2.3.2 多项式（课件）2025-2026学年2024华东师大版七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：2.3.2 多项式学科：数学年级：七年级上册版本：华东师大版副标题：从单项式到多项式的代数式拓展幻灯片 2：复习回顾 —— 衔接单项式知识回顾 1：单项式的核心概念定义：数与字母的积组成的代数式（含单独的数或字母），如\(3x\)、\(-2y^2\)、\(5\)、\(ab\)关键要素：系数（数字因数）、次数（所有字母指数和）回顾 2：代数式的分类思考单项式：不含加减运算（如\(5x\)、\(\frac{1}{2}a^2b\)）待研究代数式：含加减运算的代数式（如\(3x + 2\)、\(a^2 - 2ab + b^2\)、\(x^3 - 1\)）提问：含加减运算的代数式有什么共同特征？它们与单项式有什么关系？这类代数式被称为多项式，如何定义多项式的相关概念？幻灯片 3：多项式的定义定义推导：分析实例（将含加减运算的代数式拆分为单项式之和）：\(3x + 2\)：可拆分为\(3x\)（单项式）和\(2\)（单项式）的和，即\(3x + (+2)\)\(a^2 - 2ab + b^2\)：可拆分为\(a^2\)（单项式）、\(-2ab\)（单项式）和\(b^2\)（单项式）的和，即\(a^2 + (-2ab) + b^2\)\(x^3 - 1\)：可拆分为\(x^3\)（单项式）和\(-1\)（单项式）的和，即\(x^3 + (-1)\)严格定义：几个单项式的和叫做多项式（注：多项式中含加减运算，本质是单项式的代数和）关键词解析：“几个”：指 1 个或多个（当 “几个” 为 1 个时，多项式退化为单项式，即单项式是特殊的多项式）“单项式的和”：多项式中的加减运算可转化为单项式的加法（减一个数等于加它的相反数），如\(a - b = a + (-b)\)示例辨析（判断是否为多项式）：\(2x - 5\)（是，\(2x\)与\(-5\)的和） 2. \(\frac{m + n}{2}\)（是，\(\frac{1}{2}m\)与\(\frac{1}{2}n\)的和，本质是单项式之和） 3. \(\frac{3}{x} + y\)（否，\(\frac{3}{x}\)不是单项式，故不是单项式之和） 4. \(7\)（是，单独的单项式，属于特殊的多项式）幻灯片 4：多项式的核心概念（项、常数项、次数）1. 项：定义：多项式中的每个单项式叫做多项式的项（包括项前面的符号）示例：多项式\(3x^2 - 2x + 1\)的项为\(3x^2\)、\(-2x\)、\(1\)（注意：项的符号不能省略，如 “\(-2x\)” 是一项，不是 “\(2x\)”）项的个数：多项式中项的个数称为 “几项式”，如\(3x + 2\)含 2 项，称为二项式；\(a^2 - 2ab + b^2\)含 3 项，称为三项式2. 常数项：定义：多项式中不含字母的项叫做常数项（仅含数字的单项式）示例：多项式\(x^3 - 5x^2 + 7\)的常数项为\(7\)；多项式\(-2y + 3\)的常数项为\(3\)；多项式\(4a^2b - ab\)的常数项为 0（隐含不含字母的项\(0\)）3. 次数：定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数（多项式的次数由最高次项决定）示例解析：多项式各项的次数最高次项最高次项次数多项式次数多项式名称（几次几项式）\(3x + 2\)\(3x\)（1）、\(2\)（0）\(3x\)11一次二项式\(a^2 - 2ab + b^2\)\(a^2\)（2）、\(-2ab\)（2）、\(b^2\)（2）\(a^2\)等22二次三项式\(x^3 - 5x^2y + 3y^3\)\(x^3\)（3）、\(-5x^2y\)（3）、\(3y^3\)（3）\(x^3\)等33三次三项式注意：多项式的次数不是所有项次数的和，而是 “最高次项的次数”（如\(x^2 + 2x\)的次数是 2，不是 2 + 1 = 3）幻灯片 5：多项式的书写规范规范 1：按字母的降幂（或升幂）排列降幂排列：按某一字母的指数从大到小排列（常用），如多项式\(3x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)（按 x 的降幂排列）升幂排列：按某一字母的指数从小到大排列，如多项式\(-1 + 5x - 2x^2 + 3x^3\)（按 x 的升幂排列）示例：将多项式\(2x - x^2 + 3\)按 x 的降幂排列为\(-x^2 + 2x + 3\)规范 2：项的符号与位置多项式中的项带着符号移动位置（如将\(5x + 3 - 2x^2\)按 x 降幂排列时，\(-2x^2\)移到最前，\(5x\)次之，\(+3\)最后，即\(-2x^2 + 5x + 3\)）不能遗漏项的符号（如\(x^2 - y^2\)不能写作\(x^2 + y^2\)，\(-ab + c\)不能写作\(ab + c\)）规范 3：避免出现非单项式项多项式的每一项必须是单项式（分母含字母的项、含根号的项等非单项式不能作为多项式的项），如\(\frac{1}{x} + x\)不是多项式示例对比（正确 vs 错误）：描述正确写法（按 x 降幂）错误写法多项式\(3 - 2x^2 + x\)\(-2x^2 + x + 3\)\(2x^2 + x + 3\)（符号错误）多项式\(y^2 + x^3 - xy\)\(x^3 - xy + y^2\)（按 x 降幂）\(x^3 + y^2 - xy\)（未按降幂）幻灯片 6：基础题型 1—— 识别多项式并确定相关概念例题 1：指出下列多项式的项、常数项、次数，并判断是几次几项式：\(2x^2 - 5x + 7\)解答：项：\(2x^2\)、\(-5x\)、\(7\)常数项：\(7\)各项次数：\(2x^2\)（2）、\(-5x\)（1）、\(7\)（0）最高次项次数：2，多项式次数：2名称：二次三项式\(-x^3 + 2x^2y - 3y^2 + 1\)解答：项：\(-x^3\)、\(2x^2y\)、\(-3y^2\)、\(1\)常数项：\(1\)各项次数：\(-x^3\)（3）、\(2x^2y\)（3）、\(-3y^2\)（2）、\(1\)（0）最高次项次数：3，多项式次数：3名称：三次四项式\(5a - 3\)解答：项：\(5a\)、\(-3\)常数项：\(-3\)各项次数：\(5a\)（1）、\(-3\)（0）最高次项次数：1，多项式次数：1名称：一次二项式例题 2：判断下列代数式是否为多项式，若是，指出其次数：\(\frac{x + y}{3}\)（是，\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y\)，一次二项式，次数 1）\(\frac{2}{x} + x^2\)（否，\(\frac{2}{x}\)不是单项式）\(7\)（是，常数项，零次一项式，次数 0）幻灯片 7：基础题型 2—— 多项式的排列与应用例题 3：将多项式\(3x - x^3 + 5 - 2x^2\)按 x 的降幂排列，并指出最高次项和常数项解答：按 x 降幂排列：\(-x^3 - 2x^2 + 3x + 5\)（按 x 的指数 3、2、1、0 排列）最高次项：\(-x^3\)常数项：\(5\)例题 4：已知多项式\(ax^2 + bx + c\)是二次三项式，求 a、b、c 满足的条件分析：二次多项式：最高次项次数为 2，故\(ax^2\)的次数 2，且系数\(a ≠ 0\)（若 a=0，最高次项变为\(bx\)，次数 1，不是二次）三项式：含 3 个项，故\(ax^2\)、\(bx\)、\(c\)均不能为 0（即\(a ≠ 0\)，\(b ≠ 0\)，\(c ≠ 0\)）解答：\(a ≠ 0\)，\(b ≠ 0\)，\(c ≠ 0\)幻灯片 8：单项式与多项式的对比辨析表格对比：类别定义核心关键要素包含关系示例单项式数与字母的积（含单独数 / 字母）系数、次数多项式的特殊形式（1 项的多项式）\(3x\)、\(-2y^2\)、\(5\)多项式几个单项式的和项、常数项、次数（最高次项次数）包含单项式（1 项多项式）\(3x + 2\)、\(a^2 - ab\)核心区别：运算类型：单项式不含加减运算（仅乘 / 乘方），多项式含加减运算（单项式之和）项的个数：单项式仅 1 项，多项式至少 1 项（1 项时为单项式）次数定义：单项式次数是所有字母指数和，多项式次数是最高次项的次数幻灯片 9：易错点辨析 —— 多项式的常见误区易错点 1：遗漏项的符号（如将多项式\(x^2 - 3x + 2\)的项误写为\(x^2\)、\(3x\)、\(2\)，正确应为\(x^2\)、\(-3x\)、\(2\)，项的符号需随项一起记录）易错点 2：混淆多项式次数与项的次数（如错误认为多项式\(x^3 + 2x^2\)的次数是 3 + 2 = 5，正确应为最高次项\(x^3\)的次数 3）易错点 3：排列多项式时改变项的符号（如将\(5 - x^2\)按 x 降幂排列时误写为\(x^2 + 5\)，正确应为\(-x^2 + 5\)，移动项时需保留符号）易错点 4：将非单项式项纳入多项式（如错误认为\(\frac{1}{x} + x\)是多项式，实际\(\frac{1}{x}\)不是单项式，故不是多项式）判断练习：下列说法是否正确？若错误请改正多项式\(2x^2 - x + 1\)的项是\(2x^2\)、\(x\)、\(1\)（错误，应为\(2x^2\)、\(-x\)、\(1\)）多项式\(x^2y - 3xy\)的次数是 2（错误，最高次项\(x^2y\)的次数 3，多项式次数 3）将\(3 - x^3 + 2x\)按 x 降幂排列为\(-x^3 + 2x + 3\)（正确）幻灯片 10：课堂小结（核心知识点）多项式的定义：几个单项式的和（含单独的单项式，即单项式是特殊的多项式）核心概念：项：每个单项式（含符号），项的个数决定 “几项式”常数项：不含字母的项（仅数字）次数：最高次项的次数，决定 “几次式”书写规范：按某一字母降幂 / 升幂排列，移动项时保留符号，每一项必须是单项式与单项式的关系：单项式⊂多项式（1 项的多项式），二者均属于整式（分母不含字母的代数式）幻灯片 11：课堂检测（4 道题）下列代数式中，属于多项式的是（ ）A. \(\frac{2}{x}\) B. \(x^2 - 2x + 1\) C. \(ab\) D. \(\sqrt{x} + 1\)多项式\(3x^3 - 2x^2y + y^3 - 5\)的次数和项数分别是（ ）A. 3，4 B. 4，4 C. 3，3 D. 4，3指出多项式\(-2x^2 + 5x - 3\)的常数项、最高次项，并将其按 x 的升幂排列已知多项式\((m - 1)x^3 + 2x^2 - 5\)是二次多项式，求 m 的值（写出步骤）答案：B（A 分母含字母，C 是单项式，D 含根号非单项式） 2. A（最高次项\(3x^3\)、\(-2x^2y\)次数 3，共 4 项） 3. 常数项\(-3\)，最高次项\(-2x^2\)；按 x 升幂排列：\(-3 + 5x - 2x^2\) 4. 步骤：二次多项式需最高次项次数为 2，故\(x^3\)项系数为 0，即\(m - 1 = 0\)，解得\(m = 1\)幻灯片 12：课后思考问题 1：整式（单项式和多项式的统称）与分式（分母含字母的代数式，如\(\frac{1}{x}\)）有什么本质区别？如何快速区分整式和分式？问题 2：一个多项式的次数为 n，它的最高次项的系数可以为 0 吗？为什么？（提示：系数为 0 时，最高次项消失，多项式次数会降低，故最高次项系数不能为 0）幻灯片 13：感谢语内容：本次课程到此结束，谢谢大家！2025-2026学年华东师大版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 2.3.2 多项式第2章　整式及其加减1. 掌握多项式项数、次数以及常数项的概念.2. 会准确地确定一个多项式的项数和和次数.(1) 若三角形的三条边长分别为 a、b、c，则这个三角形的周长为 ；(2) 某班有男生 x 人，女生 21 人，这个班的学生一共有 人；(3) 图中阴影部分的面积为 .2ar - πr2a + b + c(x + 21)回忆：列代数式：思考1：列出的这些代数式有什么共同特点？2ar - πr2a + b + cx + 21a bcx 212ar - πr22ar + (- πr2)多项式：几个单项式的 叫做多项式.和 常数项↑每个单项式叫做多项式的项.次数：不含字母的项叫做常数项.次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.一次二项式名称：项数：12一次项↑每一项次数是几就叫做几次项. (最高次项)x + 21x 21多项式含有几项就叫做几项式只含有一项就是单项式.2ar - πr2a + b + ca bc2ar - πr2 思考1： 与 的项和次数分别是什么？它们可以如何命名？a + b + c 的项为 a、b、c，次数为 1，是一次三项式； 2ar - πr2 的项为 2ar 和 -πr2，次数为 2，是二次二项式. 多项式没有系数，但它的每一项有系数，系数也包含符号.例1 指出下列多项式的项和次数：(1) a3 - a2b + ab2 - b3；(2) 3n4 - 2n2 +1.解：(1) 多项式 a3 - a2b + ab2 - b3 的项有 a3、-a2b、ab2、 -b3，次数是 3. (2) 多项式 3n4 - 2n2 +1 的项有 3n4、-2n2、1，次数是 4.例2 指出下列多项式是几次几项式：(1) x3 - x + 1；(2) x3 - 2x2y2 + 3y2.解：(1) x3 - x + 1 是三次三项式.(2) x3 - 2x2y2 + 3y2 是四次三项式.单项式多项式整式例3 填序号. ① 3、②x + y、③ 、④ 、⑤ 、⑥单项式有： ；多项式有： ；整式有： .①②③⑤等式①②③⑤ 【点拨】 C2. [新考法 规律探究法]一组按规律排列的代数式： a ＋2 b ， a2－2 b3， a3＋2 b5， a4－2 b7，…，则第 n 个代数式是 ⁠.an ＋(－1) n＋1·2 b2 n－1　知识点2　多项式的项与次数3. 若多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次多项式，则 mn ＝ ⁠.【点拨】因为多项式 xy｜ m－ n｜＋( n －2) x2 y2＋1是关于 x ， y 的三次多项式，所以 n －2＝0，1＋｜ m － n ｜＝3.8或0　所以 n ＝2，｜ m － n ｜＝2.所以 m － n ＝2或 n － m ＝2.所以 m ＝4或 m ＝0，所以 mn ＝8或0. B5. [2024·成都青羊区模拟]多项式1＋2 xy －3 xy2的次数及最高次项的系数分别是(　A　)A    yz ， yz ，7. [易错题]下列说法错误的是(　C　)C8. [新考法·整体代入法 2023 南通]若 a2－4 a －12＝0，则2 a2－8 a －8的值为(　D　)D9. [2024·泸州期末]某县为了提升城市形象，对花园干道的道路和两侧花园进行改造.在花园内，月季(用黑色圆点 表示)按正方形种植，在它的周围种植芍药(用星号 表示)，如图反映了月季的列数( n )和芍药的数量规律，那么当 n ＝12时，芍药的数量为(　C　)几个单项式的 叫做多项式.整式单项式多项式多项式中每个单项式叫做 .相关概念和常数项概念项多项式中，不含字母的项叫做 .多项式中，次数 项的次数，叫做这个多项式的 .最高次数必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！