人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.2 完全平方公式同步练习题

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1．下列多项式属于完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确；
解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可．
【详解】解：完全平方式必须能表示为 ，
选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意；
选项 B：，可化为 ，符合题意；
选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意；
选项 D：，常数项为负，不符合题意；
故选 B．
2．下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解．
根据公式，逐一验证各选项即可．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的运算、平方差公式和完全平方公式．根据运算法则逐一判断选项的正确性即可．
【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选C．
4．已知，则的值为（ ）
A．19B．22C．25D．28
【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键．
先利用完全平方公式的变形，再将整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴ ．
故选A．
5．若，则的值为（ ）
A．4B．1C．D．
【答案】A
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：A；
6．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（ ）
A．B．C．xD．
【答案】B
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可．
【详解】∵在公式中，对应，有，，
∴，
故公式中的对应的是，
故选B．
7．如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查平方差公式的几何解释，数形结合，分情况表示阴影部分面积是解决问题的关键．
分别表示出图1阴影部分面积，再表示图2阴影部分面积，由两个图的阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：由图1可知，；
如图所示：
，
由两个图的阴影部分面积相等可得，，
故选：C．
8．若，，则下列结果正确的是（ ）
A．B．C．D．无法判断
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴．
故选：C．
二、填空题
9．计算： ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式展开即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
10．计算： ．
【答案】4
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握是解答本题的关键．
观察算式，发现其符合完全平方公式的结构，可直接应用完全平方公式计算．
【详解】解：．
故答案为 4．
11．若是完全平方式，那么k的值是 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查完全平方式．根据完全平方式的性质，可得出答案．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得，
故答案为：．
12．已知，则 ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
故答案为：．
13．（1）若，则
（2）已知，则
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式，平方根；
（1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解．
（2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
即
故答案为：．
（2）∵，，：
∴
∴
故答案为：．
14．已知：如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由可得，则有，然后根据图形可求阴影部分的面积．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴；
阴影部分的面积为：；
故答案为：．
三、解答题
15．利用完全平方公式计算：
(1)；
(2)；
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式求解（1）（2）（3）（4）即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
（1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可；
（2）原式根据完全平方公式进行计算即可；
（3）原式根据完全平方公式进行计算即可；
（4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解：
．
17．运用乘法公式进行简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
（1）利用完全平方公式进行简便计算；
（2）利用完全平方公式进行简便计算．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）先化简，后求值：，其中，，．
【答案】（1），；（2），
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．
（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，然后代入求解即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算，最后进行多项式除以单项式计算，然后再代入求解．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式．
（2）解：
，
当，时，
原式
．
19．解方程：．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
根据乘法公式去括号，进而进行求解即可．
【详解】解：，
化简，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
20．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)52；
(2)；
(3)．
【知识点】运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形得到，把已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式利用完全平方公式变形得到，再整体代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴．
21．阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查乘法公式，非负性的运用，理解材料，掌握乘法公式是关键．
（1）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，代入求解即可；
（2）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，根据三角形三边数量关系即可得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：对式子进行变形得，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：对式子进行变形得，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵的三边长a，b，c都是正整数，
∴，即，
∴当时，的周长取最大值，最大值为．
22．实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，，三者之间的等量关系式：______；
【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，，求的值；
【类比迁移】（3）如图3，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）80；（3）30
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
（1）图2中大正方形面积为；边上的四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，即可找到面积相等的数量关系；
（2）结合第一问的，即可得代入即可；
（3）根据，，求出，根据，即可得出答案．
【详解】解：（1）图2中大正方形边长为，则面积可以表示为；
图2中的边上的四个小长方形面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则面积可以表示为，
那么；
（2）∵，，，
∴；
（3）∵，，
∴
，
．