北京市北京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份北京市北京师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（原卷版）-A4，共5页。
1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3．考试结束后，考生应将答题纸交回.
一、选择题共10小题，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 设，向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若直线与圆相切，则的值是（ ）
A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12
3. 如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （ ）
A. B.
C. D.
4. 点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知是空间中两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 设椭圆的焦点为，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线异面
B. 直线平面
C 平面平面
D. 截面是直角梯形
9. 在正方体中，点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为（ ）
A. 一段圆弧B. 一段抛物线
C. 一段椭圆D. 一条线段
10. 经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线. 点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则 （ ）
A. B. C. D. 不确定
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的离心率为______，渐近线方程为______.
12. 在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为__________.
13. 已知抛物线的焦点为，则的标准方程为________；设点，点在上，则的最小值为__________.
14. 在中，，，则的一个取值可以为________.
15. 曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论：
①曲线过点；
②曲线关于轴对称；
③曲线存在渐近线；
④曲线与被轴截得的弦长大于.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知圆，过点作斜率为1的直线交圆于，两点．
（1）写出圆的标准方程，圆心坐标和半径；
（2）求线段AB的中垂线方程；
（3）求．
17. 已知六面体的底面是矩形，，，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为．过的直线与的另一个交点为.
（1）求的方程；
（2）若
（i）求的方程；
（ii）求的面积.
19. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E为线段PD的中点，点为线段（不含端点）上的动点.
（1）证明：平面平面；
（2）若存在点，使得平面与平面的夹角为，求的值.
（3）在（2）的条件下，求四面体的体积.
20 已知椭圆：经过点，且.
（1）求的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过的直线交于两点. 是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. 在平面内，有个椭圆和条抛物线（），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点. 设所有公共点个数为V. 这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域. 如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时. 已知对于任意，成立.
（1）当时，直接写出S的最大值及此时和的值；
（2）当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；