论：该夹角的余角是 45°，补角是 135°。情境 2：几何工具中的应用问题：用一副三角板（含 30°、60°、90° 和 45°、45°、90° 角）拼角，能拼出哪些角的余角或补角？分析：先列举可拼出的角（如 30°+45°=75°，30°+90°=120° 等），再判断其是否有余角或补角，并计算。解答过程：拼出 75° 角：余角为 90°-75°=15°，补角为 180°-75°=105°；拼出 120° 角：无余角（120°>90°），补角为 180°-120°=60°；拼出 135° 角：无余角2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.2. 运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.3. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.重点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质， 并能运用性质.难点：运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.12比萨斜塔 ∠1 与∠2 有什么数量关系？13比萨斜塔 ∠1 与∠3 有什么数量关系？ 活动：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了 4 个角.思考：1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？∠1 +∠2 = 90°.2. ∠3 与∠4 有什么数量关系？∠3 +∠4 = 180°. 如果两个角的和等于一个直角 ( 90° )，那么说这两个角互为余角 ( 简称互余 ).如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余.几何语言表示为：若∠1 +∠2 = 90°，则∠1与∠2互为余角 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么说这两个角互为补角 ( 简称互补 ).如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.几何语言表示为：若∠3+∠4 = 180°，则∠3 与∠4 互为补角1. 图中给出的各角，哪些互为余角？15°24°66°75°46.2°43.8°2. 图中给出的各角，哪些互为补角？27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°5）如果∠1 = 30°，∠2 = 25°，∠3 = 35°，那么∠1、∠2、∠3 这三个角互为余角. （ ）3）同一个角的补角比它的余角大 90 度. （ ）4）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. （ ） 2）一个角的补角必为钝角. （ ） 1）一个角的余角必为锐角. （ ）×√×√×(1) 如图 (a)， ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，那么∠2 与∠3 有什么大小关系?由于∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°所以∠2 = 180° - ∠1，∠3 = 180° - ∠1.因此 ∠2 =∠3 (等量代换) .同角(或等角)的补角相等.(2) 如图 (b)，∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，那么∠5 与∠6 有什么大小关系?由于∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°所以∠5 = 9° - ∠4，∠6 = 90° - ∠4.因此 ∠5 =∠6 (等量代换) .同角(或等角)的余角相等. 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线，因此，∠COD 的度数为 30.17°. 30.17° 3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数．解：设∠AOB = x.因为∠AOC 与∠AOB 互补，所以∠AOC = 180° - x．解得 x = 50°. 则 180° - x = 130°.即∠AOB = 50°，∠AOC = 130°.因为 OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数.解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°，补角为 (180 - x)°.根据题意，得 ，解得 x = 45.因此，这个角为 45°. 4.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B的度数.解：设∠B 的度数为 x°，则 ∠A 的度数为 (3x + 30)°. 根据题意得： x + ( 3x + 30 ) = 90. 解得 x = 15. 故 ∠B 的度数为 15°.方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.1. 填空：（1） 105°26′的补角等于 ；（2） 28°25′32″的余角等于 .74°34′61°34′28″若一个角的补角是这个角的余角的 4 倍， 则这个角的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.65° C2. 【课本P166 练习 第1题】答：∠AOB 的度数为 56°.【课本P166 练习 第2题】4．已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B度数的 3 倍还多30°.求∠B的度数.解 :设∠B的度数为 x°，则∠A的度数为（3x+30）°. 根据题意，得 解得 x = 15 . 故∠B为 15°.5. 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠BOD 的平分线. 若∠BOC = 3∠AOD，∠EOD-∠COD = 30°，求 ∠BOE 的度数.解: 设∠EOD =x°，则∠COD =(x-30)°.因为 OE 是 ∠BOD 的平分线，所以 ∠BOE =∠EOD = x°.因为 OC 是∠AOD 的平分线，所以∠AOC =∠COD = (x-30)°.所以∠AOD = 2 (x-30)°， ∠BOC = 2 ∠EOD +∠COD = (2x)°+(x-30)°.由∠BOC = 3∠AOD，得 2x+x-30= 3×2(x-30)，解得 x = 50. 所以∠BOE = 50°. C  B  返回 CA. ①③④B. ①②③C. ①②③④D. ②③④    返回4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放. ④①② 返回    返回∠1 +∠2 = 90°或∠1 = 90° -∠2∠3 +∠4 = 180°或∠3 = 180° -∠4同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！