[高二数学]2025-2026学年高二上学期数学期末模拟练习试卷

这是一份[高二数学]2025-2026学年高二上学期数学期末模拟练习试卷，共13页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，和是相互垂直的单位向量，则等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限
3.圆的圆心到直线的距离为（ ）
A.2B.2 C.3 D.32
4.过点(2,2)且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A.x26－y28＝1B.y26－x28＝1
C.x22－y24＝1D.y22－x24＝1
5.抛物线上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是（ ）
A.4B.6 C.7 D.9
6.已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的（ ）
A.第28项B.第29项 C.第30项 D.第32项
7.已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数在(－∞,0)，(3,＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.−103,−2 B.−103,−52 C. (－∞,－2] D.−103,−2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如图，在棱长为1的正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且，则下列结论正确的是 （ ）
A.线段EF是异面直线BD与的公垂线段
B.异面直线与BD的距离为12
C.点到直线EF的距离为143
D.点到平面DEF的距离为63
10.已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（ ）
A.圆的半径为3
B.圆和圆外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为210
D.过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为3
11.已知抛物线C：的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为，直线AB的斜率为，则
A.C的准线方程为y＝－1
B.成等差数列
C.若P在C的准线上，则
D.若P在C的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为916
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则数列的通项公式为 .
13. 函数的极小值点为 ，极大值为 .
14.已知抛物线C：的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为12，且FA·FB＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若PC=5，PD=1，求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值.
16. 已知圆为过点且斜率为的直线.
(1)若与圆相切，求直线的方程；
(2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.
17.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线l：y＝x＋m交C于A，B两点，若△AOB的面积为6(O为坐标原点)，求正实数m的值.
18.已知函数.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
19.已知在数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2026项和.
2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷
基础篇
答案与解析
1.A
【详解】∵且，
∴
2. C
【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.
3.D
【详解】将圆的方程化为标准方程，得，
所以该圆的圆心(1,－3)到直线x－y＋2＝0的距离为|1−(−3)＋2|12＋(−1)2＝62＝32.
4. D
【详解】由9x2＋3y2＝27，得y29＋x23＝1，所以焦点在y轴上，且c＝9−3＝6.
设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，所以4a2−4b2＝1,a2＋b2＝6,解得a2＝2,b2＝4,
所以双曲线的方程为y22－x24＝1.
5.B
【详解】抛物线的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，则|yM|＝4xM＝4×9＝6，即M到x轴的距离为6.
6. C
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
则a5＝a1＋4d＝5, a1＋S11＝a1＋11a1＋55d＝46,解得a1＝13,d＝−2,
所以a3·a10＝(a1＋2d)(a1＋9d)＝9×(－5)＝－45，
令an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝－45，得n＝30，即a3·a10是{an}中的第30项.
7.D
【详解】函数，求导得，则f'(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即.
8. B
【详解】由f(x)＝13x3＋a2x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋1，
∵f(x)在(－∞,0)，(3,＋∞)上单调递增；在(1,2)上单调递减，
∴f'(x)＝0的两根分别位于[0,1]和[2,3]内，
则f'0＝1>0， f'1＝a＋2≤0， f'2＝2a＋5≤0， f'(3)＝3a＋10≥0，解得－103≤a≤－52.
9.ACD
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
EB=13DB=13,13,0，CF=13CB1=13,0,13，所以E23,23,0，F13,1,13.
对于A，EF=−13,13,13，DB=(1,1,0)，CB1=(1,0,1)，所以EF·DB=-13+13=0，EF·CB1=-13+13=0，即EF⊥DB，EF⊥CB1，所以线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段，故A正确；
对于B，由正方体的性质可得异面直线AA1与BD的公垂线的一个方向向量为AC=(-1,1,0)，又DA=(1,0,0)，所以异面直线AA1与BD的距离为|DA·AC||AC|=12=22，故B错误；
对于C，D1E=23,23,−1，EF=−13,13,13，
所以D1E在EF方向上的投影向量的长度为h=|D1E·EF||EF|=33，所以点D1到直线EF的距离为|D1E|2−h2=179−13=143，故C正确；
对于D，设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，DF=13,1,13，
则n·DB=0,n·DF=0,即x+y=0, 13x+y+13z=0,令x=1，得y=-1，z=2，
所以n=(1,-1,2)，又DD1=(0,0,1)，
所以点D1到平面DEF的距离d=|DD1·n||n|=26=63，故D正确.
10. BD
【详解】圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝3，A错误；|C1C2|＝22>1＋3，圆C1和圆C2外离，B正确；
圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，
连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3＝|PC0|＋|PC2|－1－3≥|C0C2|－1－3＝210－1－3，当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误；
设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|＝PC1|2−AC1|2＝(t−1)2＋22−1≥3，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确.
11.BCD
【详解】抛物线C：x2＝14y，抛物线C的准线方程为y＝－116，A选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝y2−y1x2−x1＝4(x2＋x1)，∴k1＋k2＝2k3，B选项正确；
由上可知直线PA：y＝8x1x－4x12，直线PB：y＝8x2x－4x22，解得Px1＋x22，4x1x2，
又P在C的准线上，所以4x1x2＝－116，x1x2＝－164，k1k2＝64x1x2＝－1，
C选项正确；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋516＝4x12＋16x22＋516≥16|x1x2|＋516＝916，
当且仅当x1＝－2x2时取等号，D选项正确.
12. 12n−1
【详解】在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0，
则有1an+1=2·1an+1，即1an+1+1=21an+1，而1a1+1=2，
因此数列1an+1是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以1an+1=2n，即an=12n−1.
13.
【详解】由f(x)＝x3－12x2－14x得，f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f'(x)>0，解得x>73或x0，解得x>ln a，
令f'(x)0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，＋∞).
19.答案见详解
【详解】（1）因为nan＋1－(n＋1)an＝1，
可得an＋1n＋1－ann＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，
所以当n≥2时，ann－a11＝a22－a11＋a33－a22＋…＋ann－an−1n−1＝11－12＋12－13＋…＋1n−1－1n＝1－1n，又因为a1＝1，则an＝2n－1，
当n＝1时，a1＝1成立，所以an＝2n－1.
（2）由(1)知，bn＝sinπ2an＋1＋cs(πan)
＝sinπ2(2n＋1)＋cs[π(2n－1)]＝cs nπ＋cs π＝cs nπ－1，
所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝cs π＋cs 2π＋…＋cs (2n－1)π＋cs 2nπ－2n，
因为cs (2n－1)π＋cs 2nπ＝－cs 2nπ＋cs 2nπ＝0，
所以(cs π＋cs 2π)＋…＋[cs (2n－1)π＋cs 2nπ]＝0，
所以T2n＝－2n，所以数列{bn}的前2 026项和为－2 026.